книги из ГПНТБ / Киселев В.А. Расчет пластин

В. Л . К и с е л е в ,

засл. деят. науки и техники РСФСР, д-р техн. наук, проф.

Р А С Ч Е Т П Л А С Т И Н

М О С К В А

С Т Р О Й И З Д А Т

1 973

Г л а в а 1

ВВЕДЕНИЕ § 1. Предпосылки приближенного расчета пластин

Оболочкой называется тело, заключенное между поверх­ ностями, образованными концами отрезка постоянной или перемен­ ной длины, перпендикулярного к некоторой гладкой направляю­ щей поверхности, при движении по ней середины отрезка, длина которого мала по сравнению с направляющей поверхностью (рис. 1).

Поверхности, очерчиваемые концами перпендикуляра, назы­ ваются поверхностями оболочки. Направляющая поверхность на­ зывается срединной поверхностью оболочки, а отрезок перпенди­ куляра — ее толщиной.

Таким образом, оболочкой называется тело, заключенное между двумя гладкими поверхностями, расстояние между которыми (толщина оболочки) мало по сравнению с прочими размерами тела, что и составляет обычное (не совсем точное) определение оболочки.

Если отрезок перпендикуляра постоянной длины, то оболочка

Иногда пластину определяют как цилиндрическое или приз­ матическое тело, у которого один размер (толщина) мал по срав­ нению с двумя другими.

Пластины, как и оболочки, бывают постоянной и переменной толщины.

Пластина представляет собой тело, являющееся по существу предметом исследования науки, именуемой теорией упругости. Однако точный расчет пластины методами этой науки весьма сложен.

3

Поэтому здесь будет изложен обычно применяемый практически приближенный метод расчета пластин, работающих на изгиб, у которых отношение толщины пластины к наименьшему ее размеру

1. Точки пластины, лежащие до деформации на перпендику­ ляре (на нормали) к срединной плоскости, остаются и после де­ формации изгиба-на перпендикуляре (на нормали) к срединной изогнутой поверхности (гипотеза Кирхгофа — Лява).

Эта основная гипотеза в теории пластин по своему существу аналогична гипотезе плоских сечений, основной гипотезе сопротив­

и если усилия в срединной плоскости отсутствуют, то на срединной

полностью в тех случаях, когда срединная плоскость пластины после деформации представляет собой развертывающуюся поверх­ ность, как, например, это имеет место при цилиндрическом из­ гибе (см. § 4).

3. Слои пластины, параллельные срединной плоскости, не надав­ ливают друг на друга, т. е. игнорируются напряжения ст2, которые принимаются равными нулю.

При а2 = 0 имеем:

зависимость деформаций от напряжений: e» = -y(of«— Ѵ**у):

Уху — — ^ Xxy >

4

Эта гипотеза также аналогична гипотезе сопротивления материа­ лов о иенадавливании волокон бруса при изгибе.

4. Перемещения точек, лежащих на срединной плоскости пла­ стины, считаются возможными только по перпендикулярному к ней направлению, т. е. по малости пренебрегаются перемещения точек в самой срединной плоскости. И эта гипотеза аналогична гипотезе

Все гипотезы (и особенно первая) позволяют, как увидим далее, выразить перемещения различных точек, деформации и напряжения пластины через перемещения соответствующих точек срединной плоскости, т. е. точек, лежащих на общем с ними перпендикуляре к этой плоскости. Так, например, если координатные оси х и у по­ местить в срединной плоскости, которую условно будем считать горизонтальной, а ось z направить вертикально вниз, перемещение точки k {х, у, z) (рис. 3) можно записать так:

1) перемещение по направлению оси х при малых значениях угла ер

* Минус взят потому, что при положительных значениях dw и z точка k будет приближаться к началу координат (см. рис. 3).

5

§ 2. Зависимости между деформациями, напряжениями и перемещениями

Рассмотрим бесконечно малый элемент в плоскости, параллельной срединной, начальное положение которого до де­ формации — а, Ъ, си d, а после деформации — аг, blt c t H d x (рис. 4).

Учитывая, что углы а и ß малы, можем записать относительные удлинения сторон бесконечно малого элемента в таком виде:

нии, а угол сдвига у х у положителен при уменьшении прямого угла сторон элемента, выходящих из угловой точки и одновременно совпадающих с положительным (или отрицательным) направлением

1. Основание считается упругим и двусторонним, в котором могут возникать вертикальные реакции обоих направлений.

фициентом сопротивления упругого основания, часто называемый коэффициентом постели, в кгс/см2.

Такая модель упругого основания может быть представлена бес­ конечно большим количеством вертикальных упругих пружин, не связанных между собой (рис. 6).

Характерной особенностью такого основания является то, что оно деформируется только в пределах пластины, где на него ока­ зывается давление. А это противоречит опыту, если основанием является упругое тело, которое при загрузке пластины деформи­

Надо, однако, заметить, что наблюдаемые деформации упругого основания за пределами подошвы не всегда существенны для расчета самой пластины, а потому данная модель упругого основания в под­ ходящих случаях все же заслуживает внимания хотя бы за ее простоту. Учитывая же, что несвязные грунты вообще мало спо­ собны к деформации за пределами подошвы пластины, то тем более данная модель упругого основания может иметь практическое при­ менение. Кроме того, есть случаи, где эта модель основания яв­ ляется весьма совершенной, как, например, когда пластина пла­ вает на воде.

8

Pue. 7

деляются по формулам теории упругости. Так, например, перемеще­ ние любой точки от сосредоточенной силы Р (рис. 8) определяется по формуле Буссинеска

ния; г — расстояние точки, где определяется перемещение от точки приложения силы Р.

Поскольку перемещения поверхности основания при расчете пластины надо находить от неизвестного давления г (х, у), то w0CB оп­ ределяется интегралом от этой неизвестной функции. А это порож­ дает в общем случае большие сложности в использовании условия (1.15) контакта подошвы пластины и основания.

Третья модель упругого основания (M. М. Филоненко-Бородича, В. 3. Власова и П. Л. Пастернака) представляет собой основание, реакции которого определяются двумя коэффициентами сопротив­ ления основания (двумя коэффициентами постели).

По этой модели реакция основания определяется по формуле

r(x,y)=Clw-c2(- + - ) , (1.18)

9