Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Постникова Л.П. Тауберова теория с приложениями к аналитической теории чисел учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.12 Mб

Скачать

☆

1 / 151 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

КАЛИНИНСКИЙ П Ю Ш Р С Т В Е Ш І І І И Л І И Б Е Р С И Т Е Т

Л.П. Постникова

ТАУНЕРОВА ТЕОРИЯ С ПРИЛОЖЕНИЯМИ К АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Учебное пособие под редакцией'Г.А.Фреймана

КАЛИНИН 1973

ПРЕДИСЛОВИИ РЕДАКТОРА

В различных областях математики - анализе, комбинаторике, теории вероятностей, спектральной теории дифференциальных опера торов, аналитической теории чисел применяется метол производящих функций.

Учебное пособие Л.П.Постниковой посвящено методу производящих функций, точнее, асимптотическим задачам, решаемым с помощью этого метода. Опит развития математической науки показал, что зачастую исследование какого-либо объекта выгодно вести не непосредственно, а с помощью каких-либо вспомогательных средств. Так, уже Эйлер за метил, что исследование арифметических функций можно вести с по мощью специальных рядов, коэффициентами которых являются эти функ ции.

Именно в этом и состоит метод производящих функций. Тауберова теория - традиционное назваюіе по имени английско

го математика Таубера, доказавшего одну из теорем этой математики.

На русский язык переведены две классические монографии,со держащие изложение тауберовой теории. Это книги Г.Харди "Расходящие

ся ряды",		M [951 и		Н.Винера "Интеграл		Фурье и некоторые его приложее
ния",	M	1963.
	Однако		эти	монографии	едва ли	можно рекомендовать для		пер
воначального			ознакомлеігая.
	Настоящий курс лекций предназначен для студентов универси
тетов	и	педагогических вузов,			не имеющих специальной		подготовки,
вплотную		примыкает		к основному	курсу	анализа и теории	чисел и	в

систематической форме подводит к вопросам, в которых ведётся научноисследовательская работа.

i'.ype лекций был пі«читан в Московском государственном педа

гогическом институте им. В.И.Лешшя автором.

Г.Л.Фрейман

ОТ АВТОРА

Основы аналитического метода в теории чисел были заложены великим Эйлером. Начало XX века ознаменовалось большими успехами этого метода, - развитие аналитической теории чисел приняло как би лавинообразный характер. Большой вклад был внесён аігглийскими учёными Харди и Литтлвудом.

Метода, которые здесь возникли, оказали значительное влия ние на формирование математического анализа^ а также на ряд дис циплин, использующих аналитическиеметоды, в том число на теорию функциональных уравнении и теорию вероятностей.

Настоящее учебное пособие адресовано студентам-математикам, интересующимся приложениями аналитических методов.

1 .СУМИРОИАІМЕ РЯДОВ МЕТОДОМ CPIiUUMX А ФАКТИЧЕСКИХ

§ I . Лента о пределе среднего арифметического

Мы начнём с одного тривиального утверждения теории пределов. Лежа. Если числовая последовательность

имеет предел
U/n	Хп = CL ,
П-г С-л
то и последовательность	средних арифметических

X, *-Х2		Xj_ +Х2	+ ...+ Хп.
X
имеет тот же предел	a
имеет тот же предел
Доказательство настолько		простое,	что только обязанность

оыть пунктуальным заставляет нас его здесь воспроизвести. Прежде всего, всякая сходящаяся последовательность ограничена, поэтому

существует такое

число

что при любом

x J

Из того, что / с

п г

Хп-~

следует,

что

П. -reo

a \

à .

Зафиксируем

. В

силу

то. о,

что

Um.

Хп

~ CL?

найдётся такое

зависящее

от

число

Ао

С£)

, что при

Теперь проведём

такую оценку: при

/Î/

\CL-Xii-

CL-Xz

•-» +

# - X > i |

I « ~xj + . . . -на. - XAt-zl + 10.-/^1 +...+ | а - Х д )

_ 5 ..

_	\сі\	+ )XJ +- ...+(€11 + 1x^1+	âÇn-Ai+d)
_		_____

/ 1

/ г

В виду этого неравенства іі]>и достаточно о'олыном П-

Но £ можно взять сколь угодно малым, значит

Urn. [а	-	.	) =	о,
/7 -*• гг^.
т . е .
Cl/tv	-		- f-i-
Лемма доказана.
Нам следует	подумать	над	теі.\ ещѵшедлігво ли обратное

утверждение, т . е . поставить себе такоіі вопрос: задана ппкоторая числовая последовательность

причём известно, что последовательность средних арифмети

ческих	имеет	піедел
	/.	XL	-г Xz	+ ...	+ XtL		^
	ІСПЪ			—		•=u .
Следует	ли из	этого	, что	и.:",_,Т'.(і ш^дед			;	ііохочіюіі посю-
дователыюстн		{^у,}	?					і с>но£л ,і\п п<:
Нростие		примири нокаинь-чп-.:, чіо,				•	\ е	і с>но£л ,і\п п<:
так. В самой		дело,	]->соі ютиим		п о с л е • • • н о с т - ь

1, о, i, о, i.

Эта последовательность не имеет предела. Рассмотрим теперь последовательность средних арифметических. Мы заме чаем, что

чётное

нечётное

Инши

словами

*• х 2

+ . . . + х „

•>

где

-знак

целой

части.

Поэтому

- і

*Xj> i- ... '- X,,

/г

+ 1

•

/ г .

Из этих

неравенств

очевидно

следует,

что

<Г іАгг.

/і -

ІѴІѴІ имеем

отрщателъныи

пример

на

наш вопрос, т . е . имеем

пример последовательности не имеющей предела, однако такой,

что последовательность еь средних арифметиче.-'.дас имеет предел.

Наметим, что лемма о пределе среднего арифметического

имеет

"непрерывный

аналог". Под этим мн понимаем

следующее

утверждение: пусть

на

полупрямой

(

О , &<г> )

определена непре

рывная

ыунгцпя

( U )

, предположим, что

при U -*~

существует преда i

и. •—

тогда будет существовать н предел среднего н этот предел будет равен CL , т . е .

	t		о
Доказательство аналогично доклаптельотву леммн о пределе
среднего арифметического н г.лл здесь его воспроизводить не
будем.
		§	Я. Теорема Мещера
	Итак,	если	числовая		последовательность		имеет продол,
то	и последовательность				средних	оргоТштических имеет предел,
а	обратное	не всегда		верно.
	Рассмотрим		теперь іуія длиной числовой				последователь! юо-
ти
		Х і . ,	*я	,	• . • ,	Хп. , . . .	( I )

другую поеледоветольность, которую іілпоніл.і "компромиссной"

На основании леммы о пределе сродного арифметического m паіслючпем, что если исходная последовательность (I) имеет' пре дел

lim	Х,і ~ CL 7

то "компромиссная" последовательность toxîo будет иметь пре дел

(Ст. (Ха + * ^ ^ * - }

=2а.

Зададимся теперь огірятнмм вопросом. Дана числовая после довательность ( I ) , известно, что связанная, с неіі компромис сная последовательность (2) п:.*и:ѵ ніюдел

- Ь -

	U		(хл	+ J U ± ù i ^ j							= 2 а ,
можно ли		из	этого		заключить,			что исходная			последовательность
( I )	имеет	предел и этот				предел			зчшен
			II	/ i m	Хп.		~cl		F
			II	—
	Полокитолышіі ответ на этот вопрос даёт следующая тео
рема	Мерсера.
	Теореш.			Iiели
ТО			П-— с-г>
ТО
			tint-		Хп		~	СІ
	Г-ІІЛО предложено несколько доказательств этой теоремы,
интересующихся				отошлём		к	книге		Г.Харди "Расходящиеся ряды",
M І9Ы п.?.9 и п.5.10.						Здесь		\т	приведён	доказательство
Tfîoper.TiJ Мерсеpa данное Муром.
	Прозде		всего		ш иожч.і считать, что					а	— О , в самом
деле, пусть			:.п\ доказали,				ЧТО :;З
			'ііпі		[Хц	+		il
			ft -f tvo					il
			ft -f tvo
следует
			'Cim		Ун		=	0
			II	-г £.->
ЛОЛОКІП!			Уп		~	Û			Имеем
	V '	,	X i V ^ + A,^

По условию
Хл+	Х±-±^-1*Л-	- 2 а	— о .
Значит,
lim	[кп. + ~~	п.	) ~ V

Мы предположили, что из этого следует

	'Lern-			Х/і — 0	,
т . е .
и значит
>	»
	tun			Хп. — ^ .
	/г -»•«•«
	Итак, пусть
	, !			/г		<" •	Лх ..г Хп
Положим Ю.0		=	О		ri=l}'2t...	_	Лх ..г Хп
Положим Ю.0		=	О	, а для	ri=l}'2t...	А ^ л -	я
	Имеем
				Хі	+ . . . -t	Xп-i
	ra il-1
	r	L	*		n
Отсвда
		Кѣ		= і і - т я - ( г і - і ) г п п . . і

- I Ü -

1 / 151 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ