Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

17.66 Mб

Скачать

☆

1 / 491 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

М.ЗАМЛНСКИЙ

М.ЗАМАНСКт

ВВЕДЕНИЕ

В СОВРЕМЕННУЮ

АЛГЕБРУ

И АНАЛИЗ

Перевод с французского Е. И. СТЕЧКИНОЙ

ИЗДАТЕЛЬСТВО <НАУКАъ

Г ЛАВНАЯ Р ЕД А КЦ ИЯ ФИЗИКОМАТЕМАТИЧЕСКОН ЛИТЕРАТУРЫ

М о с к в а 1 9 7 4

НЛУЧчО- r

бИБЛИОН; ''’*'5ИДЯ

СССР

517.2

3-26

УДК 517

W -i/ W ti

COLLECTION UNIVERSITAIRE DE UATHEMATI QUES

MARC ZAMANSKY

professeur et Doyen de la Faculté des sciences de l’université de Paris

INTRODUCTION

L’ALGÈBRE et L’ANALYSE MODERNES

DEUXIÈME EDITION

ENTIÈREMENT REFONDUE

DUNOD

PARIS 1963

(g) Перевод на русский язык, Издательство «Наука», 1974.

20203 —066

3 053(01 )-74 47-74

ь.

ОГЛАВЛЕНИЕ

От р ед ак ц и и .............................................................................................................								8
Г Л А В А /.	ОПЕРАЦИИ Н А Д МНОЖЕСТВАМИ. ФУНКЦИИ.
	ЭКВИВ АЛ ЕНТ НОСТ Ь. ПОРЯДОК
Раздел 1. Операции над множествами..........................................................								9
§ 1. Терминология, символы, исходные определения (9). § 2. Под
множества,	дополнения,	пустое		множество (10). §		3.	Объедине
ние (11). §	4. Пересечение (12).			§ 5.	Произведение (12).		§ 6. Свой
ства операций над множествами (12).
Раздел 2. Функции, или отображения.........................................................								13
§ 1. Исходные определения			(13). §		2. Отображение во множество,
отображение на множество, взаимно					однозначное отображение			(15).
§ 3. Расширение функции		на	множества подмножеств (16). § 4.					Об
ратное отображение (17).		§ 5. Композиция отображений (19). § 6. По
следовательности (20). § 7.		Операции над семействами				множеств		(21).
Раздел 3. Эквивалентность................................................................................								23
§ 1. Бинарные отношения (23).
Раздел 4. Порядок................................................................................................								26
Г ЛАВА 11. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ З А К О Н Ы
Раздел 1. Внутренние законы композиции...................................................								31

§1. Определение и обозначение внутреннего закона композиции (31).

§2. Ассоциативность (32). § 3. Коммутативность (32). § 4. Регуляр ные элементы (33). § 5. Нейтральный элемент (33). § 6. Симметрич ные элементы (34). § 7. Понятие изоморфизма двух внутренних за

конов (36). § 8. Дистрибутивность одного закона относительно дру гого (37).

Раздел 2.		Специальные внутренние законы композиции: группы, кольца,
		тела........................................................................................................				38
§ 1.	Группы (38). § 2. Кольца (41). § 3. Тела		(42).	§ 4.	Отноше
ние эквивалентности на абелевой группе. Факторгруппа				(44).	§	5. От
ношения		эквивалентности на коммутативном кольце.		Идеалы		(45).
§ 6. Упорядоченные группы. Группы Рисса (46).
Раздел	3.	Симметризация множества, наделенного	ассоциативным и
		коммутативным законом. Поле частных кольца без дели
		телей нуля............................................................................................				52

§ 1. Первая задача. Симметризованное множество (54). § 2. Це лые рациональные, положительные рациональные числа (57). § 3. Умно жение на множестве целых рациональных чисел, сложение на мно жестве положительных рациональных чисел (58). § 4. Вторая задача. Поле частных кольца без делителей нуля (59).

4		ОГЛАВЛЕНИЕ
Раздел 4. Внешние законы. Векторные пространства...........................				61
§ 1.	Общие понятия (61).	§ 2. Векторное пространство над телом
(полем)	(62). § 3. Построение	векторных	пространств. Примеры	(66).
Раздел 5. Законы и отношения на множестве функций...........................				71
Г Л А В А	III. Л И Н Е Й Н А Я АЛГ ЕБ РА
Раздел	1. Векторные пространства...................		............................................	74
§ 1. Линейно независимые элементы. Базисы (74). § 2. Конечно
мерное	векторное пространство (76). § 3.		Алгебры над полем	(79).
Раздел	2. Линейные отображения. Линейные формы..............................			82

§ 1. Определения (82). § 2. Операции над линейными отображе ниями (82). § 3. Свойства линейных отображений (83). § 4. Случай ко нечномерных векторных пространств (87). § 5. Прямая сумма. Факторпространство (88). § 6. Ранг линейного отображения (91). § 7. Линейные формы. Сопряженные пространства (93). § 8. Транспонирование ли нейного отображения (95). § 9. Линейные уравнения (98).

Раздел 3. Матрицы над полем........................................................................

104

§ 1. Определение прямоугольных матриц (104). § 2. Алгебраические операции с матрицами (106). § 3. Представление линейного отображе ния посредством произведения матриц (109). § 4. Квадратные ма трицы (109). § 5. Ранг матрицы. Транспонированная матрица (111). § 6. Применение матриц к линейным уравнениям (112).

Г Л A B	А IV.		ПО Л ИЛ И НЕ Й НА Я АЛГЕБРА
Раздел		1.	Билинейные отображения. Тензорное произведение. . . . 114
§	1.	Билинейные отображения (114). §		2. Тензорное произведение
двух векторных пространств (116). § 3. Обобщения (120).
Раздел 2. Внешняя степень векторного пространства. Внешнее произ
		ведение элементов............................................................................		121
§ 1.		Внешняя степень порядка 2 (121).		§ 2. Обобщения (124).

Раздел 3. Внешние степени линейного отображения. Определители . , 128

§ 1. Внешние степени линейного отображения (128). § 2. Опреде лители (130). § 3. Определители матриц, определители векторов (131). § 4. Вычисления определителей. Решение линейных уравнений. Обра тимые матрицы (132).

Г Л A B А V. ТОПОЛОГИЯ
Раздел	1. Фундаментальные семейства..................................................	... . 136
§ 1.	Определения. Примеры (136). § 2. Свойства	(138). § 3. Срав
нение фундаментальных семейств (140).
Раздел 2. Топологические пространства.....................................................		141

§ 1. Определение топологического пространства. База открытых окрестностей. База топологии (141). § 2. Сравнение и построение топо логий (150). § 3. Топологии, определяемые счетными семействами (153).

ОГЛАВЛЕНИЕ

Раздел

Отделимые

компактные,

локально компактные и связные

пространства ....................................................................................

155

Отделимые

пространства,

регулярные

пространства

(156).

§ 2. Компактные

пространства

(158). § 3.

Локально компактные про

странства (163). § 4. Связные пространства (167).

Раздел 4.

Пределы,

сходим ость........................................................................

168

Понятие фильтра (169). § 2. Пределы в топологических про

странствах (172). § 3. Пределы в отделимом пространстве, в компакт

ном пространстве, в пространстве со счетной базой (179).

Раздел 5.

Непрерывность.......................................................................................

182

§ 1. Определения и общие свойства (182)„§

Гомеоморфизм (185).

§ 3. Непрерывные

функции,

компактные

пространства, связные

про

странства

(186).

Г Л А В А

VI. Д Е Й С Т В И Т Е Л Ь Н Ы Е

ЧИСЛА

Раздел 1. Множество рациональных чисел..................................................

188

1. Множество Z целых рациональных чисел (188). § 2. Краткий пе

речень

определений

и свойств

множества

рациональных чисел

(189).

§ 3. Топология на Q (190).

Раздел 2. Построение R и основные свойства..........................................

195

Определение

R (195). § 2.

Сложение,

порядок и абсолютное

значение

на R (196).

§ 3. Поле R (198). §

Топология на R. Два

основных

свойства

(199).

Раздел 3.

Числовая п р я м а я ............................................................................

203

Основные

элементы топологии множества R (203). § 2.

Ком

пактные

множества, связные

множества в R (207). § 3. Свойства не

прерывной числовой функции. Гомеоморфизм на R. Расширенная пря

мая R (212).

Раздел

Числовые функции на множестве..................................................

217

§ 1. Грани, оболочки, верхние и нижние пределы (217). § 2. Число вые функции на счетном множестве. Бесконечные суммы. Ряды (226).

ГЛ А В А VII. МЕТ РИЧЕ СКИЕ ПРОСТРАНСТВА. НОР МИР ОВ АННЫЕ

ВЕК ТОРН ЫЕ ПРОСТРАНСТВА. Б А Н А Х О В Ы ПРОСТ РАНСТ ВА.

ГИ Л Ь Б Е Р Т О В Ы П РОСТ РА НСТ ВА

Раздел 1. Метрические пространства.............................................................

239

§ 1. Расстояние (239). § 2. Топология метрического простран ства (241). § 3. Компактные метрические пространства (249). §4. Связные метрические пространства (250). § 5. Полные метрические пространства. Пополнение метрического пространства (250). § 6. Полуметрические пространства и ассоциированные метрические пространства (258). § 7. Отображения метрического пространства в метрическое простран ство. Непрерывность, равномерная непрерывность, продолжение по непрерывности (259).

Раздел 2. Метрические группы, метрические векторные пространства,			263
	банаховы пространства, гильбертовы пространства................		263
§	1. Метрические группы. Нормированные группы Рисса (264).
§ 2.	Метрические векторные	пространства. Нормированные простран
ства.	Банаховы пространства	(272). §3. Гильбертовы пространства (282).

6	ОГЛАВЛЕНИЕ
Г Л А В А	VIII. ФУНКЦИИ СО З НА Ч Е Н И Я М И В М ЕТ РИЧЕ СК ОМ
	ПРОСТРАНСТВЕ. СТ УПЕНЧАТ ЫЕ ФУНКЦИИ. Н Е ПРЕ РЫВ НЫЕ
	И ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
Раздел	1. Понятие функционального пространства..................................	291

§ I. Простая сходимость семейства функций (291). § 2. Топология на множестве функций со значениями в метрическом пространстве (292).

Раздел 2. Ступенчатые функции. Приближение ступенчатыми функциями 298

§	1. Ступенчатые функции (298). § 2. Равномерное приближение
ступенчатыми функциями (303).
Раздел		3. Непрерывные числовые функции на компактном простран
		стве .......................................................................................................	306
§	1.	Теорема Дини (307). § 2. Теорема Вейерштрасса (309).
Раздел		4. Полунепрерывные функции.............................................................	317
§	1.	Определение и общие свойства (317). § 2. Полунепрерывные
функции		на локально компактном или полном метрическом простран
стве	(323). § 3. Оболочки полунепрерывных функций (325). § 4.		Полу

непрерывные функции — оболочки непрерывных функций. Теорема Уры-

сона (327).	—
Г ЛАВА IX. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ В ЕК Т ОР Н ЫЕ ПР ОСТ РАНСТ ВА И Л И НЕ ЙНЫЕ
ОТ ОБ РА ЖЕН ИЯ
Раздел 1. Полные метрические векторные пространства	...........................335

Раздел 2. Полунормированные и нормированные пространства . . . . 342

§ 1. Теорема Хана — Банаха (342). § 2. Непрерывные линейные отображения (344). § 3. Теорема Банаха — Штейнгауза (350). § 4. При меры (352).

Г Л А В А X. И Н Т Е ГР И РО В АН ИЕ

Раздел 1. Числовые меры на пространстве Р и с с а ..................................

369

§ 1. Введение и отыскание исходных условий (369). § 2. Положи тельная мера на пространствеРисса числовых функций. Аксиома (3/) (371).

§3. Положительная мера на пространстве ступенчатых функций (373).

§4. Положительная мера Радона (377). § 5. Обобщение понятия меры (381).

Раздел 2. Построение пространства Л ? .........................................................			384
§ 1. Пренебрежимые множества. Новая форма аксиомы 9 (385).' § 2.
Построение пространств Л? и L (389).		§3. Теорема	об интегрирова
нии (392).
Раздел 3. Свойства пространства J3?			... . 395
§ 1. Пренебрежимые функции (395). § 2. Последовательности
Коши в ЛЛ (396). § 3. Интегрирование		последовательности функций
из Л ? (398).
Раздел	4. Измеримые множества...............	.....................................................	405
§ 1.	Общие определения (405). §	Случай меры	на клане (408).

§ 3. Случай меры Радона (411).

	ОГЛАВЛЕНИЕ
Раздел 5.	Пространства 3 * р ............................................................................
§ 1.	Неравенства Гёльдера	и Минковского (413). § 2.				Построе
ние и свойства пространства		(1 <	р <	+	оо) (416). § 3.	Соотно
шения между пространствами J g p (1 <			р <	+	оо) (420). § 4. Простран
ства 'З'™ и L°° (424).
Раздел 6.	Теорема Лебега — Никодима,-		Разложение меры. Непрерыв
	ные линейные формы на J£?p		.....................................................

§ 1.	Теорема Лебега — Никодима (429). § 2. Разложение меры (433).
§ 3. Непрерывные линейные формы на пространствах 2 ,р (436).
Раздел	7. Теорема Лебега — Фубини.............................................................

§1. Произведение двух кланов (440). § 2. Мера — произведение (442).

§3. Теорема Лебега — Фубини (443).

Раздел 8. Меры на числовой прямой.............................................................
§	1.	Монотонные функции,		функции ограниченной вариации (447).
§ 2. Определения мер на числовой прямой (451). § 3.					Производные мо-
				Я
нотонных		функций	(456). § 4.	Изучение j / (t) dt,	где f — интегри-
руема				а
	(467). § 5. Абсолютно непрерывные функции и каноническое раз-
ложение монотонной			функции (472). § 6. Примитивные. Интегрирование
по частям. Замена переменного				(478).

Предметный у к азател ь .....................................................................................

ОТ РЕДАКЦИИ

Книга М. Заманского является современным введением в важнейшие раз делы математики, составляющие основу общего математического образова ния — алгебру и анализ. Эти науки, равно как и их преподавание, подверглись за последние десятилетия коренным изменениям. Одна из замечательных осо бенностей книги М. Заманского состоит в последовательном изложении важ нейших приемов применения алгебраических идей и средств в математическом анализе. На очень простых и важных примерах, таких, как множество рацио нальных чисел или числовая прямая, автору удается наглядно показать, как выглядят в конкретных ситуациях общие алгебраические понятия и какую роль эти понятия играют при постановке и решении аналитических задач. На протяжении всей книги автор пользуется любым случаем, чтобы подчеркнуть наличие алгебраической структуры в аналитическом объекте и указать спо собы использования этой алгебраической структуры.

Но ценность книги далеко не исчерпывается этой методической особен ностью. Книга М. Заманского содержит изложение важнейших понятий це лого ряда математических теорий — от общей топологии и теории упорядо ченных групп до функционального анализа и теории интегрирования. Не смотря на большой объем материала, изложение сохраняет высокий уровень лекционной наглядности.

Книга М. Заманского может служить полезным учебным пособием для любого инженера или студента технического или экономического вуза, — для каждого, кто знаком хотя бы с элементарным курсом математического ана лиза, — как средство ознакомления с плодотворными и мощными инструмен тами современной математики, изучение которых он может продолжить при работе над систематическими курсами общей алгебры и функционального анализа.

Л. Штерн

Г Л А В А /

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ. ФУНКЦИИ. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ. ПОРЯДОК

Р А З Д Е Л 1

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

§ 1. Терминология, символы, исходные определения

Множества и составляющие их элементы обозначаются бук вами, заимствованными из различных алфавитов, но главным образом из латинского.

Иногда, руководствуясь соображениями удобства, обозна чают множество прописной буквой, скажем, Е или А, а эле мент, ему принадлежащий, строчной буквой, х или а. Из тех же соображений принимают алфавитный порядок при записи двух или трех множеств: Е, F, G, и их элементов: х, у, г.

Элемент множества называют также точкой.

В некоторых случаях для лучшего запоминания принимается более точное специальное обозначение: N — множество нату ральных чисел, А — кольцо, R — множество действительных чи сел и т. п.

Выражения «х принадлежит множеству £», или «х есть эле мент множества Е», или «х есть точка из Е» все имеют одина

ковый	смысл	и	могут быть представлены символически как
* е £ ,	где е	есть знак принадлежности.		Нго отрицание изобра
жается	символом		выражение «х не	принадлежит Е» запи

сывается:- х ф Е .

Говорят, что множество Е содержится во множестве F, если любой элемент х из Е является элементом множества F. Сим

волически	это свойство изображается как Е cz F. Выражение
«F содержит Е» равнозначно тому, что «Е содержится в F», и
обозначается		F z d Е. Символы	а , z d	являются	знаками вклю
чения.	=	представляет	собой	равенство	или тождество.
Символ
Запись X =	у означает, что х совпадает с у\ по соглашению, это

может рассматриваться как тождественное равенство между х и у, это может также означать, что некоторый элемент х обо значается по-новому, через у. Разъясним последнее на примере. Пусть имеются два действительных числа а и Ь\ обозначим

1 / 491 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ