LAI1

22

ных из колоды четырех карт; б) количество выпавших гербов при пяти подбрасываниях монеты; в) число деталей первого сорта, оказавшихся среди шести взятых наудачу из ящика; г) число секунд, отсчитанных стрелкой секундомера к моменту его остановки; д) длина растения пшеницы, выросшего на опытном участке. Здесь возможные случайные события являются количествами, числами чего-либо: красных карт, выпавших гербов, деталей первого сорта, отсчитанных секунд, получившихся сантиметров. Такая числовая реализация опыта называется случайной величиной.

Конкретные значения числовой реализации опыта (одна красная карта, три красных карты; два герба, четыре герба; ноль деталей первого сорта, три детали первого сорта) являются случайными событиями. Все попарно несовместные возможные события, имеющие числовой характер, то есть - все возможные конкретные значения числовой реализации опыта называются возможными значениями случайной величины.

§ 8. Дискретная случайная величина. Ряд распределения.

Случайная величина Х называется случайной величиной дискретного типа, если множество всех ее возможных значений есть множество чисел, которые можно записать в виде конечной или бесконечной числовой последовательности:

{x1, x2 , x3,..., x n ,...} . Каждое свое возможное значение x k случайная величина Х

принимает с вероятностью pk = Р(Х= x k ).

Законом распределения дискретной случайной величины Х называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения задают в виде таблицы, называемой рядом распределения. В первой строке ряда распределения выписываются все возможные значения случайной величины, а во второй строке - соответствующие им вероятности.

Возможные значения x k дискретной случайной величины Х, являясь случайными событиями, образуют полную группу событий (ПГС), а потому сумма вероятностей

n,∞

pk всегда равна единице, то есть: å pk = 1.

k = 1

Среди многообразия возможных видов распределений, возникающих при решении практических задач, можно отметить наиболее часто встречающиеся следующие, имеющие свои наименования.

1.Равномерное распределение. Множество возможных значений {x k } случайной

Определяется повторными независимыми испытаниями. Пусть длина серии испытаний равна п, а вероятность появления события в каждом испытании равна р. Случайная величина Х- число наступлений этого события при проведении п испытаний. Множество ее возможных значений состоит из п+1 элементов (k=0,1,2,...,n), а вероят-

ность p k = P(X=x k ) определяется по формуле Бернулли, то есть pk = Cnk pk qn− k .

3. Гипергеометрическое распределение. Определяется проведением безвозвратной неупорядоченной выборки m элементов из имеющихся n элементов. Если имеющие-

ся элементы различаются на n1 элементов одного типа и n 2 элементов другого типа

23

(n1 + n 2 = n), то случайная величина Х - количество элементов первого типа в выборке из m элементов, - принимает значение k с вероятностью

C k C m− k

pk = Р(Х= k)= n1 n2 .

Cnm

4.Распределение Пуассона. (Закон редких событий). Множеством возможных значений случайной величины Х распределенной по закону Пуассона является множество целых неотрицательных чисел. Каждое свое возможное значение k случайная величина Х принимает с вероятностью:

Число λ называется параметром распределения. Закон Пуассона применяется при проведении большой серии (п- велико) повторных независимых испытаний, когда вероятность р появления события А в каждом из них - мала. То есть, для испытаний, в

которых произведение пр=λ есть величина порядка 0,1 ÷ 10. Случайная величина Х принимает свои значения k, где k- число наступлений события А, со значимыми вероятностями при 0≤ k ≤ 3np.

5. Геометрическое распределение. Случайная величина Х - число повторных независимых испытаний проведенных до первого положительного исхода - до первого наступления события А. Множеством возможных значений Х является множество натуральных чисел и

101.Проводятся испытания трех одинаковых приборов на надежность. Вероятность отказа за время испытаний для любого прибора равна р=0,1. Составить закон распределения случайного числа отказавших приборов.

102.Вероятность того, что взятая из партии деталь окажется нестандартной равна 0,2. Наудачу отобраны четыре детали. Написать закон распределения: а) случайного числа нестандартных деталей среди четырех отобранных; б) случайного числа стандартных деталей среди четырех отобранных. Построить многоугольники распределения.

103.В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу проверяется три детали. Составить закон распределения случайного числа стандартных деталей среди проверенных, если каждая деталь после проверки: а) возвращается в партию; б) не возвращается в партию.

104.В коробке находятся семь новых и три старых теннисных мяча. Для игры случайным образом выбираются пять мячей. Построить ряды распределения случайного числа: а) новых мячей; б) старых мячей, оказавшихся среди взятых мячей.

24

105.Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле равна р=0,8. Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не промахнется. Требуется: а) составить ряд распределения дискретной случайной величины Х- числа патронов, выданных стрелку; б) найти наивероятнейшее число выданных патронов.

106.Из семи чисел, стоящих подряд в натуральном ряду, наудачу выбирается одно число. Пусть Х- случайная величинаостаток от деления выбранного числа на семь. Построить ряд распределения случайной величины Х.

107. В связке находятся семь ключей, один из которых подходит к замку. Проводятся пробы ключей до тех пор, пока замок не будет открыт. Для случайного числа сделанных проб построить ряд распределения, если: а) неподошедший ключ в связку не возвращается; б) неподошедший ключ возвращается в связку перед следующей пробой.

108. Из двух орудий поочередно ведется стрельба по одной цели до первого попадания одним из орудий. Вероятность попадания в цель первым орудием равна p1 = 0,6, вторым - p2 = 0,8 . Начинает стрельбу первое орудие. Составить законы распределения случайных величин X, Y и Z - количества сделанных выстрелов соответственно первым, вторым орудием и двумя орудиями вместе.

109.Две игральных кости одновременно подбрасывают четыре раза. Написать закон распределения случайной величины Х- число подбрасываний, при которых на обеих костях будут четные количества очков.

110.На двадцати одинаковых карточках написаны числа от 1 до 20. Наудачу выбираются пять карточек. Постройте ряды распределения случайного числа выбранных карточек, написанные числа на которых: а) делятся или на два, или на три; б) делятся и на два, и на три.

111.В лотерее разыгрывается один выигрыш в 100 рублей, три выигрыша по 25 рублей и шесть - по 10 рублей. Выпущено 100 билетов. Составить ряд распределения случайной величины Х - сумма выигрыша, если приобретается: а) один лотерейный билет; б) два лотерейных билета.

112.В лотерее на каждые 100 билетов разыгрывается один выигрыш в 100 рублей, три выигрыша по двадцать пять рублей и шесть выигрышей по 10 рублей. Выпущено 1000000 билетов лотереи. Составить ряд

25

распределения случайной величины Х - сумма выигрыша, если приобретается : а) один лотерейный билет; б) два лотерейных билета.

113. Устройство состоит из п = 1000 элементов, отказ каждого из них может случится независимо от других элементов. Вероятность отказа любого из элементов в течение некоторого времени Т равна р=0,002. Найти вероятности того, что за время Т откажут: а) ровно три элемента; б) не менее трех элементов.

100 000 экземпляров. Вероятность того, что каждый конкретный экземпляр сброшюрован неправильно равна р=0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит: а) ровно пять бракованных экземпляров; б) не более пяти бракованных экземпляров.

115. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной равна 0,01. Найти вероятности того, что среди 200 изготовленных деталей окажется: а) ровно две; б) ровно четыре; в) не более двух; г) не более четырех; д) не менее четырех бракованных.

116. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятности того, что в пути будет повреждено: а) ровно три; б) менее трех; в) не менее трех; г) более трех; д) хотя бы одно изделие.

117. Стрелок стреляет до первого попадания или пока у него не кончатся патроны. Для случайного числа сделанных выстрелов построить ряд распределения, если у стрелка имеется пять патронов, а вероятность попадания при одном выстреле у него равна р= 0,7.

118. В ящике среди 10 деталей имеется 6 хороших. Сборщик наудачу берет детали до тех пор, пока не появится хорошая деталь, но может сделать не более трех извлечений. Для случайного числа сделанных извлечений построить ряд распределения. Построить ряд распределения для случайного числа извлеченных бракованных деталей. Рассмотреть два случая: а) извлеченная бракованная деталь каждый раз возвращается в ящик перед следующим извлечением; б) извлеченная бракованная деталь каждый раз не возвращается в ящик.

ному лотерейному билету равна р=0,01. Сколько нужно купить билетов, чтобы с уверенностью не меньшей, чем Р=0,95 ожидать, что выиграет хотя бы один билет?

120. Количества белых и черных шаров в урне находятся в отношении 3:1. Сколько нужно сделать извлечений по одному шару с возвращением каждый раз извлеченного шара обратно в урну, чтобы с уверенностью не меньшей, чем 0,99 утверждать, что: а) белый шар; б) черный шар появится хотя бы один раз?

§ 9. Числовые характеристики дискретной случайной величины.

Математическим ожиданием МХ дискретной случайной величины Х называется сумма произведений ее возможных значений х k (k=1,2,3,...,n или ∞ ) и их вероятно-

n,∞

стей р k : МХ= å x k pk .

k = 1

Если множество { х k } значений Х счетно (k=1,2,..... ∞ ),- то математическое ожида-

ние существует, если ряд сходится абсолютно.

Математическое ожидание является средним значением случайной величины Х. Если распределение вероятностей { р k } дискретной случайной величины Х по ее возможным значениям { х k } рассматривать как распределение единичной массы по точкам х k числовой оси, то математическое ожидание можно интерпретировать как

координату центра тяжести этой единичной массы.

1. Математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины рав-

Вчастности, если расстояния между соседними значениями Х одинаковы, то есть

хk + 1 - х k = с, для всех k=1,2,...,n-1, то МХ равно полусумме ее минимального и мак-

симального значений.

2. Математическое ожидание биномиального распределения равно: МХ=пр.

3. Математическое ожидание гипергеометрического распределения равно: МХ= n1 n × m .

4.Математическое ожидание распределения Пуассона равно: МХ=λ.

5.Математическое ожидание геометрического распределения равно: МХ= 1 p.

Дисперсией DX случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

DX=М[ Х- МХ ] 2 .

Дисперсия является мерой разброса, рассеивания возможных значений случайной величины около ее математического ожидания. При вычислении значения дисперсии

27

удобнее пользоваться формулой: DX=МХ 2 - М 2 Х, где для дискретной случайной

n,∞

величины: МХ 2 = å x k2 pk .

k = 1

Средним квадратическим отклонением σ случайной величины Х называется ариф-

метический корень из дисперсии. Среднее квадратическое отклонение σ имеет размерность совпадающую с размерностью случайной величины Х и с размерностью математического ожидания МХ.

121. Игральная кость бросается один раз. Определить математическое ожидание и дисперсию случайного числа очков, выпавших на верхней грани игральной кости.

верхней грани кости. Определите математическое ожидание величины полученного приза, если игральная кость подбрасывается: а) один раз; б) два раза; в) п раз.

123. Организаторы лотереи планируют выпустить 100 билетов, из которых один будет выигрывать 100 рублей, два билета будут выигрывать по двадцать рублей каждый и шесть билетов будут выигрывать по10 рублей. Какой должна быть назначена цена одного лотерейного билета, если организаторы лотереи хотят иметь доход от проведения лотереи равный 30% стоимости всех проданных билетов.

124. Подбросив игральную кость игрок выигрывает 2 рубля, если число выпавших очков будет четным, и выигрывает 3 рубля, если число выпавших очков будет кратно трем. Определите математическое ожидание выигрыша при одном подбрасывании игральной кости.

125. Из урны, содержащей 8 белых и 2 черных шара, наудачу извлекаются четыре шара. Найти математическое ожидание числа появившихся черных шаров, если: а) шары извлекаются без возвращения; б) шары извлекаются с возвращением.

126. Определить математическое ожидание и дисперсию числа выпадений шести очков на верхней грани игральной кости, которая подбрасывается: а) один раз; б) два раза; в) шесть раз.

шень при одном выстреле для данного стрелка равна р=0,125. Какой должна быть длина серии производимых выстрелов, чтобы среднее число попаданий в мишень было равно единице?

128. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: x1 = − 1; x2 = 0; x3 = 1, а также известны математическое ожидание МХ=0,1 и дисперсия DX=0,49. Найти вероятности p1, p2, p3 , соответствующие возможным значениям случайной величины Х.

129. Случайная величина Х принимает три значения: x1 = 4 с вероятно-

талей, имеется три бракованных детали. Наудачу проверяются две детали. Сравнить дисперсии случайных величин Х и Y, где Х - число бракованных деталей среди двух отобранных наудачу и Y - число бракованных деталей среди двух проверенных, если первая деталь после проверки была сразу возвращена обратно в партию.

131. Вероятность попадания при одном выстреле для данного стрелка равна р= 45 . Стрелок стреляет до первого попадания или пока у него есть патроны. Определить математическое ожидание числа сделанных выстрелов, если: а) стрелок имеет два, три, четыре патрона; б) число патронов - неограниченно.

132. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь - бракованная q= 751 . Переналадка станка производится после появления первой бракованной детали. Построить ряды распределения случайных величин: Х - число деталей, изготовленных между двумя переналадками, и Y - число доброкачественных деталей, изготовленных между двумя переналадками. Определить математические ожидания этих случайных величин. Известно, что в среднем за одну рабочую смену слесарь производит пять переналадок станка. Определите математическое ожидание числа доброкачественных деталей, изготовляемых за одну рабочую смену.

133. В связке имеется семь ключей, из которых только один подходит к данному замку. Проводятся пробы

29

наудачу взятого ключа до тех пор, пока замок не будет открыт. Определить математическое числа сделанных проб, если ключ, который не подошел, обратно в связку: а) не возвращается; б) возвращается.

134. Мишень состоит из трех концентрических кругов. Попадание в центральный круг стоит 6 очков, в среднее кольцо - 3 очка, в крайнее кольцо - 2 очка и вне кругов - 0 очков. Вероятность попадания в центральный круг для данного стрелка равна 0,1; в среднее кольцо - 0,2. Вероятность вообще не попасть в мишень равна 0,4. Найти математическое ожидание числа очков, выбитых при пяти выстрелах.

135. Игрок подбрасывает игральную кость до тех пор, пока на верхней грани не появится число очков кратное трем. При выпадении числа очков кратного трем он получает

выигрыш равный ( 32 ) k рублей; где k - число подбрасываний. Определить математическое ожидание выигрыша.

136. Найти дисперсию случайной величины Х - число наступлений некоторого события в трех независимых испытаниях, если вероятности появления этого события в каждом испытании одинаковы и известно, что МХ=1,2.

137. Найти вероятность появления события в каждом из одинаковых независимых испытаний, если известно, что дисперсия числа появлений события в пяти испытаниях равна 0,8.

138. Многократное проведение одинаковых серий по шесть независимых испытаний позволяет считать, что в каждой серии событие А появляется с вероятностью Р= 24380 . Чему равно математическое ожидание числа появлений события в серии из шести независимых испытаний?

139. Производятся независимые испытания трех приборов. Вероятности отказов приборов соответствен-

из трех элементов. Вероятность отказа для элемента с номером i равна

30

pi = 0,2 + 01,(i - 1). Определить математическое ожидание и дисперсию числа отказавших элементов, если отказы элементов независимы.

§ 10. Непрерывная случайная величина. Плотность вероятности.

Случайная величина Х называется случайной величиной непрерывного типа, если множеством всех ее возможных значений W является множество всех чисел или интервала ( a;b ), или сегмента [ a;b ], или полусегмента [a;b ), ( a;b ], или системы ин-

тервалов, сегментов и т.п., причем может быть: a=-¥ или b=+¥. Закон распределения непрерывной случайной величины Х определяется заданием множества ее возмож-

ных значений W и определением на этом множестве кусочно-непрерывной неотрицательной функции p(x), называемой плотностью вероятности. При этом всегда выполняется:

ò p(x)dx = 1.

Ω

Вероятность случайного события А= {a< Х <b} -«непрерывная случайная величина Х приняла значение, принадлежащее интервалу (a;b)», определяется равенством:

личина Х задана плотностью распределения p(x) = 32 sin 3x в интервале (0;π 3) ; вне этого интервала - р(х)=0. Построить график плотности вероятности. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (π 6 ;π 4).

142. Функция р(х) задана следующим образом:

При каком значении параметра а эта функция будет плотностью вероятности некоторой непрерывной случайной величины Х ? Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (43 ; 83).

143. Случайная величина Х распределена равномерно на сегменте [ 16 ;116 ]. Запишите вид плотности вероятности р(х). Одинаково ли часто встречаются значения случайной величины, принадлежащие интервалам ( 13 ; 12 ); ( 56 ;1) и ( 43 ; 53 ) ? Сделать схематический чертеж.

144. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задана на всей числовой оси равен-

ством p(x) = 1+ cx 2 . Найти значение параметра с. Найти вероятности вы-