книги из ГПНТБ / Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник
.pdf
H. П. ТАРАСОВ
К У Р С ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ДЛЯ ТЕХНИКУМОВ
ИЗДАНИЕ ШЕСТНАДЦАТОЕ |
|
|
Допущено |
Миниетерством |
|
высшего и среднего специального |
образования СССР |
|
в качестве |
учебника |
|
для средних |
специальных учебных |
заведений |
ИЗДАТЕЛЬСТВ О «НАУКА»
ГЛАВНАЯ Р Е Д А К Ц И Я ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКО Й Л И Т Е Р А Т У Р Ы
М О С К В А 197 J
Б17 Т-19
УДК 510 (075.2)
I |
Г # с . п у б л и ч н а я |
; |
научно - т»хніп .* к а я |
|
б и б л и о т е к а С ч . Р |
|
Э К З Е М П Л Я Р |
|
Ч И Т А Л Ь Н О Г О З А Л А |
Николай Петрович Тарасов
Курс высшей математики для техникумов
М„ 1973 г.і 432 стр. с нлл.
Редактор А. Ф. Лапко
Техн. редактор К. Ф. Брудно
Корректор 7". С. Вайсберг
Сдано в набор 7/ХП 1972 г. Подписано к печати 10/Ѵ 1973 г. Бумага 84X108'/» Тип. № 2. Физ. печ. л. 13,5. Условн. печ. л. 22,68. Уч.-изд. л. 22,41.
Тираж 200000 экз. Т-05779. Цена книги 75 коп. Заказ № 421
Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2 им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29 0223-1761
Г С42(02)-73 3 5 " 7 3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие |
к |
шестнадцатому изданию |
8 |
Предисловие |
к |
двенадцатому изданию |
8 |
Введение |
|
' |
9 |
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ
Г л а в а |
I . Прямоугольные |
координаты точки на плоскости. Про |
|
||
|
|
стейшие |
задачи |
на применение метода координат '. |
16 |
§ |
1. Прямоугольная |
система координат |
16 |
||
§ |
2. |
Прямоугольные |
координаты точки на плоскости . . |
17 |
|
§ |
3. Расстояние между двумя точками |
19 |
|||
§ |
4. |
Деление отрезка в данном отношении |
22 |
||
|
|
Упражнения |
|
25 |
|
Г л а в а |
I I . Прямая |
линия |
|
29 |
|
§ |
5. |
Понятие уравнения прямой линии. Уравнение прямой |
|
||
|
|
с угловым коэффициентом |
29 |
||
§6. Уравнения прямых, параллельных осям координат;
|
|
уравнения |
осей координат |
37 |
|
§ |
7. |
Уравнение |
прямой в |
общем виде |
38 |
§ |
8. |
Неполные |
уравнения |
прямой |
40 |
§9. Уравнение прямой, проходящей через данную точку
|
|
(уравнение |
пучка |
прямых) |
41 |
|||||
§ |
10. Уравнение |
прямой, |
проходящей через |
две данные |
||||||
|
|
точки |
|
|
|
|
|
|
|
42 |
§ |
И . Уравнение |
прямой |
в |
отрезках . |
43 |
|||||
§ |
12. Угол |
между двумя |
прямыми |
44 |
||||||
§ 13. |
Условия параллельности |
и перпендикулярности двух |
||||||||
|
|
прямых |
|
|
|
|
|
|
. 47 |
|
§ |
14. Пересечение двух |
прямых |
49 |
|||||||
|
|
Упражнения |
|
|
|
|
|
|
51 |
|
Г л а в а |
I I I . Геометрические |
места |
и |
их уравнения. |
Кривые вто |
|||||
|
|
рого |
порядка |
|
|
|
|
|
57 |
|
§ |
15. |
Геометрические |
места |
и |
уравнения линий, заданных |
|||||
|
|
как геометрические места. Понятие линии второго |
||||||||
|
|
порядка |
|
|
|
|
|
|
57 |
|
1* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
§ |
16. |
Окружность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
§ |
17. |
Эллипс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63 |
|
§ |
18. |
Определение формы |
|
эллипса |
|
|
|
65 |
|||||
§ |
19. Эксцентриситет |
эллипса. |
Связь |
эллипса |
с |
окруж |
|
||||||
|
|
ностью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67 |
|
§ |
20. |
Гипербола |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 8 |
||
§ |
21. Асимптоты |
гиперболы |
|
|
|
|
72 |
||||||
§ |
22. |
Равносторонняя |
гипербола |
|
|
|
|
75 |
|||||
§ |
23. |
Парабола |
у = |
ах2 + |
Ьх + |
|
|
|
|
78 |
|||
§ |
24. |
Парабола |
с |
|
|
|
80 |
||||||
§ |
25. |
Кривые второго порядка как конические |
сечения . |
82 |
|||||||||
|
|
Упражнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
84 |
||
ЧАСТЬ |
ВТОРАЯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО |
АНАЛИЗА |
|
|
|
|||||||||
Г л а в а |
IV. Теория |
пределов |
|
|
|
|
|
|
91 |
||||
§ |
26. |
Некоторые |
соотношения между |
абсолютными |
вели |
|
|||||||
|
|
чинами |
чисел |
|
|
|
|
|
|
|
94 |
||
§ |
27. |
Переменные и постоянные величины |
|
|
95 |
||||||||
§ |
28. |
Бесконечно |
малые |
величины |
|
|
|
96 |
|||||
§ |
29. |
Основные |
свойства |
бесконечно |
малых величии . . |
101 |
|||||||
§ |
30. |
Предел |
переменной |
величины |
|
|
|
103 |
|||||
§ 31. Основные теоремы о пределах |
|
|
|
107 |
|||||||||
§ |
32. |
Бесконечно |
большие |
величины |
|
|
|
110 |
|||||
§ 33. |
Связь между бесконечно большой и бесконечно ма-\ |
||||||||||||
|
|
лой |
величинами |
|
|
|
|
|
|
|
112 |
||
§ |
34. |
Об |
отношении |
двух |
|
бесконечно |
малых величин . |
. 113 |
|||||
|
|
Упражнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
114 |
||
Г л а в а |
V. |
Производная |
|
|
|
|
|
|
|
116 |
|||
§35. Функция. Область определения функции. Обозначе ние функциональной зависимости. Геометрическое
|
|
изображение |
функции |
|
|
|
116 |
||||
§ |
36. |
Приращение |
аргумента и |
приращение функции . . |
123 |
||||||
§ |
37. |
Непрерывность |
функций |
|
|
|
123 |
||||
§ |
38. |
Равномерное движение и его скорость. Скорость из |
|
||||||||
|
|
менения линейной функции |
|
|
129 |
||||||
§ |
39. |
Неравномерное |
движение |
и |
его |
скорость . . . . |
132 |
||||
§ |
40.- Скорость |
изменения |
функции |
(основная задача, при |
|
||||||
|
|
водящая |
к |
понятию |
производной) |
|
136 |
||||
§ 41. Производная. Общий метод нахождения производной |
138 |
||||||||||
§ |
42. |
Наклон кривой. Касательная к кривой |
143 |
||||||||
§ |
43. |
Связь между существованием производной и непре |
|
||||||||
|
|
рывностью |
функции . |
|
|
|
147 |
||||
|
|
Упражнения |
|
|
|
|
|
|
|
148 |
|
Г л а в а |
V I . Основные |
формулы |
и правила |
дифференциального |
|
||||||
|
|
исчисления. Производные элементарных функций . |
151 |
||||||||
§ |
44. |
Таблица |
основных формул |
|
|
151 |
|||||
§ |
45. |
Производная |
постоянной |
величины |
152 |
||||||
§ |
46. |
Производная |
функции у |
= х |
|
|
153 |
||||
4
§ |
47. |
Производная |
произведения |
функций |
|
154 |
||
§ |
48. |
Производная |
целой |
положительной |
степени . . |
. 156 |
||
§ |
49. |
Производная |
алгебраической |
суммы |
функций . . |
.157 |
||
§ |
50. |
Производная |
дроби |
|
|
|
|
158 |
§ |
51. Сложная функция и |
ее |
производная |
|
160 |
|||
|
|
|
|
sin |
Z |
|
|
|
§ |
52. |
Предел отношения —-— при z-vO |
|
164 |
||||
§ |
53. |
Производные |
тригонометрических функций . . . . |
166 |
||||
§54. Модуль перехода от одной системы логарифмов к другой. Число е. Натуральные логарифмы. Переход
|
|
от натуральных логарифмов к десятичным и обратно |
168 |
||||||||||||
§ |
55. |
Производная |
логарифмической |
функции |
|
|
170 |
||||||||
§ |
56. |
Производная степени при любом показателе степени |
172 |
||||||||||||
§ |
57. |
Производная |
показательной функции |
|
|
|
173 |
||||||||
§ |
58. |
Производные |
обратных тригонометрических |
функций |
174 |
||||||||||
|
|
Упражнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
177 |
|||
Г л а в а |
V I I . Исследование |
функций с помощью производной . |
134 |
||||||||||||
§ |
59. Ход |
изменения |
функции |
|
|
|
|
|
184 |
||||||
§ |
60. |
Возрастание |
и убывание функции |
в промежутке . . |
185 |
||||||||||
§ |
61. Максимумы |
и минимумы функции. Нахождение экс- |
|
||||||||||||
|
|
стремумов |
функции |
|
|
|
|
|
|
|
187 |
||||
§ |
62. |
Производная |
второго |
порядка. Механический смысл |
|
||||||||||
|
|
второй |
производной |
|
|
|
|
|
|
198 |
|||||
§ |
63. |
Второе правило разыскания экстремумов функции |
200 |
||||||||||||
§ |
64. |
Выпуклость и вогнутость кривой в точке и в проме |
|
||||||||||||
|
|
жутке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
201 |
|
§ |
65. |
Точка |
перегиба . . |
|
|
|
|
|
|
204 |
|||||
§ |
66. |
Схема |
построения |
графиков функций . . . . . . |
207 |
||||||||||
§ |
67. |
Построение |
и |
исследование |
|
графика |
функции |
|
|||||||
|
|
у = |
ах2 |
+ |
Ьх + |
с |
|
|
|
|
|
|
|
210 |
|
|
|
Упражнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
212 |
|||
Г л а в а |
V I I I . |
Дифференциал |
|
|
|
|
|
|
|
219 |
|||||
§ |
68. |
Дифференциал как главная часть приращения функ |
|
||||||||||||
|
|
ции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.' . |
219 |
§ |
69. |
Геометрический |
смысл |
дифференциала |
функции . . |
223 |
|||||||||
§ |
70. |
Основные |
правила |
и |
формулы |
вычисления |
диффе |
|
|||||||
|
|
ренциалов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
224 |
||
§ |
71. Приложения |
дифференциала |
к |
приближенным |
вы |
|
|||||||||
|
|
числениям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
226 |
||
§ 72. |
Дифференциалы высших порядков. Выражение про |
|
|||||||||||||
|
|
изводных |
через |
дифференциалы |
. . |
. . ' . . . . |
229 |
||||||||
§ |
73. |
Дифференциал |
длины.дуги . . . . . . . . . . . |
230 |
|||||||||||
§ |
74. |
Кривизна |
линии . . . . . . |
|
. . . . . . . . |
. |
232 |
||||||||
§ |
75. Круг кривизны и радиус кривизны |
|
|
|
235 |
||||||||||
§ 76. |
Примеры |
вычисления |
радиуса |
кривизны |
|
|
236 |
||||||||
|
|
Упражнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
237 |
|||
Г л а в а |
IX. Неопределенный интеграл |
|
|
|
|
|
240 |
||||||||
§ 77, Отыскание функции по ее производной или диффе ренциалу; примеры из механики и геометрии . . . 240
5
§ 78. Неопределенный интеграл |
24 L |
§79. Определение по начальным значениям переменных произвольной постоянной, получающейся при инте
грировании |
246 |
§80. Обращение формул дифференцирования (основные
|
формулы интегрирования). Два правила |
интегриро |
|
|
вания |
|
249 |
§ |
81. Простейшие |
способы интегрирования |
252 |
|
Упражнения |
|
261 |
Г л а в а |
X. Определенный |
интеграл |
266 |
§82. Определенный интеграл как площадь. Вычисление
|
|
определенного интеграла при помощи неопределен |
|||||||
|
|
ного |
|
|
|
|
|
|
266 |
§ |
83. |
Определенный |
интеграл как предел |
суммы . |
. |
. 276 |
|||
§ |
84. |
Простейшие свойства |
определенного |
интеграла |
. |
. 283 |
|||
§ |
85. |
Принцип |
приложений |
определенного |
интеграла |
. |
. 285 |
||
§ |
86. |
Объем |
пирамиды |
|
|
|
-288 |
||
§ |
87. Примеры |
вычисления |
площадей |
|
|
291 |
|||
§ |
88. |
Объем |
тела |
вращения |
|
|
293 |
||
§89. Объемы конуса, усеченного конуса, шара и шаро
|
|
вого сегмента |
|
|
|
296 |
||
§ |
90. |
Работа |
силы |
|
|
|
298 |
|
§ |
91. Давление |
жидкости |
|
|
299 |
|||
|
|
Упражнения |
|
|
. . . . |
301 |
||
Г л а в а |
X I . Ряды |
|
|
|
|
|
306 |
|
§ |
92. |
Числовые |
ряды. |
Основные |
понятия |
и теоремы |
. . 305 |
|
§ |
93. Ряды |
с положительными |
членами |
|
313 |
|||
§ |
94. |
Знакочередующиеся ряды |
|
|
320 |
|||
§ |
95. |
Абсолютная сходимость |
|
|
320 |
|||
§ |
96. |
Функциональные |
ряды |
|
• |
. 322 |
||
§ |
97. Степенные |
ряды |
|
|
|
323 |
||
§98. Дифференцирование и интегрирование степенных
|
|
рядов |
|
|
|
|
|
• . 329 |
|
§ |
99. Разложение |
в степенные |
ряды |
функций |
1 п ( 1 + х ) |
||||
|
|
и arctgx |
|
|
|
|
|
|
330 |
§ |
100. Ряд Маклорена |
|
|
|
|
332 |
|||
§ |
101. Разложение |
функций ех, |
sinx, |
cos*, |
( l + x ) ° |
и |
|||
|
|
aresin X в |
степенные |
ряды |
|
|
|
334 |
|
§ |
102. |
Ряды в комплексной |
области |
|
|
341 |
|||
§ |
103. Формулы |
Эйлера . . . |
|
|
|
342 |
|||
§ |
104. Тригонометрические |
ряды |
|
|
|
344 |
|||
§ 105. |
Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье |
|
346 |
||||||
§ |
106. |
Функции, разлагающиеся в ряд Фурье |
только |
по |
|||||
|
|
синусам или только по косинусам |
|
361 |
|||||
§ 107. |
Разложение в ряды Фурье некоторых, часто встре |
||||||||
|
|
чающихся |
в электротехнике функций |
|
365 |
||||
|
|
Упражнения |
|
|
|
|
|
|
374 |
6
Г л а в а X I I . Дифференциальные уравнения |
376 |
§108. Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям. Основные понятия и определения . . 376
§109. Дифференциальные уравнения первого порядка и первой степени. Уравнения с разделяющимися пере
менными, однородные и линейные |
|
385 |
|
§ 110. Линейные |
дифференциальные уравнения |
второго |
|
порядка с постоянными коэффициентами. Решение |
|
||
однородного |
уравнения . . . . . . . |
. . . . |
398 |
§111. Решение неоднородных линейных дифференциаль ных уравнений второго порядка с постоянными ко
эффициентами для некоторых специальных видов |
|
правых частей уравнений |
408 |
Упражнения |
422 |
Заключение |
428 |
ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТНАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее издание моего учебника ничем суще ственным не отличается от предшествующих стереотип ных изданий. В нем только уточнены некоторые опре деления и формулировки и заменен один пример иссле дования функции и построения ее графика.
Пользуюсь случаем выразить сердечную признатель ность редактору А. Ф. Лапко, внимательная работа которого помогла обнаружению ряда недочетов в тексте учебника.
Н. Тарасов
ПРЕДИСЛОВИЕ К ДВЕНАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ
В связи с изменением программы курса высшей ма тематики для техникумов для настоящего издания за
ново |
написана |
глава |
«Дифференциальные |
уравнения» |
|
и переработана |
глава |
I I «Прямая |
линия>. |
|
|
По |
иному изложен |
вопрос о |
вычислении |
определен |
|
ного интеграла методом замены переменной, введено понятие дифференциалов функции высших порядков и выражение производных высших порядков через диффе ренциала.
• В |
этой работе |
существенную |
помощь своими |
сове |
тами |
оказали мне |
профессор Р. |
Э. Виноград, |
доцент |
М. И. Грабарь и профессор Б. Ф. Былов, за что я вы ражаю им сердечную признательность.
И.Тарасов.
ВВЕДЕНИЕ
Те предметы, которые составляют содержание школь ного курса математики, т. е. арифметика, алгебра, гео метрия и тригонометрия, объединяются обычно общим названием «элементарная математика». Что же касается тех математических дисциплин, которые излагаются в данной книге (аналитическая геометрия, дифференци альное и интегральное исчисления, ряды и дифферен циальные уравнения), то они, требуя для своего пони мания знакомства с элементарной математикой, в то же время составляют основу так называемой «высшей ма тематики».
Предметами изучения элементарной математики в основном являются постоянные величины и фигуры. На пример, для алгебры типична такая задача, как реше ние алгебраических уравнений, состоящая в отыскании корней уравнений, т. е. величин постоянных. Геометрия занимается изучением свойств неизменных геометриче ских фигур. В тригонометрии главное внимание уде ляется рассмотрению тригонометрических преобразова ний и вычислению элементов треугольников.
Математика есть орудие познания и изменения при роды человеком. Но если бы математика ограничилась изучением только постоянных величин, она не могла бы стать действенным орудием познания и изменения природы, так как жизнь природы состоит в непрестан ном изменении. Поэтому математика сделалась основой естественных наук и техники лишь после того, как были найдены систематические способы изучения переменных величин, позволившие исследовать соотношения между переменными величинами, участвующими з различных
явлениях природы и процессах производства. |
|
|||
Особенно остро |
эта |
задача |
«овладения |
перемен |
ными величинами» |
встала |
перед |
математикой |
в XVI и |
9