книги из ГПНТБ / Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов

КИЕВСКОЕ ВЫСШЕЕ ИНЖЕНЕРНОЕ РАДИОТЕХНИЧЕСКОЕ УЧИЛИЩЕ ПРОТИВОВОЗДУШНОЙ ОБОРОНЫ

А. М. ЧЕПИЛЬ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ЭЛЕМЕНТЯМ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Ки е в

1974

1 СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ,

ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА (СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ).

ПРИМЕРЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Основными понятиями теории вероятностей являются поня­ тия случайного события и его вероятности, а основным объек­ том изучения — случайная величина. Достаточно широкий класс задач решается методами «классической» теории вероят­ ностей. Однако все многообразие массовых случайных явле­ ний, происходящих в реальном мире, невозможно описать ма­ тематически понятиями случайного события и случайной вели­ чины. Методы «классической» теории вероятностей не приспо­ соблены для решения тех задач, где существенны течение вре­ мени или вообще изменения одних величин в зависимости от других, когда эта зависимость или сами величины являются случайными. В то время, как физика и техника интересовало изучение процесса, т. е. явления, протекающего во времени, «классическая» теория вероятностей не имела ни общих прие­ мов, ни разработанных частных схем для решения задач, воз­ никающих при изучении подобных явлений. Появилась на­ стоятельная необходимость в разработке общей теории слу­ чайных функций, т. е. теории, которая изучала бы случайные величины, зависящие от одного или нескольких непрерывно изменяющихся параметров. Изучением случайных явлений, в которых случайность проявляется в форме процесса, занимает­ ся специальный раздел теории вероятностей — теория случай­ ных процессов, основы которой заложены в фундаментальных работах советских математиков А. Н. Колмогорова и А. Я- Хиичина. Основным объектом изучения в этом разделе теории ве­ роятностей является обобщение понятия случайной величи­ ны — понятия случайного (стохастического) процесса или слу­ чайной функции.

Дадим определение случайного процесса (случайной функ­ ции). Пусть имеется пространство элементарных событий 2 и непрерывный параметр t с областью изменения Г.

3

Определение. Числовая функция, определенная на про­

странстве элементарных событий L2 и зависящая от парамет­ ра t

$ (t) = / ( « , t) ,

называется случайной функцией.

Таким образом, случайная функция — это функция двух аргументов ы и /. В тех случаях, когда параметр I означает время, случайная функция будет случайным процессом. Усло­ вимся в дальнейшем понятия «случайная функция» и «случай­ ный процесс» считать эквивалентными. Как и детерминиро­ ванные, случайные функции могут зависеть не от одного, а от нескольких неслучайных аргументов. Например,

I («, V,-t) =/(u>, и, V, /) .

В пределах этой книги будем рассматривать случайные функции, зависящие только от одного неслучайного аргумен­ та t. И так как в физике и технике под параметром t чаще все­ го понимается время, то в основном нашим объектом изуче­ ния будут случайные процессы.

Для каждого значения аргумента t (в каждый момент вре­ мени t) функция /(«>, t) будет обычной случайной величиной. Это значение называется сечением случайной функции (слу­ чайного процесса) £ (/) в момент времени (. Для каждого фиксированного значения аргумента ш функция /(ы, t) будет неслучайной функцией одного действительного переменного I. Каждая такая функция называется реализацией случайного процесса £ ((). Каждая конкретная реализация x(t) описы­ вает одно из возможных течений случайного процесса.

нт. д., а их возможные реализации — x(t), y{t), z(t) и т. д.

Вкачестве примеров случайных функций (случайных про­ цессов) можно было бы назвать процесс диффузии жидкости или газов, процесс протекания химической реакции, процесс распада радиоактивного вещества и т. п.

Процесс — это протекание последовательной смены состоя­ ний какой-либо системы. Если в каждый момент времени со­ стояние некоторой системы будет случайным, то говорят, что протекание изменений состояний этой системы управляется случайным процессом.

Предположим, что некоторая система управляется случай­

4

'? (*„), ? (M , i 0 3) , . . . л (О

Такой процесс называется случайной последовательностью или процессом с дискретным временем. Например, процесс об­ разования очередей в обслуживающих системах будет процес­ сом такого типа.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий введенное определе­ ние случайного процесса.

Пусть

Е (t) = A cos (юг! -j- ®) ,

где А > 0, ш > 0 , ср— случайные величины. Такой случай­ ный процесс называется случайной гармоникой. Многие зада­ чи радиотехники приводят к рассмотрению непрерывно изме­ няющихся случайных напряжений и токов на выходе радио­ приемных устройств, которые в общем случае можно описать математически как суперпозицию простейших гармоник. По­ этому неоднократно будем возвращаться к случайным гар­ моникам.

Очевидно, что каждая реализация х (() — Л0 cos (со,,/ + ®„) есть косинусоида с амплитудой Ло, частотой со0 и фазой ®0, а множество всех реализаций этого процесса есть множество гладких кривых, зависящее от трех параметров Л, со и ®. Если известна плотность распределения вероятностей f(x t, х%, х3) случайного вектора (Л, со.. а), то случайная гармоника будет описана полностью.

В приложениях часто встречается случайная гармоника с

чайной амплитуды Л. Такая гармоника описывается полностью двумерной плотностью распределения вероятностей

/ (Н . *а) = -4 г ~ / (М) (0 < хг < 2*) .

__ „ Преобразуем случайную гармонику к виду

5 (t) — a cos ini + b sin tut,

где

а = A cos ® , b — — Л sin ср .

Если m неслучайна, то случайные величины а. и Ъ облада­ ют следующими свойствами:

1)М а = Mb = Ош ;

2)Da = Db — Ма- = Mb- =« -1- МА'1, Mab = 0 .

5

Действительно,

Аналогично находим, что Mb = 0. Так как Л и © независимый

Жяй = Ж (— Л2 cos © sin ср) =■= — ЖЛ2 Ж (sin tp cos <р) = 0 ,

Закон распределения простейшего случайного процесса — случайной гармоники можно, как это было показано, задать в виде плотности распределения вероятностей f(x\, хг, х3) трех­ мерного случайного вектора (Л, со, ср). Однако сам по себе этот случайный процесс не представляет большого интереса, так как его «случайность» носит статический характер — опре-

6

деляется лишь «однажды» (неважно, в какой именно момент i) принятым значением случайного вектора (А, ш, ®); вся за­ висимость от времени здесь носит неслучайный, детерминиро­ ванный характер.

У случайного процесса более общего вида зависимость от времени носит вероятностный характер. Значение процесса £ (t), принятое в момент to, не определяет однозначно значе­ ние процесса в какой-либо момент t > t Q, а лишь влияет на за­ кон распределения сечения в момент t. Поэтому, если известна функция распределения Fi(x\ t) сечения процесса § (t) в мо­ мент t, то она не является в общем случае исчерпывающей ве­ роятностной характеристикой этого процесса. Действительно, пусть £ (t) — случайный процесс с дискретным временем, при­ чем он может принимать свои возможные значения только в моменты tu t2 и t3. Тогда знание одномерных функций распре­ деления F\(x\\ t\), F\{xr, h) и F\(x3; t3) еще не определяет за­ кона распределения трехмерного случайного вектора (£ (/,), £ (t2), £ (ta)), ибо его компоненты в общем случае зависимы между собой, и для полного описания случайного вектора тре­ буется задание трехмерной функции распределения

F3{X\, Х2, х3\t\, t2, t3).

Более полной вероятностной характеристикой случайного процесса £ (t) по сравнению с одномерной функцией распре­ деления F\ (х; t) будет двумерная функция распределения F2(x1, х2; U, t2), т. е. функция распределения двумерного слу­

Увеличивая число сечений и получая соответствующие много­

Это вероятность, и функция распределения зависит от п па­ раметров t\, t2, . .. , t„ и должна быть определена для любого набора значений tu t2). . . ,' tn из рассматриваемого промежутка времени Т.

7

Если известен «-мерный закон распределения случайного процесса £ (£), то из него автоматически получаются все зако­ ны распределения низшей размерности. Действительно, пусть, например, задана трехмерная плотность распределения

/з(*ь х2, х3; tu t2, U). Тогда

8

F2[x{, x2\ t u U) = | j j f s(x i> * 2. -V- *i. (2, t3) d x ldx3dx3, (8)

так как многомерные плотности распределения вероятностей и многомерные функции распределения случайного процесса f; (/) обладают всеми свойствами этих вероятностных харак­ теристик многомерного случайного вектора, я-мерная плот­ ность распределения вероятностей (или я-мерная функция рас­ пределения) случайного процесса является тем более полной характеристикой, чем больше я. Но для полной вероятностной характеристики произвольного случайного процесса необходи­ мо знать все его я-мерные законы распределения, что практи­ чески в общем случае неосуществимо, так как в любом конеч­ ном промежутке Т времени t можно рассматривать как угодно много сечений этого процесса и, следовательно, как угодно большой размерности случайные векторы и их законы распре­ деления. Оперировать многомерными функциямираспределе­ ния (при я > 3) чрезвычайно неудобно. Поэтому наиболее изу­ чены те случайные процессы, для полного описания которых достаточно знать только двумерные и одномерные законы рас­ пределения. Это весьма важные в прикладном отношении та­ кие случайные процессы, как марковские, нормальные случай­ ные процессы и процессы с независимыми приращениями;

В заключение вернемся опять к рассмотренному в § 1 при­ меру и найдем закон распределения случайной гармоники с независимыми случайными амплитудой и фазой и фиксиро­ ванной частотой.

Пример. Найти закон распределения случайного процесса

£ (t) = A cos (и>/ -(-» ),

где со — не случайно, tp — случайная величина, равномерно распределенная в интервале (0; 2z) и А — случайная вели­ чина, распределенная по закону Рэлея с плотностью распре­ деления вероятностей

причем А и <р — независимы.

9