книги из ГПНТБ / Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЬГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ КАЗССР
ДШШУЛСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ЛЕГКОЙ И ПИЩЕВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
V
И.П.ЦАЙ МЕТОДЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕЦЕННЫХ И КВАДРАТИЧНЫХ
ОШИБОК И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К КРАЕВЫМ ЗАДАЧАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
А Л М А - А Т А - 1973
\ Т1 бї-іблі-іст С'ЛЧ ОСО
Ч И Т А Л Ь Н О Г О З А Л А
Книга рассчитана на научных работников и инженеров, занимающихся вопросами теории упругости изотропного тела, теории связанной термоупругости, теории ортотропного тела "электродинамики, аспирантов и студентов старших курсов
:еханино-матеыатических факультетов вузов.
Редактор И. С. АРЖЛНЫХ
З
ПРЕДИСЛОВИЕ.
В настоящей работе излагаются результаты исследований ав тора по вопросу о разделении переменных в уравнениях теории упру гости изотропного тела, уравнениях теории связанной термоупругс—
стж, уравнениях ортотропного тела с криволинейной анизотропией, векторных уравнениях Лапласа и Даламбера и уравнениях электроди
намики и их приложениях к краевым задачам математической физики.
Затем рассматриваются метод квадратичных ошибок и его применение к краевым задачам теории температурного напряжения. В кратком ви де эти результаты были опубликованы в различных журналах. Теперь
они собраны в одну работу. В первых двух главах части I подробно изложен метод разделения переменных и его приложение к краевым задачам. С делью сокращения объема работы в остальных главах час ти І, П , I I I , 17 и У изложены основные результаты ж их приложе
ния к конкретным задачам, жмепциы в технике важные значения.
В следующей моногрефп «Статические н динамические зада чи математической физики, решаемые методом разделения переменных и квадратичных ошибок" будут подробно рассмотрены статические и динамические задачи теории упругости изотропного тела, теории связанно! терноупругостн и теории ортотропного тела с криволиней ной анизотропией.
И. П. Ш
ВВЕДЕНИЕ.
Одним из эффективных методов решения краевых задач для уравнения в частных производных является метод разделения пе ременных. Если этот метод применим, то вопрос об интегрирова нии уравнений в частных производных сводится к более простому вопросу об интегрировании обыкновенных дифференпиальных урав нений. Как известно, метод разделения переменных при интегри ровании уравнения Лапласа и других уравнении привел к созда нию специальных функций ( сферических, цилиндрических и дру гих ) . Однако следует заметить, что несмотря на большую акту альность вопроса о разделении переменных мы имеем немного ра бот, посвященных всестороннему анализу этого вопроса. Для ска лярного уравнения Лапласа наиболее фундаментальное исследова ние выполнил В.В.Степанов [108] . Почти не было подобных ис следований по системам дифференпиальных уравнений в частных производных. Мы решили восполнить этот пробел для систем урав нений теории упругости изотропного тела, уравнений теории свя занной термоупругости, уравнений Лапласа и Даламбера, уравне ний ортотропного тела с криволинейной анизотропией и уравнений электродинамики. Эффективность предлагаемого метода разделения переменных для систем иллюстрируется на большом количестве прак тических важных задач прикладного.характера. В конце работы рас смотрены метод квадратичных ошибок и его применение к краевым задачам теории температурного напряжения.
|
О Г Л А В Л Е Н И Е . |
|
|
Ч А С Т Ь I . |
|
|
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В УРАВНЕНИЯХ ТЕОРИИ |
|
|
УПРУГОСТИ. |
|
|
Г Л А В А I . |
|
|
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В УРАВНЕНИЯХ СТАТИКИ |
|
|
УПРУГОГО ТЕЛА В ДВУХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ. |
стр. |
|
|
|
§ I . Общее доследование разделения переменных в уравне |
|
|
|
ниях статики в двухмерном пространстве. |
I I |
§ 2. |
Разделение полярных координат. |
17 |
§ 3. |
Тензор напряжений. |
22 |
§ 4. |
Пример I . |
23 |
§ 5. |
Пример П. |
27 |
§ 6. |
Пример I I I . |
28 |
§ 7. |
Интегралы типа Пуассона. |
29 |
§ 8. |
Разделение декартовых координат. |
30 |
§ 9. |
Тензор напряжений. |
31 |
§10. Пример I . |
32 |
|
§11. Пример I I . |
34 |
|
§12. Пример Ш . |
35 |
|
§13. Пример ту. |
37 |
|
|
Г Л А В А I I . |
|
|
РАЗДЕЛиИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В УРАВНЕНИЯХ СТАТИКИ |
|
|
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ. |
|
§ I . Общее исследование разделения переменных в трехмер |
|
|
|
ном пространстве. |
42 |
§ |
2. |
Разделение цилиндрических координат. |
стр. |
57 |
|||
§ 3. |
Тензор випряжений. |
65 |
|
§ |
4. |
Пример I . |
66 |
§ |
5. |
Пример I I . |
67 |
§ |
6. |
Пример I I I . |
68 |
§ 7. |
Разделение декартовых координат. |
69 |
|
§ |
8. |
Тензор напряжений. |
71 |
§ |
9. |
Пример I . |
72 |
§10. |
Пример I I . |
73 |
|
§11. |
Пример I I I . |
74 |
|
§12. |
Разделение сферических координат. |
75 |
|
§13 |
Тензор напряжений. |
78 |
|
§14. Пример I . |
|
80 |
|
§15. Пример Ы. |
|
81 |
|
|
Г Л А В А |
Ш . |
|
|
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В УРАВНЕНИЯХ |
|
|
|
ДИНАМИКИ В ДВУХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ. |
|
|
§ I . Общее исследование разделения переменных в уравне |
|
||
|
ниях динамики упругого тела в двухмэрном простран |
|
|
|
стве . |
|
83 |
§ 2. |
Разделение полярных координат. |
84 |
|
§ 3. |
Тензор напряжений. |
|
85 |
§ 4. |
Пример I . |
|
86 |
§ 5. |
Разделение декартовых координат. |
87 |
|
§ 6. |
Тензор напряжений. |
|
88 |
§ 7. |
Пример I . |
|
89 |
|
Г Л А В А |
ІУ. |
|
|
РАЗДЕЛЕНИЕ ШРЕМЕНШХ В УРАВНЕНИЯХ ДИНАМИКИ |
|
|
|
УПРУГОГО ТЕЛА В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ. |
|
|
§ I . Общее исследование разделения |
переменных в |
|
|
|
уравнениях динамики упругого |
тела. |
90 |
§ 2. |
Разделение цилпшдрических координат. |
91 |
|
§ 3. |
Тензор напряжений. |
|
93 |
§ л. |
Примем I . |
|
95 |
§ 5. Разделение декартовых координат. |
стр |
|||
96 |
||||
§ |
6. |
Тензор напряжений. |
|
97 |
§ |
7. |
Припер I . |
|
99 |
§ 8. Разделение сферических координат. |
100 |
|||
§ |
9. |
Тензор напряжении. |
|
101 |
§10. Пример I . |
|
102 |
||
|
|
Г Л А В А |
У. |
|
|
|
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ |
|
|
|
|
ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА.. |
|
|
§ I . Динамические задачи в плоских декартовых координатах.104 |
||||
§ 2. |
Динамические задачи в полярных координатах. |
114 |
||
§ 3. |
Динамические задачи в пространственннх декартовых |
|
||
|
|
координатах. |
|
П6 |
§ 4. |
Динамические задачи в цилиндрических координатах. |
±26 |
||
§ 5. |
Динамические задачи в сферических координатах. |
129 |
||
|
|
Ч А С Т Ь |
I I . |
|
|
|
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В СТАТИЧЕСКИХ- И ДИНАМИ |
|
|
|
|
ЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ ТЕОРИИ СВЯЗАННОЙ ТЕРМОУПРУ |
|
|
|
|
ГОСТИ. |
|
|
|
|
Г Л А В А |
I . |
|
|
|
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В СГТИЧЕСКИХ И ДШ«МИ- |
|
|
|
|
ЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ ТЕОРИИ СВЯЗАННОЙ ТЕРМОУПРУ |
|
|
|
|
ГОСТИ В ДВУХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ. |
|
|
§ I . Раздепение декартовых координат. |
131 |
|||
§ 2. |
Разделение полярных координат. |
137 |
||
|
|
Г Л А В А |
I I . |
|
|
|
1ЛЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В ТГАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИ |
|
|
|
|
ЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ ТЕОРИИ СВЯЗАННОЙ ТЕРМОУПРУ |
|
|
|
|
ГОСТИ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ. |
|
|
§ |
I . Разделение сферических координат. |
142 |
||
а |
|
|
|
стр. |
|
|
|
|
|
§ |
2. |
Разделение циливдричесішх координат. |
149 |
|
§ 3. |
Разделение декартовых координат. |
156 |
||
|
|
Г Л А В А |
I I I . |
|
|
|
О НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ |
|
|
|
|
ТЕОРИИ СВЯЗАННОЙ ТЕРМОгаРУГОСТИ. |
|
|
§ |
I.Динамические задачи теории связанной термоупругости |
|
||
|
|
в плоских декартовых координатах. |
166 |
|
§ 2. Динамические задыи теории связанной термоупругости |
|
|||
|
|
в полярных координатах. |
|
170 |
§ 3.динамические задачи теории связанной тершупругооти |
|
|||
|
|
в пространственных декартовых координатах. |
173 |
|
§ 4.Динамические задачи теории связанной термоупругости |
|
|||
|
|
в іщлиндрических координатах. |
181 |
|
§ 5.Динамические задачи теории связанной термоупрутости |
|
|||
|
|
в сферической системе координат. |
183 |
|
|
|
Ч А С Т Ь |
I I I . |
|
|
|
РАЗДЕЛЕНИВ ПЕРЕМЕННЫХ В СИСТЕМАХ УРАВНЕНИИ 0Р- |
|
|
|
|
Т0ТР0ПН0Г0 ТЕЛА С ІФИВОЛИНЕІІНОИ АНИЗОТРОПИЕЙ. |
|
|
|
|
Г Л А В А |
I . |
|
|
|
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В СИСТЕМАХ УРАВНЕНИИ |
|
|
|
|
СТАТИКИ И ДИНАМИКИ 0РТОТР0ПН0Г0 ТЕЛА С КРИ |
|
|
|
|
ВОЛИНЕЙНОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ В ДВУХМЕРНОМ ЭВКЛИ |
|
|
|
|
ДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ. |
|
|
§ I . Общее исследование разделения переменных. |
189 |
|||
§ 2. |
Разделение декартовых координат. |
190 |
||
§ 3. |
Пример I . |
|
191 |
|
§ |
4. |
Разделение полярних координат. |
195 |
|
§ |
5. |
Пример I . |
|
197 |
|
|
Г Л А В А |
П. |
|
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В СИСТЕМАХ УРШІЕНИЙ СТАТИКИ И ДИНАМИКИ 0РТОТР0ПН0Г0 ТЕЛА С КРИ-
|
ВШШЕЙНОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ В ТРЕХМЕРНОМ |
|
|
ЭВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ. |
стр. |
|
|
|
§ I . Общее всследованне разделения переизнннх. |
200 |
|
§ 2. |
Разделение декартовых координат. |
201 |
§ 3. |
Пример I . |
203 |
§ 4. |
Разделение цилиндрических координат. |
207 |
§ 5. їїрішер I . |
210 |
|
|
Г Л А В А I I I . |
|
|
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ 0РТСТР0Ш0Г0 ТЕЛА. |
|
§ I . Динамические задачи теории ортотропного тела |
|
|
|
в плоских декартовых координатах. |
212 |
§ 2. |
Динамические задача теорш ортогропного тела с ци |
|
|
линдрической анизотропией в полярных координатах. |
215 |
§ 3. Динамические задачи теорш ортотропного тела в |
|
|
|
пространственных декартовых координатах. |
217 |
§4. Динамические задачи теории ортотропного тела с це ЛИвдрическойанизотропией в цилиндрических коорди
|
натах. |
221 |
|
Ч А С Т Ь |
ІУ. |
|
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В ВЕКТОРНЬл |
|
|
УРАВНЕНИЯХ ЛАПЛАСА И ДАЛАМБЕРА. |
|
|
Г Л А В А |
I . |
|
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В ВЕКТОРНЫХ УРАВНЕНИЯХ |
|
|
ЛАПЛАСА И ДАЛАМБЕРА. |
|
§ I . Общее исследование переменных в векторных уравне |
||
|
ниях Лапласа и Даяамбера. |
22G |
§ 2. |
Разделение координат. |
234 |
§ 3. |
Пример I . |
238 |