книги из ГПНТБ / Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие)

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗСВАНИЯ РСФСР

ЯРОСЛАВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Кафедра высшей математики

В. Н.БОГДАНОВ, К.Н.РСЖЕНКОВА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

(учебное пособие)

Ярославль, 1974

Гос, n -бличная

Н&УЧИО-Т ©X !■WЧ0СКЗ.я

библио г©на <

ЭКЗЕМПЛЯР ЧИТАЛЬНОГО ЗАЛА

, ■>

/у ■,

АН Н О Т А Ц И Я

Настоящее учебное пособие предназначено для студентов Ярославского политехнического института, где теория'вероят­ ностей изучается как составная часть курса высшей математики.

В краткой, конспективной форме изложены основные тео­ ретические вопросы и даны решения большого числа задач.

<с) Ярославский политехнический институт 1974.

В В Е Д Е Н И Е

Теория вероятностей изучает закономерности массовых случай^

ных явлений". Случайное явление определяется множеством факторов, \

неизвестно^ каких именно. Поэтому в отдельно ьзятом случайном яв­ лении закономерностей установить не удается. Но, если такие явле­ ния принимают массовый характер, в их осредненных характеристиках закономерности проявляются отчетливо.

В каждом физическом явлении присутствует элемент случайности,

ибо каждое явление более или менее тесно связано с бесконечным множеством других явлений. Поэтом/ в ряде практических задач вмес­ то реального явления рассматривается его упрощенная схема, где из бесчисленного множества факторов выделяются основные. Другие фак­ торы считаются второстепенными и ими пренебрегают. Это неизбежно

приводит к ошибкам.

*

По мере развития науки возникает необходимость учитывать все

большее количество факторов,чтобы уменьшить ошибку или оценить е ё '

возможное значение. Кроме того, существует целый ряд задач, где

из множества факторов невозможно выделить основные, ибо все они оказывают примерно одинаковое влияние на явление.

Элемент неопределенности, сложности, многопричинности слу­ чайных явлений требует создания специальных методов для их изу­ чения, Такие методы и разрабатываются в теорий вероятностей. Ве­ роятностный, или статистический, метод з науке не противопоставляв ет себя классическому методу точных наук, а является его дополне­ нием,

5

теорем теории вероятностей, изложил теорию ошибок наблюдений и метод наименьших квадратов.

Для 18 и 19 веков характерны оурное развитие теориивероят­

ностей и повсеместное увлечение ею.

Теория вероятностей становится модной наукой, её методы начина­ ют применять и там, где эт-о .применение не оправдано, в частнос­ ти для исследования событий и явлений, не носящих массового харак тера.И это не сыграло положительной роли в развитии науки, а,

напротив, нанесло ей вред.

Увлечение новой наукой сменилось разочарованием. На теорию ве­ роятностей стали смотреть как на науку сомнительную, второсорт­ ную, как на математическое развлечение, вряд ли достойное серьез­

ного изучения.

Из тупика теорию вероятностей вывели русские ученые - Чебы­ шев (I8 2 I-I8 94 ) и созданная им школа.

Трудами знаменитой Петербургской математической школы тео­ рия вероятностей была поставлена на прочную логическую основу,

выведена с задворков науки и поставлена как полноправный член в ряд точных математических наук.

И с этого времени её развитие тесно связано о работами рус­ ских, а затем советских ученых.

Русскому академику Остроградскому(X 80I-I86I) принадлежит идея применения теории вероятностей к контролю качества продук­ ции выборочным методом.

Математик 19 века Буняковский (ISG'+-I889) занимался, главным образом, вопросами приложения вероятностных методов к статистике населения и страховому делу. Он написал первый русский учебник

6

по теории вероятностей ; введенная в нем терминология в значитель­ ной чс.сти укоренилась в литературе до настоящего времени. Науч­ ная деятельность Буняковского, в частности его учебник, имели большое влияние на развитие теории вероятностей в России .'

пунктом основных исследований в ней на многие десятилетия вперед,

вплоть до наших дней.

Чебышев создал школу последователей своих идей и направле­

ний исследований. Наиболее яркими учениками Чебышева были Марков

(1856-1922) и Ляпунов (I8 5 7 -I9 I8 ).

В этот период Россия становится центром исследований по обще'

теоретическим проблемам теории вероятностей, русская школа зани-

наны и высоко оценены учеными всего мира.

Советская школа теории вероятностей занимает в мировой нау­ ке также ведущее место.

Большой вклад в её развитие внесли советские ученые Берн­ штейн, Хинчин, один из крупнейших математиков современности,

имеющий в теории вероятностей многочисленные труды первостепен­ ной важности, Колмогоров, ученые Романовский, Смирнов, Слуцкий,

Гнеденко, Петровский, Андронов, Понтрягии и другие.

с потребностями практики и техники. Сегодня нет почти ни одной науки, в которой так или иначе не применялись бы вероятностные методы. Целые разделы физики С ядерная физика ) базируются на методах теории вероятностей.

Все шире применяются вероятностные методы в современной электро­ технике, радиотехнике, метеорологии, астрономии,в теории авто­ матического регулирования, машинной математике. Широко применяет­ ся теэрия вероятностей в военных науках: теории стрельбы и бом­ бометания, теории прицелов, теории приборов управления огнем и других.

За рубеком развитие теории вероятностей тоже идет в насто­ ящее время усиленными темпами в связи с настоятельными требова­ ниями практики.

ГЛАВА I . С Л У Ч А Й Н Ы Е С О Б Ы Т И Я

. »

§ I . Основные понятия и определения.

Случайным событием называется тот факт, который в силу мно­

жества неизвестных причин в результате опыта ..:ожет произойти или не произойти.

Результат опыта можно характеризовать по разным признакам.

Следовательно„ взяв один признак, получим одну группу возможных

событий * - vflfc » взяв другой признак, получим другую

8

случайное событие. Если извлеченный шар характеризовать по цве­

ту, то возможны 2 соб ы ти я :и зв л е ч е н шар белый, А извлечен шар

черный. Если характеристикой служит номер, то возможны 10 собы­

если никакие два из них не могут появиться вместе. В противном случае события называются совместными. Пусть событие С,-номер

ний считать наступление одного из этих событий в данном опыте бо­ лее возможным, чем наступление каждого из остальных» В противном случае события называются неравновозможными.

благоприятствующих появлению белого шарав 6 ; случаев, благоприят­ ствующих появлению черного шара, 4»

Классическая формулировка вероятности! вероятностью события называется отношение числа случаев, благоприятствующих этому со ­

Отсюда, если событие достоверноее то его вероятность равна I .

Вероятность одного события, вычисленная при условии, что

другое событие произошло, называется.условной вероятностью* Обо-