книги из ГПНТБ / Некоторые специальные разделы курса теоретической электротехники учеб. пособие
.pdf
ЙІИН'ЙШРСІВО ВЫСШЕГО И СРЕДНИМ СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР.
Томский ордена Окхяйрьской. революции и ордена Прудового Красного Знамена политехнический
институт имени С.а.Кирове1.
а.Ц.і'алинскийі, А. М ..Купцов, В.АЛукумв* (з.Д.иоькон.
шъшшШ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ.
(.Учебное пособив).
Редактор В.А.ЛУШИН
- і -
ПРЕДИСЛОВИЕ.
Объем материала, охватываемый учебниками ао курсу "Теорети ческие основы электротехники",за редкий исключением не рихоп-, дит за рамки програми высших учебных заведений..- рамки,обус ловленные учебными планами и сроками обученияЬ&При атом оста ются нерассмотренными многие методы расчета ал*втоомагнитных полей и цепей,которые широко применяются в инженерном практи ке tособенно в последние годы благодаря внедрению электронновычислительных машин}.
В данном пособии,которое адресовано сяудентам старших кур
сов, аспирантам и инженерам,делается |
попытка отчасти восполнить |
этот пробел.Читателям предлагаются |
вариационный метод решениа |
краевых задач электростатики и магнитостатики,точечный метод решения дифференциальных уравнений,описывавших установившей и переходные процессы в электрических цешіх,нет< і графоав при менении к расчета электрических цепей! и один из графических методов расчета нелинейных цепей.
Учебное пособив предназначено для предварительного ознаком ление с перечисленными методами и для лучшего их понимаиия,содержит подробные числовое решения достаточного каличесгва за дач и примеров. Более детально изучить эти методы читатель мо жет по специальной литературе,список которой дан в конце каж дой главы.
Пособие содержит четыре главы, по смыслу не связанные неку да собой,поэтому нумерация параграфов,формул и рисунке.* в каж
дой главе |
самостоятельная. |
|
||
Піава |
I |
написана |
Б.А.лукутиным, I I - Ь.2,.Ьеътвш,Х1£ |
- |
А.Ц.Кулцовам |
« U - |
Н.й.Галинским. |
|
|
- г -
I глава.
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОЮ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕШЕРИЧЕСКОГО И. МАШИННОГО ПОЛЕЙ.
Введение.
При конструировании различных электротехнических приборов (электрических манив,высоковолышой аппараадры)возникает не обходимость в исследовании электрических или магнитных полей, создаваемых зімни устройствами.Известно,что статические поля удовлетвори*» уравнением. Далласа или Пуассона. При ааданных граничных условиях ахи уравнение решаются различными прие мам, наиболее расдространешшми из которых являются метод раз деленно, переменных,зеркальных отображении, конформных оіображенни.Реивния. обычно получатся в виде бесконечных рядов, поль зоваться которыми не удобно.Если же границы области инею» слохц/в конфигурации или потенциалы (или их производные) на атих границах описывается некоторыми фациями, то приманений упомянутых методов становится весьма затруднительным.
В данной славе рассматривавІСЯ*ЇОЗНОЖНОСІЬ использования вариадаонных методов ревенна краевых задач,которая позволяет получить аналитическое приближенное решение в виде рушш прос тых функция. Подобное решение во многих инженерных задачах обеспечивает приемлемую точность,* простое аналитическое выра жение результатов расчета значительно.облегчает исследование, нолей*
КРАТКИК СіЩКНИгі О ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ.
С давних пор человеку приходится решать экстремальные задачи, суть которых сводится к отысканию оптимального ва рианта. К подобным задачам относится, нахождение наиболее ко роткого расстояния, между двумя пунктами, выбор формы, макси мального обьема , который можно изготовить из заданного лис та, определенна формы поверхности , имеющей наименьшее сопро тивление при движении в жидкости и т . д . Такого типа задачи составляют особый раздел математики, называемые вариационным исчислением.
Вариационное исчисление - это раздел математики, в которои из неизвестных функций, входящих в подынтегральное, выраже
ние |
некоторого |
интеграла, выбирается такал функция, |
при кото |
||||||
рой, этот |
интеграл достигает |
своего |
минимального (илі^макси |
||||||
мального) |
значения. |
|
|
|
|
|
|
||
|
Например энергия, электрического поля в некотором объеме |
||||||||
|
V может быть определена |
по формуле |
|
|
|||||
|
|
F J * E e r o c . y , z > |
0t(T, |
|
|
1 |
|||
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
где напряженность электрического поля может |
ваш> |
ч е |
|||||||
рез её проекции на координатные оси: |
|
|
|||||||
Подставим последнюю формулу |
в ( I ) , заменив |
предвариївзшк» |
|||||||
г |
_ _ Ш |
г |
_ |
Ж |
, |
г- _ |
Ш |
|
|
t x |
- |
Зас |
»• bw |
- |
аУ |
t i - - |
а г - |
|
|
и получим следующий функционал: |
|
|
|
||||||
V |
|
|
|
Это выражение отличается от Рчергии электрического |
поля в |
||
обьема V |
на постоянный множитель £ |
, т . |
е . оно |
пропорционально формуле ( I ) . |
|
Интеграл У, |
под знаком которого стоит функция Ц. Ы.ЧЛ), |
определяется видом этой функции и поэтому называется, функциона
лом. Задача будет |
сводиться к |
отысканию такой.функции Ц 2 ) , |
которая сообщает |
минимальное |
значение функционалу ( 2 ) . |
Оказывается.'такая операция имеет вполне определенный физический смысл и отвечает принципу Гамидь-лона.Это принцип наименьшего действия и ему подчиняются в природе все явления. Гамильтон показал, что действительным движением,реализующимся в природе , нвлявтяа то, дли которого это действие принимает наименьшее значение.
Применительно к статическим полям, обладающим определен ным запасом потенциальной, энергии , принцип Гамильтона форму лируется следующим образом: потенциальная энергия, в любом обьене при заданных граничных условиях будет определяться такой пункцией LL(X,y,H)f которая реализует минимум этой потенциаль ной энергии.
Значит задача нахождения потенциальной, функции электри ческого (или магнитного I поля будет сводиться к отысканию экстремального значения функционала ( 2 ) . Прежде, чем перейти к STOW вопросу остановимся на некоторых важнейших положениях вариационного исчисления.не каждый функционал может приобретать экстремальнее значение, поэтому выведем необходимое условие наличия стационарного значения для функционала. Для простоти ограничимся, рассмотрением пленкой задачи.
Будем искать такую функцию У(эе) , иначе , такую кривую, которая имеет наименьшую длину между двумя, фиксированными точка
ми в.(Хі,У') |
и |
Ь(Хл.Уг) |
Задача эта |
элементарная, и.рассматриваем мы её здесь лишь для. |
|
иллюстрации |
изложения. |
|
Рис . /
-5' -»
Вобщей вида функционал рассматриваемой• задачи можно записать так.*
где У(х) |
- |
искомая функция, |
|
|
|
|
у'Гх) |
- |
произ водная, *от |
йеё |
по |
X . |
|
Предположим, что мы знаем функцию У foe) |
, которая, со |
|||||
общает минимальное значение функционалу (3) |
.Фук ция. У*Гх) - |
|||||
некоторая другая , проигвольнаа функция, которая отличается |
||||||
,ъ любой, точке интервала |
Xj |
Х2 0 3 |
первой, не более чем на |
|||
бесконечно |
малую величину. |
|
|
|
||
отличаетежот операции дифференцирования, где рассматривает
ся приращение; заданной функции d-У |
за |
счет бесконечно |
ма |
|||||
лого |
приращение аргумента doc |
. в |
нашем же ел; ше $ |
озна |
||||
чает бесконечно налое изменение функции при данном значении |
||||||||
аргумента |
X . |
|
|
|
|
|
|
|
£ |
формуле -(4) |
i f f x ) - |
непрерывная и дифференцируемая |
|||||
произвольная функция |
, а £ |
- переменный |
параметр, стремя |
|||||
щийся к нулю ( бесконечно малая величина). |
|
|
||||||
Операция, варьирования перестановочна |
с |
дифференцированием |
||||||
и интегрированием. В самом деле: |
|
|
|
|
||||
Сравнивая эти рай*йй$ва , получаем
Аналогичный образом |
доказывается |
равенство |
||
S Sudx |
= S Sadx |
• |
|
|
Xl |
XI |
|
|
|
Подобно тому, как в теории |
функций, экстремум находится |
|||
приравниванием |
нулю лроизводной, |
так |
и в вариационной исчис |
|
лении минимум функционала достигается тогда,.когда будет рав на нули его вариация.
П = о .
іґіспольяуем (б) и записываем;
XI
- F (Х,У *Е%£х +ЕМ''х) - F ЫУ . У*) .
•Разложим в ряд Тейлора последнее уравнение и ограни
чимся |
первым |
членом этого ряда |
{ в |
последующие |
слагаемые |
|
входит |
€ |
. во |
второй, и более высокой |
степени и |
ими мож |
|
но пренебречь). |
|
|
|
|
||
Ясли интеграл имеет минимум, то |
|
|
||||
дла всех |
функции i/> |
|
|
|
||
• Проинтегрируем (9) , причем |
второе интеграл |
Серей по' |
||||
частям: |
|
|
|
|
|
|
S>T$k • v $k[- fvh Ік dx.
Здесь второе слагаемое |
равно" нулю, так как f ( x ) |
на грани |
цах интервала в точках Xj |
, Х2 равна аущю.Учитывая ска |
|
занное, получаем |
|
|
c T J = J С fa ~ 2 х 3^;Шх)гізс«=0. |
ю |
|
XI
Если if (ж) внутри интервала Xj- Х2 представляет со бою отличную от аула произвольную функцию, то значит
|
d F _ l L i £ _ n |
|
|
|
|
тт |
- |
|||
|
ЭУ |
rfac |
З а * " |
° |
|
|
|
• |
" |
|
|
Получившееся уравнение |
( I I ) и вот* |
необходимое условие |
|
||||||
наличия |
у функционала |
экстремума. Бели выполняете* равенство |
|
|||||||
( I I ) |
, то функционал имеет минимум.Равенство |
это |
Boost назва |
|
||||||
ние уравнения ЭйяераЛагранжа. |
|
|
|
' ' |
' |
|||||
|
Вернемся теперь к примеру рис.1 |
|
|
|
|
|
||||
|
Элемент длины любой кривой и (ж) |
. |
». |
|
|
|
||||
а вся |
длина отрезка |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
j |
~ |
|
|
|
12 |
|
|
В иааем примере |
F » D * y « J * . |
|
|
|
|
|
|||
Определим теперь, какая функция jf(x) сообщает минимум ин |
|
|||||||||
тегралу |
(12) , |
для чего воспользуемся! уравнением |
Эйлера |
- |
|
|||||
Лагранха. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЭУ |
dx |
дЧх |
dx |
|
|
|
|
|
|
Производная, по |
X atот мого 'выраженичи е обращаем* а нуль 1 |
то» |
|
|||||||
случав , |
если |
„і |
|
|
|
|
|
|
|
|
- 8 -
Значит |
У at •= c£x=C°ns* |
> |
й |
»(х) |
- |
есть прямая |
|
линия, |
соединяющая |
точки |
а |
и |
6 |
|
|
Мы рассмотрели |
выше плоскую задачу.Если |
задача много- |
|||||
мерная и искомаг функция |
lL(x,4,z) |
|
имеет |
несколько |
|||
независимых переменных, то функционал в'случае трехмерной задачи будет иметь вид»
3 " J / J n t i . a ' o c . u ' a . u ' z . x . y . z j a f x c l t f f l t B , |
1 2 |
|||||||
а уравнение Эйлера-Лагранжа записывается так: |
|
|
||||||
Э £ _ _Э_ 2 £ |
i _ iE |
і_ іЕ_ ,_ л |
|
І 3 |
||||
в и |
ах аа'ж an |
aw* |
аг аи'г |
7 |
й - |
|
||
В- инженерной |
практике |
обычно приходится |
исследовать |
|||||
электрические и магнитные |
поля, |
в некоторых объемах и соот |
||||||
ветствующие |
потенциальные |
функции будут для |
плоскоаарал- |
|||||
лельных и осесимметричных задач двухмерными, а для общего случая - трехмерными.Положим, необходимо определить потен циал электростатического поля в любой точке внутри некото
рого объема V |
, |
, |
в котором сосредоточен заряд с плот |
|
ностью JJfX,W,Z). |
( |
РИС.2) |
_____ |
|
Потенциал на границе объема равен нулю (Краевая задача |
||||
Дирихле).Известно |
, |
|
что потенциал |
в данной области опи |
сывается уравнением |
|
ііуассона |
|
|
Энергия электрического поли внутри объема может быть опре делена по одной из двух равноценных щориуд: