Лекции Стечкина по матану

12.2.Предел функции по Гейне (секвенциальное определение)

Определение. Пусть имеем f (x) (x M ) и a M ′ . Говорят, что

(Г)

f (x) −→ A (по Гейне) при x → a , если для любой последователь-

ности Гейне, связанной с точкой a , существует предел lim f (ξn)

n→∞

равный A .

Замечание. Если для любой последовательности Гейне {ξn} , свя-

лучим новую последовательность Гейне {ηn} , связанную с точкой

a . Пусть lim f (ηn) = B . Тогда B = A , B = A′ . Значит все преде-

n→∞

лы значений функции по последовательностям Гейне равны между

собой: A = A′ , а функция имеет предел по Гейне при x → a .

Теорема об эквивалентности пределов по Гейне и по Коши.

Для того, чтобы функция имела предел по Коши необходимо и достаточно, чтобы она имела предел по Гейне.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если функция имеет предел по Коши или по Гейне, то будем обозначать, соответственно,

1) Докажем, что (К ) (Г ), т. е. что если функция имеет

предел по Коши, то она имеет предел по Гейне. Зададим последовательность Гейне {ξn} , связанную с точкой a . Покажем, что

lim f (ξn) = A .

n→∞

Надо доказать, что для всех ε > 0 N = N (ε) n ≥ N |f (ξn) − A| < ε . Выберем ε > 0 . Тогда по определению предела

но не имеет предел (К ). Тогда число A , по предположению, не

51

есть предел функции по Коши. Следовательно, ε0 > 0 O(a)

¯¯

ξ0 M , ξ0 O(a)\a , ¯f (ξ0) − A¯ ≥ ε0 . Зададим последователь-

При n → ∞ xn → 0 , а mn → ∞ . Перейдя к пределам (см. замечание в § 9), по оценочному признаку получим

1

52

Лекция 10 (06.10.67)

12.4. Предел сложной функции

Пусть заданы функция y = f (x) (x M ) , a M ′ , f (x) → A при x → a , и функция ϕ(y) в окрестности O(A) . Рассмотрим сложную функцию z = F (x) = ϕ(f (x)) . Мы хотели бы выяснить, при каких ограничениях эта функция имеет предел, т. е. F (x) → B при x → a .

O(a) \ {a}

Рис. 3.10. Предел композиции функций.

Теорема (предел сложной функции). Пусть функция y = f (x)

определена на множестве M , для которого a – предельная точка, f (x) → A при x → a и существует такая окрестность O(a) , что x O(a)\a f (x) 6= A . Пусть, далее, функция ϕ(y) определена на некотором множестве N , содержащем некоторую проколотую окрестность O(A)\A . Пусть ϕ(y) → B при y → A . Тогда z = ϕ(f (x)) → B при x → a .

53

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что для любой последовательности Гейне {ξn} , связанной с точкой a, ϕ(f (ξn)) → B при n → ∞ . Обозначим yn = f (ξn) , yn =6 A , yn → A при n → ∞ . Значит последовательность Гейне, связанная с точкой a, переходит в последовательность Гейне, связанную с точкой A. Следовательно, для последовательности {yn} ϕ(yn) → B при n → ∞ , т. е. ϕ(f (ξn)) → B

при n → ∞ , а это эквивалентно тому, что lim ϕ(f (x)) = B .

x→a

§ 13. Критерии существования пределов

13.1. Дополнения к принципам непрерывности

стремятся к нулю: (bn − an) → 0 ( n → ∞ ).

Теорема. Существует единственная точка α R , которая

принадлежит всем отрезкам системы стягивающихся отрезков:

∞

T

n = {α} .

n=1

Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме Кантора о вложенных отрезках

bn − an ≥ β − α > 0 , а это противоречит условию 2), т. е. тому, что длины стягивающихся отрезков стремятся к нулю.

Теорема (принцип непрерывности Вейерштрасса). Пусть последовательность {an} ↑ и пусть an ≤ K для любого n . Тогда

существует lim an .

n→∞

Действительно, множество значений ограниченной последовательности имеет (п. 6.2, с. 34) верхнюю грань, которая совпадает с пределом последовательности в виду ее возрастания.

Для числовой прямой все принципы непрерывности эквивалентны.

54

Упражнение. Доказать следствие методом деления отрезка на оси Oy пополам.

Лекция 11 (11.10.67)

Замечания к лемме Больцано – Вейерштрасса.

1). Лемма утверждает существование предельных точек, но не говорит об их числе. Предельных значений может быть много.

2). Если множество M [a, b] , то все предельные точки при-

надлежат этому отрезку, вне этого отрезка предельных точек мно-

жества нет.

3). Замечание к лемме Больцано – Вейерштрасса для множеств. Если M [a, b] , M – бесконечное множество, то най-

дется предельная точка этого множества α M ′ , для которой

найдется последовательность Гейне элементов этого множества, отличных от α и сходящаяся к α ( n → ∞ ): ξn M , ξn =6 α ,

ξn → α ( n → ∞ ).

4). В лемме не утверждается, что предельная точка принадлежит самому множеству M. Лемма выражает свойство компактности

множества на прямой, а не в себе.

13.3. Лемма Гейне – Бореля

Рассмотрим систему множеств {Mα} и какое-то множество A. Определение. Система {Mα} называется покрытием множе-

ства A, если объединение всех множеств Mα покрывает A, т. е.

S Mα A .

α

Покрытия бывают конечные и бесконечные. Особенно важны по-

крытия посредством интервалов 2) .

Лемма Гейне – Бореля. Из всякого покрытия отрезка интер-

валами можно выделить конечное подпокрытие.

Упражнение. Доказать лемму методом деления пополам.

13.4. Критерии существования пределов

1). Критерий существования предела последовательности в терминах предельных значений.

2) "Одеяло будет всегда волочиться по полу" по образному выражению С. Б. С.

56

Пусть |an| ≤ K для любых n. Обозначим A множество предельных значений последовательности {an} .

Рис. 3.11. К теореме о существовании предела последовательности в терминах предельных значений.

Теорема. Для того, чтобы ограниченная последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы множество ее предельных значений состояло из единственной точки.

Д о к а з а т е л ь с т в о. I. Н е о б х о д и м о с т ь. Если последовательность имеет более одного предельного значения, то она не может быть сходящейся. Действительно, пусть a – предел и пусть b – другая предельная точка (рис. 3.11). Возьмем O(a) и O(b) такие, что O(a) T O(b) = . Тогда найдется бесконечно много точек an , не принадлежащих O(a) . Тогда a не предел, что проти-

воречит предположению.

II. Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть a – единственная предельная точ-

ка. Надо доказать, что последовательность сходится к этой точке. Пусть это не так, это значит, что существует окрестность O(a) , вне

которой есть бесконечное число членов нашей последовательности. Тогда вне окрестности O(a) есть предельные значения: a1, ... . Это противоречит предположению.

точку, т. е. последовательность имеет предел, тогда и только тогда,

2) Критерий Коши существования предела последовательности.

Определение. Последовательность {an} называется последова-

57

тельностью Коши, если для ε > 0 N = N (ε) n, m > N

|an − am| < ε .

Таким образом, все члены последовательности Коши с большими номерами близки друг к другу. Последовательность Коши показывает, при каких дополнительных условиях предельная точка является пределом.

Критерий Коши для последовательности. Для того, чтобы последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была последовательностью Коши.

Д о к а з а т е л ь с т в о. I. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть

Коши. Надо доказать, что она сходится. По определению последо-

– Вейерштрасса у этой последовательности есть, по крайней мере одна, предельная точка. Пусть α – предельная точка последова-

А это и значит, что am → α при m → ∞ .

58

13.5.Критерий Коши существования предела функции

Пусть функция f (x) определена на множестве M и a – предельная точка этого множества (т. е. a M ′ ).

Теорема (критерий Коши существования предела функции). Пусть функция f (x) определена на множестве M и a – предельная точка этого множества. Для того, чтобы функция имела предел в точке a необходимо и достаточно выполнение сле-

Замечание. Критерий Коши и для функции и для последовательности утверждает, что имеется конечный классический предел. На случай бесконечного предела критерий не переносится.

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы. I. Н е о б х о д и м о с т ь.

|f (x′) − A| < ε . Тогда

|f (x) − f (x′)| ≤ |f (x) − A| + |A − f (x′)| < ε + ε = 2ε.

II. Д о с т а т о ч н о с т ь. Докажем, что существует A такое, что

{ξn} , ξn M , ξn 6= a , ξn → a при n → ∞ , f (ξn) → A при n → ∞ . Т. е. надо проверить, что для любой последовательности

Гейне {ξn} последовательность an = f (ξn) есть последователь-

ность Коши.

ют условию m > N, 0 < |ξn − a| < δ, |f (ξn) − f (ξm)| < ε , т. е.

|an − am| < ε . Таким образом, {an} есть последовательность Ко-

ши. Следовательно, она сходится, и функция имеет предел, что и требовалось доказать.

Замечание. Если a = ∞ , то критерий формулируется следующим

образом.

lim f (x) = A

x→∞

x K x, x′ M, x > K, x′ > K, |f (x) − f (x′)| < ε .

59

§ 14. Порядки бесконечно малых

казывает, что α и β ведут себя одинаково. Например, x(2 + sin x)

x для x ≥ 0 .

Упражнение. Верно ли, что если даны две пары функций, связанных порядковым равенством, то их можно умножать, складывать

ивычитать, и при этом порядковое равенство сохранится?

≈– асимптотическое равенство. α(x) ≈ β(x) при x → 0 , если αβ((xx)) → 1 ( x → 0 ).

α(x) = o(β(x)) ( x → 0 ), если αβ((xx)) → 0 ( x → 0 ). Говорят, что α(x) есть “o малое” от β(x) при x → 0 .