книги из ГПНТБ / Лянце В.Э. Интеграл Лебега - Стильтьеса конспект лекций
.pdf
M. В С С О УССР
ЛЬВОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ИВАНА ФРАНКО
В.Э. ЛЯНЦЕ
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА - СТИПЬТЬЕСА
/конспект лекции/
ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛЬВОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1 9 7 3
Л 97 |
|
|
|
|
Г, О У ?, Р * А |
II И Е |
|
§ I . Мера множества |
|
3 |
|
§ 2. |
Измеримые функции |
|
4 3 |
§ 3. |
Интегрирование |
|
ftG |
§ 4. Теореме ФубПни |
|
98 |
|
Л I т е р а т у р а |
1 2 1 |
||
Го с-, ѵ.у З.тччная |
ÂL |
|
|
|
|
||
" _ |
— |
Владислав Олиевич Л н н ц е |
ИНТЕГРАЛ ЛГБЕГА - ПТШ-ПРСА
/конспект лекций/
Редактор Фар<5шпввская H.H.
Корректор Ковак Т.Т.
ff 0СЦ69.Пожетсвм к опати 23.П 1973 р. Формат бОхв^Іб Еум.л. 3,75. црп.пвч.л. 6,9. Гч.-нзд.л. 5,«,
Тираж 500. Цева іч коп. Зак.577.
Издательство Львовского университета Львов, Университетская, I .
Областная кижшая типография Львовского областного уврвмевая по делам иядатвльств. полиграфии и
'" Hot торговли. Львов, Стефаника, I I ,
л« g - ар.,
ü 1. l/epa множества. |
|
1. Понятии мири. Пусть и. |
- функция, с областьв |
определения Dt. и.) . , ярлшчпейгя некоторый классом
множеств. Предположим'что для элементом из области зна чении R I и.} Функции определено сложение, удоі-
летьоряюшие обычным алгебраическим условиям. /Например, значе -
ніш функции ул. |
являются числами или в более общем случае |
|||||
иектораи/f'. Такая функция |
|
называется мерой, |
если она |
|||
удовлетвоонет следующему условию аддитивности: |
|
|
||||
ли А , В , С |
|
, А ^ В и С |
|
|
||
|
, то |
УХ |
|
|
|
|
|
/ |
|
/ |
I |
|
|
В этом параграф дается определение мер и изучаются их |
||||||
свойства. |
|
|
|
|
|
|
2. Мера Стильтьеса промежутка. Пусть o^^bèlR |
- |
|||||
множество вещественных чисел/, причем' с< ^ |
^ |
. /Одномерен»/ |
||||
промежутком с |
концами о< |
и Л |
называется каждое из |
следую- |
||
щих четырех множеств:
U v O , , u O \ = ^ x « I R : * < х ^ J і
U v O ^ - ^ ~ ( x t R . : я < * < ^ \ ,
Подчеркнем, что промежуток не всегда содержит своя конин.
1 Для нас эти обозначения удобнее, чем обычные: С^і^ѵ} , 0* >р>~^ ( 4 , ( 4 ,
Промежутки ^ + 0 , ^ - 0 ) , |
U + A c O Q ^ Loi - Û , |
- 0 ) |
|
являются пустыми множествами, |
а промежуток |
( o i - U , oi. + о) |
|
состоит из единственного |
числа |
<Ж |
|
Множество Л С |
называется т ѵ |
- мерным проме |
|
жутком если оно является декартовым произведением -т, -одномер
ных промежутков. Двухмерные промежутки иногда называют прямо - угольниками, а трехмерные - параллелепипедами.
Рассмотрим некоторый фиксированный -п.- |
мерный промежуток |
||||||||||
А 0 |
.называемый |
в дальнейшем основным. Пусть ДА. - функция, с |
|||||||||
областью определения |
1) ( |
, которая состоит из всевозмож |
|||||||||
ных / п, |
-мерных / промежутков |
Д |
, содержащихся |
в |
Л 0 |
||||||
Функция |
называется мерой Стильтъеса, |
если она удовлетворя |
|||||||||
ет условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1/ |
|
является неотрицательным чис |
|||||||||
лом для |
каждого |
Д С А0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
||
2/ |
функция п. |
|
является |
аштушон. |
|
|
|
|
|||
3/ функция . |
|
является нщшальной; если Д0 Э Л ,ЭД^О.. |
|||||||||
и n ^ A A w = S l |
, то ^ЦД<ѵЛ-> |
0 |
при |
|
•—s о° |
• |
|||||
Короче говоря, мерой Стильтьеса называется |
неотрицательная адди |
||||||||||
тивная |
и нормальная функция промежутка. |
|
|
|
|
||||||
2.1 |
Ваыечание. |
|
}}$^SSMiSiSSâJijlS^S£^JiiSiiSMSSa. |
||||||||
p a j i a a j j j j i r i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Действительно, в силу аддитивности, |
для любого |
промежутка |
|||||||||
АС Д 0 |
|
имеем ^ Л 4 |
) = - ^ U ° ^ ( й Н ^ С Ѳ ^ ) |
, 0ІКуда |
|||||||
£х{'&)~ |
|
О |
. Это |
замечание позволяет истолковать |
нормаль |
||||||
ность как некоторое условие непрерывности. 6 самом деле, условие
нормальности сооюііт |
в ÏOU, |
что уи-СД,^—> y U . ( £ > 0 |
, когда |
|||
промежуток |
А-п |
стягивается к пустому |
множеству. |
• |
||
2«£ |
Примеры* 1/ |
Пусть |
сначала та. = \ |
то есть, ра|с- |
||
емаірамекыв промежутке одномерны. Определим значение функции
-4
jX^ |
|
на променутке Л =(.°ttO, /ііО) |
формулой |
|
|
|||||||
|
|
|
JUL1 |
{.й.) ~ |
(h-U |
. |
|
|
|
|
|
|
Тогда jx^ |
|
является мерой Стилыьеса. Число ^и.^ ^.JCO |
||||||||||
обычно называют длиной промежутка Л . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Пусть теперь ть |
произвольно и пусть i t -мерный про |
||||||||||
межуток А |
есть декартово произведение одноиерних промѳжут- |
|||||||||||
ков |
|
• •• -, А ^ |
. Тогда функция |
|
|
|
, определяемая |
|||||
формулой |
|
А- * * • • •х А ^ |
" ^ " Ѵ ^ |
• • |
ы |
(Л |
У |
, |
||||
также |
является мерой Стильтьеса. При ті = |
%. |
/ •ух = Ъ |
/ число |
||||||||
jx{,n)(ù) |
называют обычно площадью / |
объемом / промежутка А |
||||||||||
• 2/ |
Пусть X |
- произвольная фиксированная точка |
иа ос |
|||||||||
новного промежутка А 0 |
. Определим функцию j j . следующий |
|||||||||||
образом: Ц^Д1--\ |
, если А эх |
и |
Ll{Â) |
— 0 |
если |
|
||||||
Дэ X |
. Нетрудно видеть, что j x . |
является мерой Стилыьеса. |
||||||||||
Эта специальная мера называется мерой Дирака, сосредоточенной в точке X
2 |
а/ |
Рассмотрим некоторое |
обобщение |
предыдущего примера. |
||
Пусть |
|
- некоторое нѳ более чем счетное множество точек |
||||
из Д 0 |
> а \тл.;} |
- такое множество положительных |
||||
чисел, что X |
/ѵѵ\Лр |
. Для произвольного промежутка Д С Д 0 |
||||
положим иЛМ = 2 , ѵ |
л м |
/ сумма |
|
распространя- |
||
ется нате значения M |
, для которых цч é |
Д |
/І Нетрудно |
|||
показать,что такая функция j x . |
является мерой.' /Нормаль |
|||||
ность jx. |
вытекает |
из того, что |
N —ый остаток сходящегося |
|||
ряда стремится к нулю при іѴ-т" о° / . Эта мера допускает сле дующее механическое истолкование: yU_(A) есть масса вещества,
содержащегося в промежутке А |
, если все вещество, оодѳрка - |
|
щееся в основном промежутке А 0 |
, сосредоточено в точках |
|
*м "**.•>-•• |
» причем в точке |
находится масса, равная уп^ |
5
В частности, ыера Дирака отвечает случаю когда вс ство сосредоточено в одной единственной точке х и имеет равную единице.
3. Производящая функция меры Стильтьеса. Мера Стильт
является функцией множества. Установим связь этой функции
ства с некоторыми функциями точки /производящими функциями/
этой основе дадим общий способ построения мер Стильтьеса.
|
Начнем с одномерного случая. Пусть JX. |
- мера Стил |
||||
са, заданная на промежутках Д с Дй С |
• Положим |
|
||||
^ |
W ^ |
/*• ( ^ 0 1 0 ) ^ о Ѵ | ) |
^ [ U . 10 , ч - О)) ; / 3 . ѵ |
|||
здесь |
U0 |
обозначает левый конец основного промежуткаД0 |
||||
причем, знак в выражении U0 і О |
|
зависит от того, |
яв |
|||
ся ли основной промежуток замкнутый или открытым слева, |
фун |
|||||
^ ^ - ^ |
рассматривается для всех К |
, для |
которых |
|
||
0<o ±.0,X+0)Cùo ( ( A i О ,Х-0) С Д 0 |
и называется правоИ |
|||||
/левой/ производящей функцией меры |
|
|
|
|
||
|
|
Л |
|
|
|
|
|
8.1. Предложение. jTjajan /jejsan/ji£oji3jo№U^ |
|||||
jjyjrajHH^MepjtfJjT^^ |
|
непрерывна |
|
|||
c j y j a j a ^ / c ^ e i i a / j m j ^ |
|
Л о |
|
|
||
|
Доказательство. Пусть |
е. А0 |
и х < х ' , |
|||
Принимая во внимание аддитивность и неотрицательность меры находим
Таким образом, |
не убывает на Д 0 . Эта функция огр |
ничена, именно |
0 4 ^лЛ*)-5 ^д. {&<>) |
Ее непрерывность справа вытекает из аддитивности и нормальн и«ры jx • Действительно,
= lw« \ u(A°Ut,xvOÏ) 4. M U + 0 , < „ + O l ) | = |
|
|||
потому что П (XtO,X^fO) |
= ^ |
I ес*и X-^^X |
• Аналогично |
|
доказывается утверждение, |
касающееся |
. |
|
|
3.3.3 амечание. Производящие функции |
^ f и |
|||
одноИ и тоП же меры Стилмьеса jjl |
, связаны Соотношениями |
|||
проверку этого рекомендуем сделать самостоятельно; Легко также
видеть, |
что разность |
^^^ - * ~ |
1*Л |
равна1 значению меры ju. |
||||
на промежутке (.Х-0,х*0\ |
, состоящем из единственной точки X. |
|||||||
Кроме того, отметим, что если основной промежуток |
Д 0 |
|||||||
открыт слева и имеет левый конец оі0 |
, то |
(.«t 01 |
=г 0 |
' • Ра |
||||
венство |
(Д<Л= 0 |
имеет место независимо от того открыт или |
||||||
замкнут слева промежуток А 0 |
• Если основной промежуток |
Д 0 |
||||||
открыт справа и имеет правый конец ^ „ |
( то |
|
{(Іо^^ |
|||||
jA(.A<>\ |
, а функция ^ + |
в точке ра не определена /ібо проме |
||||||
жуток (,o<ot0, |
|
не содержитбя в А0 /, однако ѣ втоі |
||||||
случае |
{ Ç > , ~ |
ja (До) . Если же промежуток à„ |
займут |
|||||
справа, то ^Л^о^ ~ |
ІА«) |
> |
|
|
|
|
||
3.4 Примеры, 1/ Пусть мера уц промежутка й |
равна, по |
|||||||
определению, длине этого промежутка. Тогда производящий* функция
ми меры и- |
являются <^ |
^ С ^ Д х ^ |
% ~ M. а |
, где U0 - |
|||
левиИ |
конец основного промежутка. |
|
|
|
|||
|
?./ Пусть |
- мера Дирака, |
сосредоточенная я точке х0 - |
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
при |
|
|
f » |
ярі |
M X . |
° |
l К при |
^>До ° |
1 H • при |
? а/ Длн меры и |
, описанной s примере - Z я/ п.2.?., имеем |
||
|
|
7 |
|
i . |
Восстановление |
меры |
по производящей функции. |
|||||
Пусть |
- ограниченная неубывающая функция, |
заданная на одноме |
||||||
ном основном промежутке Д 0 |
. Отметим, что |
в каждой внутрен |
||||||
ней точке |
У. 6 Ло |
существуют конечные односторонние пределы |
||||||
с^и-О4) |
|
и о^то-О) |
, а на концах dc |
|
и - і 0 проме |
|||
жутка |
|
существуют конечные пределы С^ЫсЛ'О) ' и ^(/іо _ 0/ |
||||||
Потребуем выполнения следующего условия: если пооіежуток. Д |
||||||||
открыт^слева, то |
W 0 |
+ 0^ ™ 0 |
. Зададим функцию JA. иромскут!' |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cri |
Л СЛ о |
следующей формулой |
|
|
|||||
Д ^ С |
, |
/ьіоУ) ~ |
|
С. (Ь +СЛ - ^ Ы і о ) j |
||||
здесь подразумевается, |
что в выражении - i і О |
, а такие в |
||||||
выражении ^ + О |
, знак в левой части равенства такой же как |
|||||||
правой.
4. 1ПредлояеНие . Шірзделе^на^я_дыше^фщвдия. Ц.
яь^ется^иерой Стильтьеса. Пдк^зводящие футсцші_этоР(_ыеры.опреде ляются формулами:
Ѵ ° °= |
(^Іх + О) , |
со = ^ Сч-О) • |
|
Предварительно докажем такую лемму. |
|
||
4.2 Лемма. Пусть |
^ Д п \ такая последовательность |
||
промежутков, |
что |
&<>^А.\~эАяр- • - |
и |
Тогда длина промежутка |
стремится к |
0 при -^оо |
|
ивозможны лишь следующих два случая: 1/ Начиная с
некоторого '"л- все промежутки имеют общий левый конец и
не содержат этого конца. 2/ Начиная с некоторого -п. все про межутки Л.^ имеют общий правый конец и не содериат этого конца.
|
Доказательство. Обозначим через |
1 |
х общее |
|||
значение пределов Ііты.* |
и turn/Ь^ |
, где ol„ |
- левы!!, |
|||
a /і^ - нраиый конец промежутка Д ^ . Коли |
<х |
< |
||||
ѵш neex '.шач(.'.ииі! •'П , то Х £ |
(\ Û-v, |
и пересечение исех |
||||
не пусто, ЛОУТОІ у, д.ин всех достаточно больших •vu либо |
||||||
' л,, -X |
и Л ^ С Д ^ , либо |
и ^ |
е Д ^ |
|||
Доказательство |
нредлон.ени я.4.1 |
|||||
Неотрицательность и аддитивность меры ja. |
очевидна. Для того, |
|||||||||
чтобы доказать ішрі-а.-імюоть,рассмотрим произвольную убывающую |
||||||||||
последовательность \ Л^, ]" |
променутков |
из |
Лq |
с пустым пере |
||||||
сечением. Пусть сначала |
А т ~ (* +0 і |
- О) |
для всех доста |
|||||||
точно больших'TV . Поскольку |
<^^(Ъ^іО)-* C ^ x v û ) |
при |
||||||||
-лн><~ |
, то |
/ Ц О ^ 9 ^ ( i w i C 0 - * ^ U + O ) |
|
|
||||||
при —> ос |
^Согласно лемме 4.І, возможен еще случай^согда |
|||||||||
Д^.= Се'-і\-0 ) Х-О) |
|
для всех достаточно больших |
. Этот |
|||||||
случаи |
рассматривается |
аналогичным способом |
|
|
||||||
|
Проверку справедливости утверждения, касающегося функций |
|||||||||
|
рекомендуем сделать самостоятельно. |
|
|
|
||||||
1 |
Таіс как |
$ ... |
» |
|
, то существуют пределы |
|||||
|
Ысу\ оі „ • , д = ?І'-ГѴ) |
|
. Мы имеем и<р> |
ибо,если °і<^Ъ ,то |
||||||
?, |
Здесь мы используем такое утверждение: пусть функция £ задана |
|||||||||
|
на До : и в каждой внутренней точке я 4 Д 0 |
существует |
||||||||
|
конечные односторонние пределы |
|
и ^ t * - C j ) |
.Тогда |
||||||
|
Для доказательства достаточно заметить, что существует такие |
|||||||||
|
x j , x " , |
"!ля которых |
х<х^' <Хл,<х^' гх„ + 4 |
" |
||||||
|
Наше |
утверждение вытекает из того, что Яі/ѵтл Ç |
"> ~ |
|||||||