книги из ГПНТБ / Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика

М Л. ШНЕПС

ШЩШ

шша

И з д а т е л ь с т в о - «С в я з ь» М о с к в а 1974

Ч

одним из главных атрибутов нашей цивилизации, а система теле­ фонной связи, охватившая земной шар, наиболее сложной из систем, созданных людьми. С целью эффективного использования коммутационных возможностей телефонных систем создаются сложные управляющие устройства, повсеместно применяется прин­ цип централизованного управления коммутационным оборудова­ нием. Так, в координатных АТС, которые сегодня находят широкое применение, общими управляющими устройствами являются реги­ стры (устройства, принимающие информацию от вызывающего абонента о номере, вызываемого абонента) и маркеры (устройства управления установлением соединения). В интенсивно разрабаты­ ваемых в настоящее время квазиэлектронных и электронных АТС управление осуществляют специализированные ЭВМ. Среди этих АТС наиболее прогрессивны программно управляемые АТС, храня­ щие программу управления и информацию о состоянии коммута­ ционной системы в памяти ЭВМ.

Наряду с бурным развитием проводной связи классического ти­ па (телефонии и телеграфии) появляются системы и сети переда­ чи алфавитно-цифровой информации, происходит слияние телефон­ ной сети с сетью вычислительных центров. Наметившийся процесс сближения вычислительных систем и сетей связи может в не очень далеком будущем привести к созданию интегральных сетей. Этому сближению способствует прогресс вычислительной техники: эле­ менты электроники и вычислительной техники становятся элемен­ тами коммутационной техники, а специализированные вычислитель­ ные машины управляют телефонными станциями.

Перечисленные тенденции развития телефонных систем стимули­ руют развитие соответствующих теоретических исследований.

областей является теория телетрафика. Работы датского ученого А. К. Эрланга по описанию полнодоступного пучкателефонных ли­ ний, выполненные более чем 50 лет назад, составляют основу этой теории и оказали решающее влияние на развитие теории вероят­ ностей. В Советском Союзе наряду с термином «теория телетрафи­ ка» используется термин «теория телефонных и телеграфных сооб­ щений». Имея в виду современное состояние телефонии и перспек­ тивы ее развития, целесообразно оставлять первый термин, так как он лучше характеризует то равнооб|р'азие областей инженерной дея­ тельности, в которых теория телетрафика уже нашла применение. При буквальном переводе «теле» с греческого означает «далеко» и «трафик» с латинского «tra-veho» — «перевести», «переслать». По­ этому под понятием «телетрафик» можно подразумевать не только телефонное и телеграфное сообщение в классическом смысле, а также потоки сообщений в системе передачи данных, между вычис-

3

лительными машинами и в самой ЭВМ, т. е. любые потоки инфор­ мации в системах коммутации и распределения 'информации.

Математические задачи теории телетрафика в Советском Союзе часто включаются в теорию массового обслуживания, хотя следует заметить, что работа А. Я. Хинчина «Математические методы тео­ рии массового обслуживания» (Труды мат. ин-та им. Стеклова АН

СССР, т. 49, 1955), положившая начало этому научному направле­ нию, представляет собой изложение и дальнейшее развитие одной из основополагающих работ по теории телетрафика — докторской диссертации шведского ученого К. Пальма «Колебания интенсив­ ности телефонной нагрузки» (Ericsson Technics, 44, 1943).

Развитие теории телетрафика определяется инженерными успе­ хами создания систем коммутации и, в первую очередь, систем, применяемых в телефонии. Работы Эрланга, Молина, Энгсета, О’Делла и других, появившиеся в 10—30-х годах нашего века, по­ священы большей частью изучению потерь в полно- и неполнодо­ ступных пучках и изучению ожидания в простых системах. Разра­ ботка координатных АТС в 40-х годах и внедрение централизован­ ного управления породили задачи, связанные с вычислением по­ терь в многокаскадных системах.

Основы теории телетрафика на уровне подготовки специалиста по автоматической электросвязи хорошо изложены в изданиях по­ следнего времени:

1) Б. С. Лившиц, Я. В. Фидлин, А. Д. Харкевич. Теория теле­ фонных и телеграфных сообщений. М., «Связь», 1971.

2)X. Штермер и др. Теория телетрафика. М., «Связь», 1971.

3)А. Эллдин, Г. Линд. Основы теории телетрафика. М., «Связь», 1972.

Успехи вычислительной техники способствовали расширению работ по созданию электронных управляющих устройств АТС и вне­ дрению достижений программирования в автоматическую комму­

ния в АТС, приведены алгоритмы работы различных узлов АТС; с обзором М. Ф. Дутова2), который содержит описание и сравнение существующих квазиэлектронных АТС.

Создание квазиэлектронных АТС ставит перед теорией теле­ трафика новые задачи по изучению однолинейных систем со слож­ ными дисциплинами обслуживания, по математическому описанию работы центральных управляющих устройств, по изучению комби­ наторных свойств коммутационных схем с целью их динамическо­ го перестроения и увеличения пропускной способности.

Ответ на вопрос «Что такое теория телетрафика сегодня и как распределяются интересы ученых по различным ее разделам» дает изучение материалов Международных конгрессов по телетрафику.

4

Шестой конгресс, который проходил в 1970 г. в Мюнхене, имел сле­ дующее распределение докладов по направлениям (их общее чис­ ло 109):

всех докладах, содержащих числовые результаты. Распространение метода статистического моделирования объясняется тем обстоя­ тельством, что для большинства задач теории телетрафика доста­ точно легко построить марковский процесс, который описывает действие интересующей нас системы. Однако из-за большого числа (состояний и -сложности -структуры трудно (получить аналитические результаты. Единственным универсальным средством в преодолении этого главного препятствия на пути применения теории телетрафи­ ка в больших системах, в системах коммутации с централизован­ ным управлением является метод статистического моделирования.

тистическому моделированию коммутационных систем, прочитан­ ных-автором книги в первом полугодии 1971 г. на общемосковском семинаре «Массовое обслуживание в структурно-сложных системах связи и управления» НТОРЭС имени А. С. Попова. Однако во вре­ мя работы над ней появились три указанных выше руководства по теории телетрафика, что заставило изменить и дополнить первона­ чальный план, в какой-то мере ответить на вопросы, которые перед теорией телетрафика возникают сейчас, когда в связи с сближени­ ем телефонных и вычислительных систем повышаются требования к специалисту по автоматической электросвязи, когда возникла потребность в создании мощных коллективов, способных разраба­ тывать математическое обеспечение программно управляемых АТС. В связи с этим в предлагаемой книге наряду с методом статисти­ ческого моделирования (методом Монте-Карло) излагаются и дру­ гие численные методы, которые применяются при решении кон­ кретных проблем теории телетрафика.

Книга -состоит из 10 глав, которые можно разделить условно на три части. Первая часть (гл. 1—4) содержит основы численных ме­ тодов теории телетрафика; во второй части (гл. 5—6) рассматри-

5

вается применение математического аппарата теории телетрафика к решению двух классических задач:

а) исследованию принципов выбора оптимальных неполнодо­ ступных схем;

б) изучению проблемы повторных вызовов.

И, «а'конбц, третья часть (гл. 7— 10) тое-вящена изучению проблематики метода статистического моделирования (метода Монте-Карло), включая изложение алгоритмов моделирования, исследование подходов к уменьшению дисперсии результатов ста­ тистического моделирования, к оценке их точности.

Большая часть материала книги может служить дополнением к учебному курсу «Теория телефонных и телеграфных сообщений» по специальности «Автоматическая электросвязь», а в целом книга может быть основой курса «Математическая теория телетрафика» или курса, одноименного с названием книги.

В отличие от известных монографии по математической теории телетрафика (В. Э. Бенеш. Математические основы теории теле­ фонных сообщений. М., «Связь», 1968; Г. П. Башарин, А. Д. Харкевич, М. А. Шнепс. Массовое обслуживание в телефонии. М., «Наука», 1968) в предлагаемой вниманию читателя книге практи­ ческие задачи теории телетрафика излагаются более детально (с привлечением многих численных примеров). Она может быть ис­ пользована в учебном процессе на факультетах прикладной мате­ матики и кибернетики.

Представление о содержании отдельных глав дают подробно составленное оглавление, а также аннотации, помещенные в нача­ ле глав, поэтому на характеристике содержания отдельных глав

тода Монте-Карло, но можно сказать, что он всегда связан со слу­ чайными испытаниями. Расчет по методу Монте-Карло заключает­ ся в получении случайной выборки из некоторой генеральной' сово­ купности в соответствии с определенными вероятностными зако­ нами, которые в зависимости от конкретной задачи выбираются по-разному. Если воспроизводятся реальные вероятностные законы, то говорят о «прямом» статистическом моделировании. Такой под­ ход прост для восприятия, но обладает недостатком — редко встре­ чающиеся в реальной ситуации события встречаются редко и в мо­ дели, что приводит к неэкономному расходованию машинного вре­ мени. Во избежание этого «прямое» моделирование заменяется на моделирование искусственных вероятностных моделей, в которых интересующее нас событие встречается чаще. Изучение таких ис­ кусственных моделей и составляет основу метода Монте-Карло, а сами способы построения искусственных моделей называются спо­ собами уменьшения дисперсии. При этом, конечно, возникают сложные статистические задачи, основная среди них — избежать смещений средних значений выбранных статистик.

6

Метод статистического моделирования (или метод Монте-Кар­ ло) применялся в решении телефонных задач, начиная с 20-х го­ дов. Создавались специальные установки искусственного телетра­ фика, имитирующие действие коммутационных схем. По мере раз­ вития вычислительной техники вместо специализированных машин повсеместно перешли па ■универсальные ЭВМ, и .применяются они широко, как указано выше при разборе материалов Шестого кон­ гресса по телетрафику.

Несмотря иа столь давние традиции использования метода ста­ тистического моделирования в телефонии, в настоящее время ос­ новной сферой его применения чаще считают задачи ядерной фи­ зики, задачи прохождения излучения через вещество. Исторически это связано с именем известного американского ученого Дж. фон Неймана: в 1944 г. при участии в создании атомной бомбы он пред­ ложил использовать вероятностные методы при решении приклад­ ных задач (первое систематическое изложение метода Монте-Кар­ ло содержится в [202]). В задачах ядерной физики обычно имити­ руются марковские процессы, так что используемые приемы могут быть полезны при моделировании систем телетрафика. Однако изза различий в физических интерпретациях задач этих двух облас­ тей методы их решения развиваются практически независимо вот уже почти 30 лет. Данное положение отражают монографии, по­ явившиеся в последнее время по методу Монте-Карло [54, 135], а также сборники материалов конференций (105— 107]. Метод «пря­ мого» статистического моделирования тоже получает широкое раз­ витие, особенно в моделировании производственных процессов [27, 103, 40]. Распространенность метода объясняется тем, что он применим к любым задачам, допускающим статистическое описа­ ние, тем более, что само это описание часто является уже алгорит­ мом решения задачи методом Монте-Карло. Широкой известностью пользуются также общие руководства по методу Монте-Карло [28, 116, 102] и др.

Результаты третьей части настоящей книги имеют общее зна­ чение для численного изучения любых сложных систем массового

методы теории телетрафика могут быть использованы в любой об­ ласти человеческой деятельности, где явления массового обслужи­ вания (ожиданий) имеют место. В частности, в программу первых конгрессов по телетрафику (вплоть до 4-го конгресса в Париже в 1964 г.) входили доклады по математическим моделям транспорт­ ных систем, медицинских систем и др.

В настоящее время важнейшая сфера «экспансии» теории теле­ трафика — это вычислительная техника. По мере создания про­ граммно управляемых квазиэлектронных и электронных АТС, с од­ ной стороны, и создания вычислительных систем, с другой стороны, происходит сближение техники связи и вычислительной техники, и теория телетрафика становится единой теорией для анализа и синтеза таких систем. Теория телетрафика может также служить

7

Марковские процессы как модели систем телетрафи

Настоящая глава начинается изложением примеров систем коммутации (§,1.1), вклю­

чая краткое описание самых сложных на се­ годня систем — программно управляемых АТС. Потом дано крат­ кое изложение случайных процессов размножения и гибели (§ 1.2) с подробнейшим выводом формул для частного случая — двухли­ нейной системы с потерями. Параграф 1.3 содержит математичес­ кий аппарат описания сложных коммутационных систем (изложе­ ние ведется на примере неполнодоступных схем).

1.1. СИСТЕМЫ КОММУТАЦИИ

1. Полнодоступный пучок линий

Полнодоступный пучок линий представляет наиболее простую систему коммутации. На рис. 1.1 изображен о-лвнейный пучок с потерями. Поступающая нагрузка — вызовы, требующие свободной линии на некоторое случайное время разговора, делится на обслу­ женную (это те вызовы, которые в момент поступления застали свободной хотя бы одну из v линий) и потерянную.

Если вызовы, поступившие в момент занятости всех v линий, не теряются, а ожидают освобождения какой-то линии, то мы имеем систему с ожиданием. Если же после потери вызова абонент через случайное время делает вызов еще раз, имеем систему с повторны­ ми вызовами.

2.Неполнодоступная схема

Сцелью экономичного использования линий и коммутацион­ ного обслуживания на практике вместо полнодоступных пучков (схем) применяются неполнодоступные схемы (НС). Основной осо­ бенностью НС является то, что отдельному абоненту доступны не все линии пучка. Простейший пример НС дан на рис. 1.2. Приве­ денная НС имеет 3 линии, которые обслуживают вызовы двух по­ токов: первому потоку доступны 1 и 3-я линии, второму — 2 и 3-я линии. Направление искания слева направо.

9