Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

15.51 Mб

Скачать

☆

1 / 491 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

н е л и н е й н ы й

АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

А. Д. ИОФФЕ, В. М.'ТИХОМИРОВ

ТЕОРИЯ

ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ

ЗАДАЧ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

М О С К В А 1 9 7 4

	617.2	З о б I S '
	И 75	З о б I S '
	И 75
	УДК 519.3

?»- азоууГ

Серия «Нелинейный анализ и его приложения» выпускается под общей редакцией

Н. Н. Боголюбова, М. А. Красносельского, Ю. А. Митропольского

Теория экстремальных задач. А. Д. И о ф ф е , В. М. Т и х о м и ров. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва

«Наука», М„ 1974.

Книга посвящена необходимым и достаточным условиям эк стремума и теоремам существования решений экстремальных задач. Особое внимание авторы уделяют общим принципам теории экстре мальных задач. С единых позиций изучаются задачи математиче ского программирования, вариационного исчисления и оптимального управления. Исследуются специальные классы задач — линейное программирование, квадратичные задачи, дискретные и линейные задачи оптимального управления. Большое число решенных задач и разобранных примеров показывают, как применять теорию в кон кретных случаях.

Книга может служить учебным пособием по курсам, связан ным с оптимизацией. Она рассчитана на студентов старших курсов университетов, а также на аспирантов и научных работников, зани мающихся решением экстремальных задач.

Книга содержит 15 илл., библ. 313 назв.

ОГЛАВЛЕНИЕ

П р еди сл ови е........................					ж	..............................................................	5
Список		основных	обозначений ..........................................................				8
0. В в е д е н и е .			Предварительные сведения.....................................					11
v §		0.1. Функциональный				а н а л и з ................................................		22
\/§		0.2. Дифференциальное				исчисление......................................		33
		0.3. Выпуклый		а н а л и з ..............................................................				56
	§	0.4. Дифференциальные ур а вн ен и я ......................................						62
Г л а в а		1. Необходимые			условия экстремума.................................			73
V	§	1.1, Постановки задач и формулировки основных теорем						73
V	§	1.2. Гладкие		задачи. Правило множителей Лагранжа				85
?	§ 1.3. Выпуклые			задачи. Доказательство теоремы			Куна —
1	§	Таккера		.	.................................................................... 88
		1.4. Гладко-выпуклые				задачи. Доказательство	экстре	92
		мального		принципа ..........................................................
Г л а в а		2. Необходимые условия экстремума в задачах класси
		ческого вариационного исчисления и оптимального						101
		управления............................................................................
	§	2.1. Постановки з а д а ч .............................................................						101

§2.2. Элементарный вывод необходимых условий экстре мума для простейших задач классического вариа

§		ционного	исчисления........................................................						109
	2.3. Задача		Лагранжа.		Уравнение Эйлера — Лагранжа				134
§ 2.4.		Принцип максимума Понтрягина. Формулировка						и	143
§		обсуждение			....................................................................... принципа м ак си м ум а
	2.5. Доказательство ......................								158
Г л а в а	3.	Элементы выпуклого ....................................			анализа			172
§	3.1.	Выпуклые множества			теоремы	отделимости		.	. 172
§	3.2.	Выпуклые		функции .......................................................	Теорема				178
§	3.3.	Сопряженные				Фенхеля — Моро 183
§	3.4.	Теоремы двойствен .........................................ности						188
§	3.5.	Выпуклый анализ			конечномерных		пространствах		194
Г л а в а	4.	Локальный		выпуклый .........................................	анализ				202
§	4.1. Однородные функции				производные		по направле		202
§	4.2.	ниям .....................................................................................			Основныет е о р е м ы
		Субдифференциал .........................							207
§	4.3.	Конусы опорных ...................................функционалов							216

ОГЛАВЛЕНИЕ

4.4. Локально

выпуклые

ф у н к ц и и ..................................

219

4.5. Субдиффереициалы

некоторых

функций . .

. .

223

Г л а в а

5. Локально выпуклые

задачи

принцип

максимума

234

для задач с фазовыми ограничениями...........................

I/" §

5.1.

Локально

выпуклые

з а д а ч и .........................................

фазовыми огра

234

5.2. Задачи оптимального

управления с

244

ничениями

......................................................................

максимума

для

задач

5.3. Доказательство принципа

251

с фазовыми

ограничениями.........................................

Г л а в а

Специальные задачи...........................................................

267

I/ § 6.1. Линейное программирование.........................................

гильбертовом

про

267

6.2. Теория

квадратичных

форм

272

странстве

...........................................................................

функционалы в классическом вариа

6.3. Квадратичные

280

6.4.

ционном

исчислении .......................................................

управления

. .

Дискретные задачи

оптимального

292

Г л а в а

Достаточные условия экстремума...................................

299

i(§

7.1.

Метод

возмущений

.......................................................

299

)§

7.2. Гладкие

задачи ............................................................

305

-г§

7.3. Выпуклые

з а д а ч и

............................................................

экстремума

в классическом

314

1§

7.4. Достаточные

условия

318

вариационном

исчислении..............................................

Г л а в а

8. Измеримые

многозначные

отображения

и выпуклый

анализ интегральных функционалов............................

336

8.1.

Многозначные отображения и измеримость .

. .

336

8.2. Интегрирование многозначных отображений .

. .

348

8.3.

Интегральные

функционалы .....................................

355

Г л а в а

Существование решений в задачах вариационного

368

исчисления

оптимального

управления

...................

§9.1. Полунепрерывность функционалов вариационного исчисления и компактность их лебеговских множеств 368

§	9.2. Теоремы	существования		реш ен и й ...............................	384
§	9.3. Коиволюционный интеграл и линейные задачи ..				. 401
Г л а в а	10. Приложение теории к решению задач...........................				421
§	10.1. Задачи	геометрической		о п т и к и ...............................	421
§	10.2. Неравенство		Юнга и теорема Х е л л и ......................		431
§	10.3. Оптимальное		возбуждение осциллятора . . . .		435
З а д а ч и ........................................................................................................					440
Литература ..............................................................................................					461
Предметный у к азател ь ...........................................................................					477

ПРЕДИСЛОВИЕ

В последние годы усилия многих математиков были направлены на то, чтобы обозреть проблематику экстре мальных задач с единой точки зрения, выделить общие черты в методах их исследования, разработать необхо димый математический аппарат. В результате стало возможным говорить о создании теории экстремальных задач.

Три раздела этой теории приобрели ныне вполне оформленные очертания; это разделы, посвященные ма тематическим основаниям теории, необходимым усло виям экстремума и, хотя и в меньшей степени, теоремам существования решений. Бурно развивается глава тео рии, посвященная численным методам оптимизации. Теория достаточных условий еще не достигла полной завершенности, хотя и там получены некоторые резуль таты общего характера.

В предлагаемой книге затронуты все перечисленные выше основные разделы теории экстремальных задач, кроме численных методов. Математическому аппарату и необходимым условиям экстремума посвящены первые пять глав. Достаточные условия изучаются в седьмой главе. В восьмой и девятой главах сосредоточены тео ремы существования решений задач вариационного ис числения и оптимального управления, вместе с необхо димым для их доказательства математическим аппара том. В шестой главе из общей теории, развитой в предыдущих главах, извлекаются следствия для клас сов задач со специфической структурой — линейной, вы пуклой, квадратичной и дискретной. Последняя, десятая глава посвящена некоторым приложениям теории к ре шению конкретных задач. В книге имеется, кроме того, раздел «Задачи», и многие задачи снабжены решениями.

При отборе материала мы не стремились .охватить все последние результаты. Главная цель книги — рас

6 ПРЕДИСЛОВИЕ

крыть и обозреть методы, накопленные в теории экс тремальных задач, и показать, как эти методы приме няются в конкретных разделах: математическом про граммировании, вариационном исчислении и оптималь ном управлении.

Первоначальным стимулом для создания теории экстремальных задач служили попытки уложить принцип максимума Понтрягина в рамки общих концепций. Эти попытки привели к рассмотрению задач со смешанной, гладко-выпуклой структурой. Один класс таких задач подробно исследуется в книге. К тем же проблемам воз можны и другие подходы, — какие из них окажутся наиболее плодотворными, покажет будущее.

Книга рассчитана прежде всего на студентов стар ших курсов университетов, на аспирантов и научных работников, занимающихся решением экстремальных задач. При написании книги был использован опыт пре подавания на механико-математическом факультете МГУ. Мы надеемся, что книга сможет служить учебным пособием по различным курсам, связанным с оптими зацией, читаемым в университетах и технических учеб ных заведениях.

Для полного понимания всех частей книги нужно вла деть университетским курсом функционального анализа, но многое в книге рассчитано на более широкую аудиторию.

Дело в том, что формулировки большинства важней ших теорем, дающих рецепты для решения задач, мож но освоить, имея существенно меньшую математическую подготовку по сравнению с той, которая нужна для по нимания доказательств. Поэтому мы старались так по строить изложение, чтобы формулировки основных ре зультатов, общие комментарии к ним и решения'задач были отделены от доказательств.

Книгу не обязательно читать подряд. Многие темы можно изучать независимо от остального материала. Вы делим несколько таких тем. Элементарный курс вариа ционного исчисления и оптимального управления обра зуют параграфы 2.1, 2.2, 2.4 и 6.4. Они опираются, в основном, лишь на факты классического анализа. На чальный курс линейного и выпуклого программирования

содержится в §§ 0.3, 1.3, 6.1 и 7.3.	Теме «Необходимые
и достаточные условия экстремума	в задачах миними-

	ПРЕДИСЛОВИЕ		7
зации	в линейных пространствах» посвящены	глава	1
и §§	7.1—7.3. Параграфы 2.1—2.3, 6.3, 7.4,	10.4	и

пункт 9.2.4 образуют расширенный курс вариационного исчисления, хотя здесь недостаточное место уделено теории Гамильтона — Якоби. В главе 8 и §§ 9.1, 9.2 освещаются проблемы существования решения в за дачах оптимального управления. Глава 8 совместно с § 9.3 дает представление о двойственных методах в теории оптимального управления. Главы 1— 5, 8 и 9 образуют расширенный курс теории оптимального управ ления. Наконец, в главах 3, 4 и 8 содержится доста точно подробное введение в бесконечномерный выпук лый анализ.

Первоначально планировалось включить в книгу еще ряд тем: расширения вариационных задач, скользящие и особые режимы, численные методы. Однако этот ма териал не удалось уложить в запланированный перво начально объем, и от изложения перечисленных раз делов пришлось отказаться. Следует назвать еще несколько важных вопросов, не затронутых в книге. Преждевсего это относится к вопросам взаимосвязи

вариационного исчисления с	классической механикой,
к теории Гамильтона — Якоби	и к динамическому про
граммированию.

В комментарии после введения указаны монографии

и статьи, по которым можно составить	представление
о темах, оставшихся за пределами книги.'	поблагодарить
В заключение нам хотелось бы	поблагодарить

Б. Т. Поляка, любезно предоставившего нам некоторые материалы, способствовавшие выработке принятого в книге подхода к классификации экстремальных задач. Мы признательны М. А. Красносельскому, просмотрев шему рукопись и давшему ряд полезных советов, В. М. Алексееву и С. В. Фомину, с которыми обсужда лись отдельные аспекты, связанные с изложением материала книги; очень существенными для нас были многочисленные дискуссии с А. А. Милютиным; мы бла годарны А. В. Барыкину, Б. Лудереру, Г. Г. МагарилИльяеву, Е. С. Половинкину, М. А. Рвачеву, В. М. Сафро, М. И. Стесину .и М. Тагиеву, помогавшим нам при подготовке рукописи.

Авторы

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

V — квантор

общности: «для всех»,

3 — квантор

существования: «существует»,

...»,

=Ф — квантор следования: «из ...

следует

^ кван тор эквивалентности,

х е А — элемент х принадлежит множеству ,4,

х ф А — элемент х не принадлежит множеству А,

0 — пустое

множество,

Л и в — объединение множеств Л и В,

Л П В — пересечение множеств Л и В,

Л \ В — разность

множеств А и В,

Л е й — множество Л содержится в множестве В,

Л X В — декартово произведение множеств Л и В,

2а — совокупность всех

подмножеств множества Л,

Р.

{х |Рх} — совокупность

элементов х, обладающих свойством

{х\......... хп,

. . . }

— множество,

состоящее

из

элементов

Х и -----хп...........

множество

В: X ->Y — отображение F множества X в

х —> F (х) — отображение

F сопоставляет

элементу

эле

мент F (х),

G и В,

Во G — суперпозиция отображений

В (А)

— образ множества

Л при отображении В,

В-1 (Л) — прообраз множества А при отображении В.

В \А — ограничение отображения В на множество

Л,

R — совокупность

всех

действительных чисел,

Rre — аффинное или евклидово га-мерное пространство,

R(J. =

[х =

{х1..........хп) |х‘ > 0 ]

— неотрицательный

октант

в R",

(верхняя)

грань чисел,

входящих в мно

inf Л (sup Л) — нижняя

жество 4 c R ,

(не убы

апф а (а„ f а) — последовательность ап, не возрастая

вая), сходится к а,

норма

в R",

|х I — евклидова

||дс|— норма

элемента х в банаховом пространстве,

р (х, у) — расстояние от

элемента

х до элемента у,

В (х, г) — замкнутый шар с центром х радиуса г,

U (х. г) — открытый шар

с центром х радиуса г,

Л — замыкание множества Л,

int Л — внутренность множества А,

функции

на

&af — [х |/ (х)

а} — лебеговское

множество

уровне а,

X * — п. остранство, сопряженное

СПИСОК	ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ		9
л* — элемент сопряженного пространства,			х,
(х*. х) — значение	линейного функционала х* на элементе
(х \|у) — скалярное	произведение элементов х и у,
L1 = {а* \|{ х*, х) =	0} — аннулятор	подпространства L,
dim L — размерность пространства		L,
codim L — коразмерность пространства L,

XjL — фактор-пространство пространства X по подпростран ству L,

I — единичный оператор,

Л* — оператор, сопряженный с оператором Л, Кег Л — ядро оператора А,

Im Л — образ оператора Л,

FE(X, У) — пространство непрерывных линейных отображений

пространства X в пространство У,
Л > 0 — матрица Л положительно определена,
Л ^	0 — матрица Л неотрицательно			определена,
ind Q — индекс квадратичной формы				Q,
(Т,	2, р) — пространство Т с о-алгеброй 2 и мерой р,
р+	( р~)	— положительная (отрицательная) составляющие
меры р,
i р \|— полная вариация меры р,
mes Д — лебеговская			мера множества Д,
Сп (Т) — пространство			непрерывных	на компакте Т к-мерных
вектор-функций с равномерной метрикой,
CJJj ([/0, ^		— пространство m раз непрерывно дифференцируе

мых я-мерных вектор-функций на отрезке [^0, Л],

L* (Т) — пространство я-мерных вектор-функций, каждая ком понента которых принадлежит Lp (Т, 2, р),

i]) — пространство я-мерных вектор-функций, у ко

торых т-я производная	абсолютно		непрерывна	и	принадлежит
LP(['о. *l]).	функции f в точке х по направлению h,
/ ' (х; К) — производная
bF (х, /г) — первая вариация		отображения F в точке х.
bnF (х, h) — я-я вариация отображения F в точке х,
Fr (x) — производная	отображения F в точке х по Гато,
F' (х) — производная отображения F в точке х					по Фреше,
)" (х) (Л, h) — значение	второй производной функции / на эле
менте А,
Л, (i- х2) (Fхз (Х[, х2))	— частная		производная	по х, (по х2) ото
бражения Xl-> F (x u х2) (х2-+Р(х,. х2)),
[х\, х2] — отрезок, соединяющий точки Х\ и х2,
dom f — эффективное множество			функции f,
epi ) — надграфик функции		f,
б (х \|А) — индикаторная функция множества А,
s (х \|А) — опорная функция множества А,
ц (х \|А) — функция Минковского множества А,					множеству А
N ( х ) Л) — конус опорных		функционалов		к
в точке х,

Кл — конус, порожденный множеством А,

1 / 491 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ