Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТеорМЕХ3куПМ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

1.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

накопленный человечеством опыт наблюдений за силовым взаимодействием тел.. Перечислим некоторые из них.

Определения.

1.Сила – вектор, имеющий величину(напряжение), направление действия и точку приложения.

2.Система сил – совокупность сил, действующих на механическую систему.

3.Пара сил – система, образованная двумя силами, приложенными к абсолютно

твердому телу, равными по величине и противоположно направленными
4.	Система сил, действующих на свободное покоящееся абсолютно твердое тело и		не
порождающая		его движения, образует уравновешенную систему сил (эквивалентна нулю ), а	о
теле	говорят,	что оно находится в равновесии.

5. Две системы сил являются эквивалентными, если, действуя порознь на одно и то же

свободное покоящееся твердое

тело, они вызывают одинаковые

его движения.

6. Если система сил эквивалентна одной силе, то

эту силу

называют равнодействующей.

Аксиома 1. Состояние покоя, или движения свободного

твердого тела не изменится, если к системе сил, действующей

на него, добавить

(или отнять) уравновешенную систему сил.

Аксиома

2. Система

двух

сил,

равных

по величине,

-F`

противоположно направленных, приложенных в двух точках

абсолютно твердого тела и действующих по прямой, их

соединяющей, является уравновешенной.

Рис.8.1

Следствие.

Сила,

действующая на абсолютно твердое тело,

есть вектор скользящий.

Точку приложения силы можно

переносить в любое место линии ее действия.

Доказательство.

Пусть

сила

приложена в

точке

тела.

Добавим к

этой

силе

эквивалентную

нулю

систему

двух сил (F `, F `) , где F ` F ,

приложенных в точке В линии действия заданной силы. Имеем соотношения эквивалентности ( - символ эквивалентности)

{F}

{F , (F `,

F `)} {(F , F `), F `} {0, F `}

{F `}

При этом в получившейся системе

сил та сила, которая приложена в

точке А и противоположная ей сила,

приложенная в точке

В,

образуют

уравновешенную

систему

сил,

которую можно

отбросить. В

результате оказывается, что сила,

приложенная в точке А твердого

тела , эквивалентна такой же силе,

но

приложенной

произвольной

точке В линии действия первой

силы.

Важнейшее замечание.

Следствие

неприемлемо,

если

точка

Рис. 8.2.

приложения силы переносится не по линии действия силы.

Аксиома 3 (отвердевания или замораживания). Если механическая система находится

в равновесии под действием некоторой системы сил, то равновесие не нарушится от добавления новых связей.

Пояснение. Наложением новых жестких связей систему материальных точек можно

превратить в абсолютно твердое тело (заморозить)..\

Аксиома вводит одновременно понятие связей, как

ограничений,

накладываемых

на

положения

движения

материальных точек системы другими телами, не включенными в

механическую систему. При изображении связей

на рисунках используются их условные (абстрактные)

представления, частично проиллюстрированные на рис. 8.2\.

Силовое

воздействие связи

на

механическую

систему

называют реакцией связи. Реакции связей относят к пассивным

силам, так как их величины зависят от величин активных сил,

действующих на систему.

Аксиома связей. При исследовании равновесия или

движения несвободной механической системы связи,

-F`

наложенные на нее, можно отбросить, заменив их действия

силами реакциями связей, и рассматривать равновесие или

движение этой

механической

системы

как

свободной,

совершающееся под действием активных сил и сил реакций

Рис.8.3

связей.

Две основные задачи, решаемые в статике.

1.Упрощение систем сил, действующих на абсолютно твердое

тело..

Установление

условий

равновесия

системы

сил,

действующих на абсолютно твердое тело.

Упрощение систем

сил,

действующих

на

абсолютно

-F

твердое тело..совершается с помощью

эквивалентных

преобразований, в основе которых лежит лемма о переносе

точки приложения силы в абсолютно твердом теле..

Рис. 8.4

Лемма о переносе силы Точку приложения силы

можно переносить в любое другое место абсолютно

твердого тела , обязательно добавив при этом пару сил,

момент которой равен моменту силы относительно точки

переноса.

Доказательство.

Пусть сила

приложена

точке А тела. Добавим

силе

F ,

уравновешенную систему сил

' )В ,

приложенных

в точке

В.. Имеем

(

' ,

где

F ,

соотношения эквивалентности

{

} {(

' ,

' )

, F } {F , ( F , F )}

Совокупность сил

( FВ , FА ) образует пару сил. Лемма доказана.

Пара сил и ее свойства.

Пара сил, приложенная к телу, стремится сообщить ему вращательное движение. В отличие от силы пара сил может воздействовать только на тело, а не на материальную точку. Поэтому она не может быть эквивалентна силе. Это независимый объект силового поля. Эффект

вращательного воздействия пары сил определяется расположением плоскости пары, величиной сил, составляющих пару, расстоянием между линиями действия сил пары и направлением вращения. Опыт показывает, что вращающий эффект пары пропорционален произведению величины одной из сил пары на расстояние между силами.

Полной характеристикой вращательного воздействия на тело со стороны пары сил является векторная величина, называемая моментом пары сил

(

) ,

ВА

sin

M В BA

AВ

Замечание.

Векторное произведение BA

F называется моментом

силы F , приложенной

точке

А,

относительно

точки

В.

Используют

и другие обозначения

для

момента вектора силы,

например, momB (F ) BA

F .

Модуль

векторного

произведения

равен

площади

параллелограмма, построенного на соответствующих векторах,

-F`

площадь параллелограмма равна произведению основания его на

высоту, что дает

		М	F	d
Рис. 8.5	Векторная характеристика			действия пары сил полностью
Рис. 8.5	определяется ее вектором–моментом.
	определяется ее вектором–моментом.

Все пары сил, у которых векторы-моменты совпадают, эквивалентны.

Поэтому действие пары на твердое тело не зависит от положения пары в плоскости ее действия и положения самой плоскости. Это означает, что вектор –момент пары сил - ектор свободный. При. этом можно менять плечо пары, величины сил, образующих пару и их направления, но только так, чтобы вектор-момент пары сохранялся неизменным.

	F1
А1	F2
	F2

А2

O Ak

Приведение системы сл к центру.

Пусть имеется система сил F1 , F2 ,..., Fn , действующих не тело в точках A1 , A2 ,..., An ., положения которых определяются векторами, проведенными из центра приведения – точки О.

rk ОАk k 1, 2,..., n

Приведем эту систему к центру, для чего все силы переносим в точку О. Согласно лемме о переносе силы добавляем для сохранения эквивалентности соответствующие парв сил с моментами

М1

F1, М 2

F2 ...,М n

rn Fn ,

Получили систему сил (F1 , F2 ,..., Fn )О , приложенных в точке О, и

Рис.8.6

систему пар сил, определяемых их свободными векторами-

моментами (М1, М 2 ,..., М n ) .

Систему сил

(F1 , F2 ,..., Fn )О , приложенных к телу в точке О ,

можно заменить одной эквивалентной силой R О

, приложенной также в точке О и,

k 1

равной суме этих вектoров , что следует из правила параллелограмма сил .

Систему пар сил, возникающих при переносе сил в точку О и полностью характеризуемую

векторами-моментами

М k

Fk , k 1,2,..., n ,

можно, исходя из свойств пар сил, заменить

одной

эквивалентной

парой,

вектор-момент

которой равен сумме векторов-моментов

МО

Мk

, Это позволяет составить следующие соотношения эквивалентности силовых

систем

( F1 ,F2 ,...,F )

( F1 ,F2 ,...,Fn ,М1 , М2 ,...,Мn )O ( RО ,MО )

где

R О

k 1

МО

rk Fk

Вектор R О

называют главным вектором системы сил, Он \приложен в центре

приведения системы сил – в точке О,.

Вектор М О

называют главным моментом исходной системы сил относительно

точки О.

Обращаем внимание на то, что конкретно выбор центра приведения системы силточки О произволен. Формула () дает значения величины и направления главного вектора системы сил, не зависящие от выбора центра приведения. Это означает, что

главный вектор системы сил инвариантен относительно выбора центра приведения .

Главный момент системы сил существенно зависят от выбра центра приведения, так как выражается через векторы rk

Исследуем влияние изменения центра приведения на главный момент системы сил. Пусть O - новый центр приведения., а rk- соответствующие радиусы –векторы точек Ak

(rk О Аk k 1, 2,...,n) ..

Главный вектор системы сил теперь приложен в точке О и равен

R О

Главный момент системы относительно точки O определяется по формуле

МО

k 1

Из формулы

1,2,...,n

OО

находим

1,2,...,n

OО k

Получаем

что в этом случае равенство () принимает форму

МО

(

OО ) Fk

rk Fk OО

k 1

Учитывая формулы () и (). Имеем

МО

OО

RО

Из или

МО

О O

Если умножить скалярно обе части равенства () на вектор Rо и учесть что (О O R ) R 0 , то

получим

равенство

R М О R М О

свидетельствующее о том, что

скалярное произведение главного вектора и главного момента не зависит от выбора центра приведения и является вторым инвариантом преобрпзования системы сил к центру.

Возможные случаи приведения системы сил к центру

1). R 0 М О 0

В этом сдучае система сил, приложенных к телу эквивалентна нулю, т.е. уравновешена, а тело под ее действием находится в равновесии.

Очевидно, что эти условия являются необходимыми для равновесия тел. Обычно

необходимые условия равновесия	записывают в с такой скалярной форме
Fx	0
Fy	0
Fz	0
M x	0
• M y	0
M z	0

. Эти уравнения служат основой для установления условий равновесия конкретных сооружений при проектировании домов, мостов, подъемных кранов, самолет, кораблей, ракет и т.д и т.п. Здесь стоит отметить, что в случаях, когда сооружение состоит из N твердых тел, то уравнения равновесия составляются для каждого тела с учетом их взаимодействия, что приводит к большим системам алгебраических уравнений (порядка 6N штук) :


. 2)	R 0 , М О 0

В этом случае система сил приводится к равнодействующей, приложенной теу в центре приведения –точке О. Центр приведения не обязательно должен совпадать с началом координат. Очевидно:

МОО O R

составляющую содержание теорема Вариньона:

Теорема Вариньона Если система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно заданной точки равен сумме моментов всех сил системы относительно этой же точки.


3)		R		0 , М О	0 Система сил в этом случае приводиться к паре сил и эта пара сил
может быть приложена где угодно.

4)	R			0 , М О	0 Возможны два варианта:

4а)			R М О 0		главный момент ортогонален главному вектору. Система сил

приводиться к равнодействующей, но она не приложена к точке О. Найдем точку приложения равнодействующей: Обращаемся к равенству ()

МО

OО RО .

О , для которой

Найдем такую точку

М О 0 . Для этого надо решить уравнение :

МО

OО

относительно вектора

OО . Поступим так. Умножим векторно слева обе части этого уравнения

на вектор R :Получим уравнение

0 R МО R (OО R)

которое преобразуется к виду

0 R М

OО R2

R(OО R)

Решением этого уравнения является вектор


	R	МО

OО			R
OО		R2	R
		R2

определяющий семейство точек, образующих прямую линию действия равнодействующей.

4б) 0 R М R М О

Покажем ,что в этом случае система сил также приводиться к динаме.Ось динамы не проходит в общем случае через точку О.(проходит только при равенстве).

МО МО OО R

Ищем точку , Ов которой R || М О. Для этого пишем

R МО R МО R ( OО R )

Так как ищем точки в которых R || М О, то для этих точек равенство можно записать так

0 R МО OОR 2 R ( R OО )

решением этого уравнения является вектор


	R	МO

OО			R
OО		R2	R
		R2

Нашли уравнение оси динамического винта.

Момент пары сил для динамического винта определяется по формуле

М O

МО М

Сложение параллельных сил
				F e o , k = 1,2, …, n . ( e o
. Рассмотрим систему параллельных сил (F , F ,...,F ) , где		F		F e o , k = 1,2, …, n . ( e o	-
1 2	n		к	к

единичный вектор направления сил) Силы приложены соответственно в точках A1 , A2 ,..., An .

Приведем систему к центру О. Для главного вектора и главного момента этой системы справедливы формулы

e o

F , M

(

F ) e o

к к

k´0

Возможны случаи

. 1.

0, M

(

F ) e o

0 Система сил находится в равновесии.

k´0

Fк

M o

(

e o

2..

rк Fк )

k´0

Система сил приводится к равнодействующей, проходящей через иочку О - центр приведения системы сил

F 0, M

(

F ) e o

0 ,

k´0

Система сил приводится к паре сил

F e o

0, M

(

F ) e o

к к

k´0

Система сил приводится к равнодействующей, так как

0 . Найдем точку приложения

Ro M o

этой равнодействующей. Обращаемся формуле ()

МО

МО OО R

Для точки приложения равнодействующей

М О

0 . Поэтому для определения

радиуса-

вектора OО , определяющего положение точки О , в которой приложена равнодействующая,

имеем уравнение

МО OО

которое преобразуем к виду

(

F ) e o

OО F e o

к к

k´0

или

rк Fк


(	k´0	OО ) e o 0
(	n	OО ) e o 0
	n

Fк

k´0

Решением этого уравнения является вектор

rк Fк

OО	k´0	е	o
OО	n	е
	n

Fк

k´0

определяющий линию действия равнодействующей.

Центр параллельных сил

Первое слагаемое в полученной формуле не зависит от направления параллельных сил, а определяется только по положению точек их приложения и величиной силовых напряжений. Эту точку приято называть центром параллельных сил..Равнодействующая параллельных сил вседа проходит чкерез центр параллельных сил.

rк Fк

rk´0

Сn

Fк

			k´0
Из этой формулы следуют			формулы для координат центра параллельных сил
	n			n		n
	xk Fк			yк Fк		zк Fк
xС	k´0		yС	k´0	zС	k´0
xС	n	,	yС	n	zС	n
	Fк	,		Fк		Fк
	Fк			Fк		Fк
	k´0			k´0		k´0

.Приложение формул для параллельных сил в механике.

Центр масс

Рассмотрим вначале абсолютно твердое тело, составленное из n материальных точек с конечными массами, соединенных невесомыми жесткими стержнями и находящихся в поле

			О		0
силы тяжести Земли. В этом случае надо принять F		m g g	О		0	- единичный вектор
силы тяжести Земли. В этом случае надо принять F		m g g		.	g	- единичный вектор
	k	k		.
	k	k
направления силв тяжести

Трехмерные (пространственные ) тела

Формула д ля определения положения центра тяжести, действующих на трехмерное (пространственное) тело, принимает вид

rk mk g

rc k 1 N

mk g

k 1

Или

	n

			rk mk
	k	1
rC	k	1
rC		n

Вэтом случае точку С называют центром масс механической системы., имеющей массу М, величина которой определяется по формуле

Мmk .

k 1

Массы материальных частиц, образующи х тело можно связать с их объемом, используя

понятие объемной плотности материи. Если тело имеет объѐм

, то каждый элемент тела имеет

массу d . В соответствии с формулой (

) можно записать

Центр тяжести объема

В случаях, когда

const , на можно сократить в формуле (

)

Точку С в таком случае называют центром тяжести объема иди проще - центром объема.

Двумерные тела (пластины, оболочки)

Для двумерных тел можно ввести понятие поверхностной плотности тела и определять центр тяжести тонкого тела по формуле

rds

Т		S
	rc
		ds

- поверхностная плотность.

Одномерные тела (канаты, нити, проволока, тонкие стержни)

Если - линейная плотность одномерного тела, то:

rdl

		l
	rc	l
	rc	dl
		dl
		l

Замечание. Центры тяжести реальных тел могут располагаться не только внутри этих тел, но быть и вне их. Например, центр тяжести круглого однородного бублика всегда находится в центре бублика, независимо от того , учитывается, или нет, толщина бублика,

Основы кинетостатики Принцип Д`Aламбера

Исследование механических систем, находящихся в движении, является одной из центральных задач механики.. Уравнения движения материальных точек ( ), образующих эти системы, записать в такой форме

mk wk

Nk k

1, 2,...,n

где Fk - равнодействующая всех активных сил, приложенных к k -ой материальной точке,

N k - равнодействующая всех пассивных сил (реакций связей), приложенных к этой

же

материальной точке.

Этим уравнениям можно придать вид уравнений равновесия

(

)

(

mk wk )

0, k 1, 2,...,n

Векторные величины (

mk wk ) называют силами инерции

соответствующих материальных

точек. Равенства () являются математической основой для

формулирования

принципа

(1743)Даламбера ( 1717 -1783.)

Если ко всей совокупности активных и пассивных сил, действующих

на

механическую систему, добавить силы инерции материальных точек, ее образующих,

то

полученная система сил будет находиться в равновесии.

Иначе говоря,

уравнениям движения механической системы можно придать вид уравнений равновесия, если ко всем силам, действующим на систему добавить силы инерции материальных точек, ее образующих.

Принцип Даламбера широко используется в теории машин и механизмов для теоретического определения динамических усилий, действующих на все элементы машины или механизма во время их работы.

Общие теоремы динамики системы

Придание уравнениям движения механической системы вида уравнений статики позволяет рассматривать равновесие механической системы под действием всех активных, пассивных и инерционных сил., _Здесь можно воспользоваться аксиомой отвердевания и считать, что указанная система сил действует на абсолютно твердое тело, находящееся в равновесии., Только при этом становится обоснованной процедура приведения к центру всей системы перечисленных сил. Удобно эти силы, объединить в три группы: система внешних сил,

система сил инерции {

i n

m w , k

1, 2,...,n }, где

i n

m w , и система внутренних сил

k k

{

ik , k

1, 2,...,n

}. Каждую из этих систем приводим к общему центру О. Имеем

- главный вектор всех внешних сил, действующих на систему.

Оk

k 1

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.09.2019448.54 Кб3Теоритическая характеристика тёмной сенсорной к...docx
#
17.09.201967.58 Кб4теория алгоритмов.doc
#
21.09.20191.3 Mб2Теория ИГА.doc
#
22.11.201988.58 Кб3Теория множеств.doc
#
13.02.201515.31 Кб21Теория отраслевых рынков.docx
#
13.02.20151.55 Mб11ТеорМЕХ3куПМ.pdf
#
26.09.2019284.77 Кб6термех ответы.docx
#
17.07.2019777.22 Кб4Термодинамика.DOC
#
25.04.2019176.37 Кб15Термодинамическая система.docx
#
13.02.201593.18 Кб37Тест для подготовки к зачёту.doc
#
13.09.201932.07 Кб11тест к рейтингу по медиакультуре.docx