книги из ГПНТБ / Писарев Н.М. Элементы квантовой механики и статистической физики [учеб. пособие]

ния колебаний

электромагнитного поля. Теория

М а к с в е л л а хо­

рошо о б ъ я с н я л а

волновые свойства света: дисперсию, поляриза ­

цию, интерференцию, д и ф р а к ц и ю .

В тот период

(1859—61 гг.), когда М а к с в е л л

з а в е р ш и л изыс­

гоф п о л о ж и л начало р а б о т а м по исследованию

равновесного

излучения

нагретых тел. Он открыл закон,

с в я з ы в а ю щ и й испус-

кательную

способность г с поглощательной

а. О к а з ы в а е т с я ,

их

отношение

не зависит от природы тел и является

универсальной

функцией от длины волны X и температуры

Т, которая

по смыс­

лу есть

не

что иное, к а к испусхательная способность

абсолютно

черных

тел

ехт:

A T"

( О

О д н а к о

в

законе К и р х г о ф а функция

ехт

о с т а в а л а с ь

неопреде­

ленной,

и

ее

нахождение

о к а з а л о с ь

чрезвычайно

в а ж н о й

зада ­

чей теории

и э к с п е р и м е н т а . - П е р в ы й

опыт

по

исследованию

рас­

пределения

энергии излучения

черных

тел

по

X провел

в 1886

г.

ученый

Лэнглей,

использовав

д л я

этого

с а ж у ; позднее

более

т щ а т е л ь н ы е исследования провели

Рубенс

и К у р л ь б а у м .

Н а

рис. 1 сплошными линиями представлена

зависимость

ехт

от X

и Т. О п и р а я с ь на

эти

экспериментальные

д а н н ы е

и з а к о н ы

тер­

модинамики,

ученые

Вин,

Стефан

и Б о л ь ц м а н

открыли

р я д

1*

3

условий, которым

д о л ж н а

подчиняться

функция

ехт-

Вин

уста ­

новил, что длина

волны

излучения,

соответствующая

максимуму

е хт, обратно пропорциональна

абсолютной

температуре

черного

тела:

•

X =

Н_,

b =2,8978-10"' град-

[м*.

(2)

Стефан и Б о л ь ц м а н определили интегральную

излучательную

способность тел

I = J ехтсІА =

аТ4 ,

а =

5,6697- Ю ~ 8 вт/м2-град.

(3)

о

О д н а к о в ы р а ж е н и я

(2)

и

(3)

еще

не

определяют

однозначно

ехт. Д е т а л ь н ы й

вид функции ехт

м о ж н о найти,

исходя из

физи­

ческих законов,

известных

науке

того

времени,

т. е.

главным

о б р а з о м

из законов

механи­

ки

Ньютона,

электромагне ­

т и з м а

и

статистики

Б о л ь ц -

мана — М а к с в е л л а ,

которые

принято

н а з ы в а т ь

классиче­

скими.

Н а и б о л е е

строгую

попытку в этом направлении

предпринял

английский

фи­

зик Рэлей, теоретически по­

лучивший

кривую

испуска-

тельной способности

черного

тела.

В

области

длинных

волн

к р и в а я

с о в п а д а л а

с

экспериментальной,

в

обла -

Рис.

ти

коротких — резко

с

ней

р а с х о д и л а с ь

(на рис. 1

кри­

в а я Р э л е я частично

и з о б р а ж е н а

пунктиром) . Б о л е е

того,

в

ко­

ротковолновом

участке

теория

Р э л е я

д а в а л а

результат

явно

противоречивый

опыту: е х т ^ °°,

если

Х - >0 . Эту

ситуацию

ученые образно

н а з в а л и ультрафиолетовой

катастрофой .

С

точки зрения

классической теории

р а с с у ж д е н и я

Р э л е я

бы­

риментом, то единственно р а з у м н ы

й вывод, вытекавший

отсюда,

гласил: классическая физика не в

состоянии объяснить

з а к о н ы

теплового излучения. В физике н а з р е в а л кризис.

В 1900 г. немецкий ученый М. П л а н к

п р е д л о ж и л

свою

фор ­

мулу дл я ехт-

2uhc2

1

,

(4)

ехт = — — - • —

\Ъ

he

„ X k T

1

где с — скорость

света в вакууме, р а в н а я

2,997925-

108

м/сек;

к — постоянная

Б о л ь ц м а н а ,

р а в н а я

1,38054 • Ю - 2

3

дж/град;

h — новая

универсальная

постоянная

природы,

открытая

П л а н к о м и

н а з в а н н а я им квантом действия. Первое

численное

определение

этой

постоянной д а л сам

П л а н к .

4 дж.сек.

П о

современным

измерениям

h = 6,6256 • Ю - 3

Фор ­

мула

П л а н к а

совершенно точно

соответствовала

ходу экспери­

ментальной

кривой.

О д н а к о

П л а н к

выяснил: физическая

пред­

посылка, на

основе

которой

получен

его

закон,

ч у ж д а

класси­

нагретыми телами энергия уносится не непрерывным

потоком

волн, а в виде

отдельных порций -— квантов или иначе — фото­

нов,

причем энергия одного

фотона

определяется

в ы р а ж е н и е м

e =

hv,

V =

1

(5)

где

ѵ — ч а с т о т а

излучения.

Вскоре после открытия

П л а н к а

идея

квантов была использова­

на А. Эйнштейном дл я

объяснения фотоэффекта,

суть

которого

заключается в вырывании электронов с поверхности

проводни­

ков

под действием света. И

здесь о б н а р у ж и л а с ь

несостоятель­

цессу закон

сохранения энергии, учтя квантовую структуру об­

л у ч а ю щ е г о

света:

Ь = А 0 + ^ .

(6)

Энергия фотона h v идет на совершение работы

выхода электро ­

на Ао и на сообщение ему кинетической энергии

- ^ — .

Ф о р м у л а

(6) просто и верно истолковывала

все в а ж н ы е осо­

бенности фотоэффекта . К тому

же , н а р я д у

с законом излучения

М. П л а н к а ,

она п р е д с т а в л я л а

прекрасную

возможность дл я оп­

ния (6) h

хорошо

согласовывалась с

результатом, полученным

П л а н к о м .

И т а к ,

в конце

X I X века

были открыты дв а явления, которые

с необходимостью

вели к

заключению

о том, что энергия излу-

чения не

« р а з м а з а н а » по всему пространству, к а к

того

требова ­

л а волновая

теория, но л о к а л и з о в а н а в отдельных участках про­

странства

в

виде порций — фотонов. Т а к а я

л о к а л и з а ц и я

энергии

присуща

по

классическим представлениям

только

частицам —

тоэффекта свет о б н а р у ж и л корпускулярные свойства. Эти

свой­

ства не исчерпываются одной л и ш ь л о к а л и з а ц и е й энергии;

к а ж -

ственно, возник вопрос о том,

чему

р а в н ы и эти

корпускулярные

п а р а м е т р ы

для

световых

фотонов.

Ответ

был

у к а з а н

теорией

относительности,

созданной в

н а ч а л е

нашего века одним из ве­

ликих физиков А. Эйнштейном. Согласно Эйнштейну

энергия

тела определяется его массой m:

Е

=

т с 2 .

(7)

С другой стороны, энергия равна h v ; приравнивая эти

в ы р а ж е ­

ния, найдем

массу

фотона,

а

после

умножения

на с — и его им -

->

пульс

р:

щ =

- =

к

Pf =

у- =

г- к;

к =

(8)

Са

V

А

2тс

А

Здесь

к — волновой

вектор.

В 1923 г. американский физик Комптон поставил опыт, пол­

ностью

подтвердивший

всю

совокупность

корпускулярных

свойств света. П р и н ц и п и а л ь н а я схема

опыта Комптона

п о к а з а н а

на

рис.

2.

И з рентгеновской

трубки Р

идет поток

фотонов с

о

A s

1 А. Д и а ф р а г м о й

Д из этого потока

вырезается

узкий луч,

который

н а п р а в л я е т с я

на кристалл с относительно м а л ы м

атом­

ным весом

частиц, например

алюминий .

Рентгеновские

фотоны

уменьшается их энергия и изменяется первоначальный

импульс,

соответственно изменяется энергия и импульс выбитых

из

ато­

мов электронов . Спектрометр Брэгга

Б

измеряет

длину волны

рассеяных

фотонов

Я/ и

угол

рассеяния ф. Эксперименты

пока­

зали, что разность %' и X

(К — длина

волны

до рассеяния)

дает ­

ся в ы р а ж е н и е м

> / - X = 2 A 0 s l n 2 | .

(9)

о

Здесь

Л 0 = 0,0241 А — постоянная

Комптона,

которая,

ка к

ока­

залось, не зависит от рода

рассеивающе ­

го вещества . Чтобы объяснить

в ы р а ж е н и е

(9), Комптон использовал з а к о н ы сохра­

нения

энергии

и импульса

с у ч е т о м , э ф ­

фектов теории относительности. К р о м е

того,

он учел

корпускулярные

свойства

света.

Уравнения

Комптона

имели

вид:

hv -|- m 0 c 2 = W -f- me2 ;

^с

+

0 = ^с' + m "

(10)

где

Первое

уравнение

(10)

в ы р а ж а е т

закон

сохранения

энергии,

причем

т 0

с 2

— энергия

покоя

электрона,

а

т с 2 — энергия

элект­

рона

после

взаимодействия

с фотоном. Второе уравнение

выра ­

ж а е т

закон

сохранения

импульса . В этом

уравнении

Комптон

пренебрег

импульсом

электрона

до

соударения,

ибо

скорость

д в и ж е н и я

электрона

в

атоме

много

м е н ь ш е

с

(порядка

100

км/сек).

Совместное решение

уравнений (10)

объясняет

ф о р м у л у

(9),

и это

объяснение

исчерпывающим

образом

п о д т в е р ж д а л о

все

привели

к н

е р а з р е ш и м о м у

парадоксу: с

одной стороны, такие

явления,

ка к

интерференция

и д и ф р а к ц и я ,

говорили о волновой

природе

света и блестяще объяснились именно с

этих

позиций,

с другой

стороны — законы П л а н к а

д л я теплового

излучения,

Эйнштейна — для • фотоэффекта, Комптон - эффект

с

несомнен­

ностью п о д т в е р ж д а л и корпускулярные свойства

света.

Ч т о ж е

такое свет •— волны или корпускулы?

Ч т о б ы оттенить

остроту

четвергам

свет — волны,

а в остальные

дни корпускулы . В

этой

остроумной шутке, как

оказалось,

есть

зерно истины. П р а в и л ь ­

ный ответ

на поставленный вопрос

д а л а квантовая теория.

П о ­

тенциально

свет

содержит задатки

к а к

волновых,

т а к и

корпус­

кулярных

свойств. Уравнения

(8)

в сущности о т р а ж а ю т

имен­

но этот корпускулярно -волновой д у а л и з м . Ведь

в левой части

уравнения

(8) записаны корпускулярные п а р а м е т р ы m и

р,

а в

правой — сугубо

волновые ѵ и À. О д н а к о

двойственность

свойств

света никогда не

наблюдается

одновременно. П р о я в л я ю т с я

или

дифракции

о б н а р у ж и в а ю т с я

волновые и з а т у ш е в а н ы

корпуску­

л я р н ы е

свойства, а

в опытах

по

фотоэффекту — наоборот.

Сле­

довательно,

о свете,

к а к таковом,

в отрыве от о к р у ж а ю щ е й

его

материи,

в отрыве

от

х а р а к т е р а

опытов и

приборов, с

помощью

которых

эти

опыты

проводятся,

фактически

ничего с к а з а т ь нель­

сравнению

с

классической,

которая,

х а р а к т е р и з у я

физические

объекты, допускала некоторую метафизичность: она

представля ­

л а в о з м о ж н ы м

знать свойства тел без

учета их взаимодействия

с о к р у ж а ю щ е й

средой.

Строение атома. Постулаты Бора

В 1913

г. Э. Р е з е р ф о р д

в опытах

по рассеиванию а - частиц

носитель

положительного з а р я д а

и почти всей массы атома,

вокруг я

д р а д в и ж у т с я электроны .

Эта модель напоминала сол­

зывается,

что

т а к а я

п о д к у п а ю щ е простая структура атома,

по­

строенная

по

классическому образцу,

не может быть понята в

р а м к а х классической физики.

Д е л о

в

том, что атомы

многих

элементов очень устойчивы, а некоторые при отсутствии

внеш­

них

воздействий, по-видимому-,

могут

существовать

вечно,

и

о к а з а л о с ь невозможным осмыслить это

обстоятельство

на

осно­

ве классических представлений . В самом деле, электроны

в

ато­

м а х

движутся,

к а к

предполагалось,

по

з а м к н у т ы м траекториям,

вследствие

чего они

д о л ж н ы испытывать нормальное

ускорение

и согласно

з а к о н а м электромагнетизма

излучать волны с часто­

той, равной

частоте

в р а щ е н и я их вокруг

ядер . Излучение сопро­

в о ж д а е т с я

потерей

энергии, но энергия

атома обусловлена ку-

электрона с

ядром д о л ж н о происходить

очень быстро, за время

порядка

10~8

сек,

после

чего атом д о л ж е н разрушиться .

О д н а к о

этот вывод находится в явном

противоречии с ф а к т а м и .

И т а к ,

классическая

теория

не могла

объяснить устойчивости

атомов .

Н о

это

не все.

О к а з а л о с ь , что

нельзя понять

т а к ж е и

рона на

ядро

частота

в р а щ е н и я

электрона, согласно

закону

сохранения

момента количества д в и ж е н и я

m 0 vr

( г — р а с с т о я н и е

м е ж д у

ядром

и электроном, ѵ — скорость

э л е к т р о н а ) ,

по

мере

уменьшения

г д о л ж н а непрерывно

увеличиваться

вместе

со

ско­

ростью

V,

а

это значит,

что спектр излучения

атомов

д о л ж е н

задолго

до того,

как

Р е з е р ф о р д

выяснил

строение

атома,

но

ученые знали еще и прерывные, линейчатые спектры.

Одним

из первых

исследователей линейчатых спектров ато­

мов

водорода

был

швейцарский

ученый

Б а л ь м е р . В

1885

г. чис­

т о математическим путем он открыл закон, позволяющий

вычис­

л и т ь а спектральных

линий

видимой

серии

спектра

водорода .

М ы

приводим

более поздний

и более

современный

вариант

фор ­

мулы

Б а л ь м е р а

1

г . ?_

_

Ü. (п =

3, 4 > . . . ;

R

— 1,097331 • 107

м-2).

(11)

X

22

п 2

З д е с ь

R — постоянная

Ридберга .

З а т е м

были

открыты

аналогичные

закономерности

д л я

спект­

р а л ь н ы х серий в ультрафиолетовой

и

инфракрасной

частях

спектра

водорода,

а

т а к ж е

д л я

спектров

водородоподобных

ионов. Все эти конкретные ф о р м у л ы

о к а з а л о с ь

в о з м о ж н ы м

охватить

в ы р а ж е н и е м

±.

= ^

РА(п

=

т-{-1,т

+ 2,...,^).

(12)

У р а в н е н ие

(12)

носит

название принципа Ритца . В этом у р а в ­

нении

Z — порядковый

номер

элемента,

m — постоянное

число.

Н а п р и м е р ,

д л я

серии

Б а л ь м е р а

спектра

водорода

Z =

1,

m =

2,

n =

3,

4,

...; д л я

серии

Л а й м а н а

в ультрафиолетовой

части

спек­

т р а

m =

1, n =

2,

... и

т. д. Известно 6 серий: Л а й м а н а

(m

=

1),