Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Осипов В.М. Математические основы кибернетики. Начала вариационного исчисления и элементы теории оптимального управления учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

3.76 Mб

Скачать

☆

1 / 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Гаг.	п^бпичкач
нау	-. -хии-і^ская
6-0 * о -.-.л		С С С Р
..	. З Е М .	І Л Я Р

ЧИЧ ЛЯЬНОГО З А Л А

УЗ13/999 ~

С ТЛИ. 1973.

				О Г Л А В Л Е Н И Е
														Стр.
Оглавление
Предисловие
						Часть	I
			Начала вариационного						исчисления
I .	Простейшая		задача вариационного						исчисления			о . . . .	. .	. .	I
	1 .	Введение	.	. . .	. . .	. . . . » .	. . c	o	. «	. . . .	. . .	. . . .	»	»	I
	2.	Вариация функционала и её свойства											, „		4
	3 .	Уравнение		Эйлера		. . . . . . . .	. . . .	.	. . .	. . . . .	o . .	» . . .	. » . .		S
	4„	Частные	случаи уравнения				Эйлера			, , , „ „ . » • • > • . • '					13
	5.	Условие	Лехандра			. . . . . „	„ . . .		о о	х . і м	. о	. о д х	г	м	I?
I I .	Обобщения простейшей					задачи	. . . .		. . „ , „ . . . .		0 0 0 0 0 , 0 0 , 0				20
	1 .	Функционалы, зависящие от нескольких неиэвесзннк													, . 20
		функций				.	. . . .	.	. . .	. . . . .	. . .	. . . ô	,	, . ,	, . 20
	2.	Принцип наименьшего действия								„ „					22
	3. Функционалы,				зависящие от производных						более				о
		высоких порядков				. . . . .	. . . .		. . .	. . . .	. .	. . . .	.	. .	о
Ш.	Задача с подвижными концами														28
	1.	Основная формула для вариации функционала „„„...												„	28
	2.	Условие	трансверсальности о . .						. . . .	.					30
	3 .	Экстремали с			изломали.
		УСЛОВИЯ Вейерштрасса-Эрдмана							. . . і				• • • •		3 3
I V .	Вариационные			задача		на условный			экстремум . . о « . о				. .	. »	37
	1 .	Метод множителей Іагранна. Общая задача
V ,	2.	Иэоиериметрическая задача											к .		42
V ,	Канонический			од	уравнений		Эйлера								44
						Часть П
		Элементы теории оптимального управления
I .	Управляемые			объекты		и их математическое					овисание ....				49
	1 .	Основные понятия				. . . . . . .	. . . .	> . .		ѵ . . . .	. . .	. . . . .	.	. . .	^9
	2,	Допустимые управления . . .					. . . .	.	. . .	. . . . .	. . .	. . . . о . » .			54

П.	Постановка задач оптимального управлении							58
	I»	Две основные задачи . . . . . . . . . .				„		56
	2.	Задача о максимальном быстродействии					« . . .	63
	3» Решение задачи		об аналитическом		конструировании
		регуляторов методом классического вариационного						64
		исчисления		. . . . . . . о . . . . »				64
	4. Другие задачи оптимального управления.
		Преобразование	критериев оптимальности					72
Шо	Принцип максимума Понтрягина							77
	Іо	Предварительные	соображения					77
	20	Вывод принципа максимума для задачи со свободным						79
	3.	правым концом траектории					дви	79
	3.	Принцип максимума для задач, в которцх время					дви	89
		жения не фиксировано		заранее				89
ХУ„	Задача о максимальном быстродействии . . . . . . . . . . . . . . . . . .							90
	Іс	Постановка задачи. Решение методом принципа
	2.	максимума		задачи о максимальном быстродей				90
	2.	Порядок режима общей		задачи о максимальном быстродей				96
		ствии для линейного		объекта				96
У.	Понятие о методе динамического программирования							100
По	Устойчивость по Ляпунову и динамическое					програм		105
	мирование		».					105
	I »	Устойчивость по	Ляпунову , . » . »		. в о	. . . . * . . • . . . . > . . . . . . 10
	20	Функция Ляпунова						108
	3.	Теореш Ляпунова об устойчивости . . . „ . « . о . . . . . . . . . . .						ПО
	4« Функция Гяпунова и динамическое				программирование . . .			115
Л в	s е	р а s у р а						117

аРВДИСЛОВИЕ

Настоящее пособие представляет собоЦ. краткий конспект лекций по одному из разделов курса 'Математические основы кибернетики", которые автор читал в Томском политехническом институте в течение ряда лет для студентов специальности 0606 (автоматика и телемеханика) и некоторых других специальностей»

Косо-': состоит из двух частей. В первой части изложена обычные вогі :осы классического вариационного исчисления в рам ках необходимых условии экстремума.

Центральный вопрос второй части - принцип максимума Л.С. ііонтряиша излагается на основе классического вариацион ного исчисления в духе известной работе Л.И. Розоноера, Та кой подход, с нашей точки зрения, является более естествен ным в методическом отношении.

Связь между обеими частями пособия можно видеть также при решении задачи об аналитическом конструировании регуляторов (задача об оптимальной стабилизации), которая рассматривается как общая задача Лагранжа вариационного исчисления.

В несколько особом положении оказывается последние две главы. Материал этих глав непосредственно не связан с преды дущим, но является актуальным и относится к той же проблема тике. Здесь дается понятие о методе динамического крогракмирования Р. Беллшна и устанавливается его связь со вторым ме тодом A.M. Ляпунова в задачах об оптимальной стабилизациио

В тексте нет ссылок на литературные источники„ однако„ к каждой части дается подборка основных работ, которыми пользо вался автор.

Ч а с т ь I

НАЧАЛА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛШШ

I . ПРОСТШлАН ВАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЙ.

I..Введение

Во МІЮІ ix задачах, возникающих в математике, фазане и технике важк.ую роль играют переменные зеличины, назышеше функционалами. Понятие функционала обобщает понятие функция. Говорят, что задана функция, если любому числу из некоторой области (независимое переменное) поставлено а соответствие другое число (функция). Говорят, что задан функционал, если

каждой функции	(или		кривой)	зз	некоторого класса		поставлено
в соответствие	определенное			число .и
Таким образом,	функционал -			это функции, з которых роль не
зависимого переменного играют кризне яян функция»
Например. Функционалом является &кина кривой							І » сое
	диняющей две			заданные точки:
			•я*
Каадой кривой	y/xJ		t проходящей череэ заданные зочки, ев -
ответствует определенное число					IC'Ji*)]
Функционалом будет		к площадь		иод кривой		'
Такт? величины как		моменты ныерцвш фигур и Tas,				координата

центра тяжести кравыз а плоских фигур таюеа являются функцио налами, т . к . все они зависят от знбора формы spscBss в поверх ностей, ограничивающее тела, т . е . а конечной итоге от набора

- г -

фушщкй.__ Общие свойства функционалов изучаются в разделе ма тематику который называется функциональным анализом. Однако яока ещё ке создано достаточно общих методов анализа фуішциояалозс аналогичных классическому анализу функций. Наиболее разработанными являются методы определения максимальных и минимальннх (экстремальных) значений функционалов.

Раздел математики, изучающий методы определения экстремаль ных значений функционалов называется вариационным исчислени ем. Задача, в которых требуется исследовать функционалы на экстремум называются вариационными задачами. Многие законы механики и физики, в сущности, утверздают, что некоторый функ ционал в рассматриваемом процессе должен достигать максимума или минимума. Б такой формулировке эти закоіш выражают более обща закономерности природа и называются вариационными прин ципами механики ЕЛИ физики.

К числу гаких принципов относятся: принцип наименьшего дейст вия s закон сохранения энергии и различные следствия его, црняцип Ферка в оптике и др.

Методы вариационного нечисления находят весьма широкое приме нение в современной теории автоматического управления. Вариационное исчисление возникло и оформилось в самостоятельЕЫЙ раздел математики в 18-ом веке, главным образом в работах Леонарда Эйлера„который по праву считается основоположником

этого	раздела математики.	В становлении вариационного исчис
ления	большую роль сыграли	следующие три задачи.

I . Задача о брахистохроне.

В 1969 году Иоганн Бернулли опубликовал письмо, в кото-

- 3 -

ром предлагал вниманию математиков задачу о линии быстрейшѳгс

ската - боахистохроне. В этой	задаче требуется определить ж-
~	V
" 1	ішго0 соединяющую две заданные .
" 1
I	точки Â и В ае лежащие на одной
	вертшсальной прямой,, a обладав-
	щую тем свойством» что материаиь-
X	ная точка скатитек по этой линии
	из точки А в точку 3 з кратчай
шие. Î	шее время Рис, I .
Оказалось, что такой линией является не прямая, соадагазщая А к

В, хотя она и является кратчайшим расстоянием между этими точ ками, а циклоида, Зту задачу решшш от автор И. Бернудлн„ его брат Я. Бернулли„Лейбниц, Ньютон,и Лошгааль. Каздый кэ них

шел своим путем,'использовал		свои приемы.
2.	Задача о геодезических линиях.
Требуется	определить линию наименьшей д ш ш ,			соеданяющук) две
заданные	точки на некоторой	поверхности		M.j*ü
Такие . кратчайшие дикий называются геадезическкш. Sra					задача
была решена fi. Бернуяли в 1698 году,,			но общий метод решения
				»
задачи какого типа был дан в		работах	Эйлера и Лагракжа..
3.	Изозериметрическая	аааача.
Требуется найти заьжнутую кривув заданной .длины £					„	огра
ничивающую максимальную алощадв S . Такой лжшзй5 как оыяо иа-
зестно ещё s дрезней Греции,		являемся окружность. 3 этой зада
че требуется определить э&сгрэиуы функцискала яры каяичш
своеобразного условия: длине		заразой долгна быть постоянна,				г.во

_ 4 -

значение функционала

сохраняет постоянное значение. Условия такого типа называют ся изойериметрическими. Общие методы рещешш задач с изопериметрическими условиями были разработаны Л.Эйлером.

Бздыаое число встречающихся в приложениях вариационных задач состоит в определении экстремума функционала вида

эта так назызаемая простейшая задача вариационного исчисления.

2= Вариация Функционала и её свойства.

Взедем некоторые понятия аналогичные понятиям обычного

матанализа.
Пераченная величина У называется функционалом		завися
щим от фуякцьи	с что обозначается как й[у-(х$,	если

каждой функции у(х)жх. некоторого класса функций соответствует зааяеше 3 .

Приращением или вариацией <^ аргумента функционала у	^ н а
зывается разность ыезду двумя функциями Sg*y,(x)-,	при-

чеы предполагается, что у в м е н я е т с я произвольно в некотором классе функций.

Вонятне непрерывности функционала можно дать по аналогии с по нятней непрерывности функции: функция непрерывная если малому шжен&шю аргумента соответствует малое изменение функции . •аналогично; функционал "Э(у-) называется' непрерывным, если маaoäsy изменению у/ЗДсютветствует малое изменение JfylxJ].

Однаао такое определение нувдается Е уточнении, т.к. неясно захие изменения аргумента ytejназываются малыми или, что тоже

- 5 -

самое, какие кривые у-у(х) и у, ~У<(Х1считаются близкими.

Можно считать близкими функции	у и Ц{	в том смысле, чтс
модуль их разности мал для всех	значении	х , для которых

задаются ЭТИ функции.		Другими ^лозами функции у(х) и fri^MoK-
но считать	близкими,	если они близки по ординатам. При таком
определении	близости,	функционалы вида

Хо

из-за нашчіш у' будут непрерьшным лишь в исключительных случаях. I Например. Если функционал есть

		Ь	длина кривой между тэтяами А и
			В, то длина близкой кривой
			[близкой по ординатам]	мокет
			весьма сильно отличаться от дяи-
) А		ни	кривой у (х) Рис.2 . Поэтов
0		во многих случаях более естест-
	Рис.	2	венно считать близкими те кривые,
которые	близки по ординатам и по производным, т . е . мал не толь
ко модуль разности lyix)~%UX)\>			но и модуль разности	произ
водных	\|#'"^'f .	Иногда оказнвается необходимым считать		близки

ми только те функции, для которых малы модули каадой из разнос-

™ 7 у - ^ / ; у - у / / ; / / - у / / / / У " / -

Учитывая	сказанное можно ввести следующие определения				близости
кривых	у С*)	и
Кривые yfxja у, (xj близки в смысле близости				нулевого поряд
ка, если	Іу(х)-у,(х1Іыал.
Кривые		у, fx,/близки в смысле	близости	первого	порядка,
если малы модули разности Іу(х)-y,lx)j			_ ly'(x)-^'t'Cx)j.

1 / 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ