Максимов1111
.pdf
|
|
|
PL |
|
|
|
|
|
|
условие минимизации издержек: |
f L |
|
или |
f L |
|
f K |
. В данном случае бу- |
||
|
PK |
PL |
PK |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
f K |
|
|
|
|
дут минимальными средние общие издержки фирмы, так как при заданном объеме использованных ресурсов в денежной форме получен максимально возможный объем выпуска.
3.8. Производство с двумя переменными факторами.
Теорию фирмы можно изложить либо с помощью предельных категорий (классический подход), либо с помощью линейного программирования. Эти подходы являются взаимодополняющими.
Используя предельные категории, рассмотрим деятельность фирмы в коротком периоде, когда ее организационная структура остается стабильной. Производится один продукт с помощью двух факторов, производственная функция Q f L, K . В условиях чистой конкуренции фирма покупает факторы производства по ценам PL и PK , и продает продукт по цене P . Задача состоит в том, чтобы найти такую комбинацию L и K , при которой получают максимум прибыли:
Pf (L, K) (PL L РК K)
Необходимое условие максимума прибыли - равенство первых частных
производных нулю: / L Pf |
' |
P / K Pf ' |
P 0 . Отсюда находим: |
|||||
|
|
|
L |
L |
|
K |
K |
|
Pf ' |
P ; |
Pf ' |
P . |
|
|
|
(3.3) |
|
L |
L |
K |
K |
|
|
|
|
|
В полученных условиях |
|
MRP Pf ' |
представляет предельный продукт |
|||||
|
|
|
|
|
L |
L |
|
|
труда, а |
MRP |
Pf ' |
- предельный продукт капитала в денежной форме. Из |
|||||
|
K |
K |
|
|
|
|
|
|
условий максимизации прибыли следует, что фирма увеличивает объем производства до тех пор, пока предельный продукт каждого фактора в денежной форме станет равным цене соответствующего фактора, т.е. предельным издержкам на ресурс. Последние равны цене соответствующего ресурса.
Из уравнений (3.3) |
определяем расходуемые количества L и K как |
|||||||||||
функции цен PL , PK |
и P . Запишем необходимое условие максимума прибыли |
|||||||||||
в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ' |
|
f ' |
|
1 |
|
|
f ' |
|
|
P |
|
|
L |
K |
|
или |
L |
|
L |
. |
||||
|
|
|
|
f ' |
|
|||||||
|
P |
|
P |
|
P |
|
|
|
|
P |
||
|
L |
|
K |
|
|
|
|
K |
|
|
K |
Оно означает, что для достижения максимума прибыли необходимо, чтобы предельная норма технологического замещения факторов MRTS была равна заданному соотношению их цен.
Достаточное условие максимизации прибыли заключается в том, что
для любого отклонения, |
при котором d f L' |
dL f K' dK 0 |
(или f L' f K' 0 ) |
дифференциал второго порядка d 2 0 . |
|
|
|
d 2 Р( f '2' dL2 2 f LK'' dLdK f '' 2 dK 2 ) 0. |
(3.4) |
|
|
L |
K |
|
|
Положение фирмы, характеризуемое уравнениями (3.3) и (3.4), дости- |
|||
гается в два этапа. Во-первых, если наряду с ценами PL |
и PK задан объем |
33
выпуска
мы, тогда величины затрачиваемых факторов L и K определяются таким об-
разом, чтобы минимизировать издержки производства C PL L РК K при |
|
условии Q f L, K . |
|
Решение может быть таким. Из Q f L, K выразим L как функцию K |
|
и заданного Q . Тогда L (Q, K) . Подставляем L в функцию издержек C , и |
|
она становится функцией от одной переменной K , |
т.е. C PL (Q, K) PK K . |
Приравниваем к нулю первую производную dC / dK 0 |
и находим K. Убедим- |
ся, что найденное K действительно является минимальной величиной затрат |
|
капитала. Зная K , из Q f L, K находим L . Но этот метод не всегда приме- |
ним. Не всегда бывает легко с помощью производственной функции выразить одну переменную через другую, например L через K . В таких случаях пользуются методом множителей Лагранжа.
Запишем условия максимизации прибыли, если продукт реализуется на рынке несовершенной конкуренции. Заданы функции предложения ресурсов и спроса на продукцию фирмы.
Функция спроса имеет однородную форму Q BP e , где B const , P - цена продукта, e - ценовая эластичность спроса. Если e 0 , то цена продукта становится постоянной величиной и имеем условия совершенной конкуренции. Обратная функция спроса P bQ1 / e , где b B 1 / e const . Валовой доход фирмы TR PQ bQ1 1 / e . Если e 1, то валовой доход является постоянным, не зависящим от P и Q . Это значит, что объем производства является зара-
нее заданной величиной |
Q0 , а, следовательно, и |
цена |
P в |
выражении |
||||||||
( P bQ1 / e ) также постоянна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Функции предложения труда L B e1 , капитала |
K B |
r e2 |
также одно- |
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
родны, B1 const и |
B2 const , e1 и e2 |
- эластичности предложения факторов |
||||||||||
производства, и r , соответственно, |
ставка заработной платы и процент на |
|||||||||||
единицу капитала. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим и r , |
соответствующие предложению труда и капитала |
|||||||||||
при названных условиях. |
Тогда b L1 / e1 , r b K 1 / e2 , |
где |
b |
B 1 / e1 , b |
B 1 / e2 . |
|||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
1 |
2 |
2 |
Затраты труда и капитала равны: L b L1 1 / e1 , rK b K 1 1 / e2 . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Запишем функцию Лагранжа для экономической прибыли: |
|
|
||||||||||
TR TC [ f (L, K ) Q], |
|
|
- |
|
|
|
|
|
||||
bQ1 1 / e b L1 1 / e1 |
b K 1 1 / e2 [ f (L, K ) Q] , |
где |
множитель Лагран- |
|||||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
жа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Необходимые условия максимизации прибыли: |
|
|
|
|
|
|
||||||
/ L b (1 1/ e )L1 / e1 f 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
1 |
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ K b (1 1/ e |
2 |
)K 1 / e2 f 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ f (L, K ) Q 0
/ Q b(1 1/ e)Q1 / e 0
Последнее уравнение добавляется, если является переменной вели-
34
чиной. Из системы уравнений находим:
|
|
|
|
|
|
|
b(1 1/ e)Q |
1/ e |
, |
(1 1/ e1 ) f L |
|
, r(1 |
1/ e2 ) f K . |
|
|
|||||
Если e 1, то b(1 1/ e)Q1/ e |
(1 1/ e)P, Q f (L, K) |
|||||
Если e , то P,Q0 f (L, K). |
|
Определим факторные цены в условиях несовершенной конкуренции:
|
|
|
|
|
|
|
(1 1/ e)Pf L |
, r |
(1 1/ e)Pf K |
||
(1 1/ e ) |
1 1/ e |
2 |
|||
|
|
||||
|
1 |
|
|
Полученные выражения отражают характер зависимости заработной платы и ставки процента от рыночных параметров – цены товара, ценовой эластичности спроса на товар, ценовой эластичности предложения труда и капитала, а также предельной производительности труда и капитала. Решая систему уравнений, представляющую необходимое условие максимизации прибыли, находим значения L , K , и Q .
Достаточное условие максимизации прибыли d 2 <0. Если оно выполняется при найденных значениях L , K , и Q , то фирма получает максимальную прибыль.
Задания для практических занятий
1.Определить отдачу от масштаба для следующих производственных
функций: Q 2L0,78 K 0,22 ,Q L 5K,Q (LK )1,4 , Q L1,5 K 2 ,Q 4L1,4 K 0,8 .
2.Выпуск продукта задается формулой Q 2 / 3(x x2 ) , где x - коли-
чество единственного используемого ресурса. Определить предельный продукт ресурса для x 4 .
3. Дана производственная функция Q 2L0,5 K 0,5 . Найти предельный
продукт труда MPL |
(предельную производительность труда |
fL ), предельный |
|
продукт капитала |
MPK (предельную производительность капитала |
fL ) при |
|
L 4, K 9 . Определите предельную норму замещения |
капитала |
трудом |
( MRTS ) при расходе ресурсов L 3, K 7 .
4.Какого типа производственная функция характеризует производственный процесс, в котором эластичность замещения факторов производства неизменна?
5.Определить эластичность замены одного фактора производства другим для производственных функций: Q 10K 0,5 L0,5 ,Q K 0,75L0,25 ,Q 2K L .
6.Технология производства продукта в 2000 году воплощалась в производственной функции Q K 0,5 L0,5 , в 2001 году – в функции Q K 1 / 3 L1 / 4 .
Как следует охарактеризовать технический прогресс в таком случае? При
L K и |
L K ? При K L и L K ? |
7. |
Траектория увеличения выпуска стала более крутой. Причиной |
этого может быть - технический прогресс, расходующий капитал и экономящий труд;
35
-повышение цены капитала, так как потребление капитала увеличи-
вается;
-повышение цены труда, так как труд замещается капиталом.
8.Если в результате технологических нововведений выпуск при
неизменном количестве ресурсов возрастает, |
|
и |
|
снижаются, причем |
|
||
f K |
f L |
f L |
|||||
снижается быстрее, чем |
|
, то |
|
|
|
|
|
f K |
|
|
|
|
|
-нововведения технически неэффективны;
-средний продукт труда снижается;
-средний продукт капитала снижается;
-имеет место капиталоинтенсивный технический прогресс. Какое утверждение верно?
9. Компания использует только эффективные способы производства. Недавно она внесла изменения в процесс производства, в результате которых MRTSLK увеличилась, хотя выпуск не изменился. Это означает, что капиталоемкость производства понизилась, возросла, не изменилась; могла снизиться, могла возрасти, но изменилась; капиталоемкость продукции K / Q понизилась. Найдите верный ответ.
10.Наборы ресурсов (11,6), (8,8) имеют стоимость 40 руб. каждый. Определить цены труда PL , капитала PK и наклон изокосты.
11.Дано: производственная функция фирмы Q L0,8 K 0,2 , издержки составляют C 30 руб., цена труда PL 4 руб., цена капитала PK 5 руб. Найти
равновесный набор ресурсов, при котором издержки фирмы на единицу продукции минимальны.
12. Производственная функция фирмы Q (L a)(K b) . Цена трудаa , цена капитала r b , цена продукта p . Определить значения L и K , при которых прибыль фирмы максимальна.
Контрольные вопросы
1.Охарактеризуйте зависимость, выражаемую производственной функцией, и поясните экономический смысл ее параметров.
2.Как отражается отдача от масштаба на величине издержек фирмы?
3.Объясните взаимосвязь общего, среднего и предельного продукта
фирмы.
4.Каков экономический смысл предельной производительности труда
икапитала?
5.Объясните механизм замещения одного фактора производства дру-
гим.
6.Как используется изменение предельной нормы замещения факторов производства в принятии решений фирмой по замещению факторов?
7.Покажите связь между объемом выпуска, капиталоемкостью технологии и предельными продуктами труда и капитала.
8.Какое влияние оказывает эластичность замещения факторов производства на выпуск фирмы?
36
9. Какие значения принимают параметры технического прогресса в случае факторов – совершенных заменителей, совершенных комплементов?
10.Объясните, почему изокванта выпукла относительно начала коорди-
нат.
11.Используя изокосту и изокванту, выведите условие минимизации издержек.
12. Выведите аналитически и поясните экономический смысл необходимого и достаточного условий максимизации прибыли.
13.Используя необходимые условия максимизации прибыли, покажите зависимость факторных цен от параметров рынка (цены продукта. ценовой эластичности спроса и т.п.)
Литература
1.Вэриан Х.Р. Микроэкономика: промежуточный уровень. М.
ЮНИТИ. 1997. Гл. 17, 18.
2.Гальперин В.М., Игнатьев С.М., Моргунов В.И. Микроэкономика. С-Пб. Экономическая школа. Т.1-2. 1998. Гл. 7. С. 266-307
3.Германова О.Е. Производственные функции: содержание и использование. Ростов-н/Д. 1994.
4.Нуреев Р.М. Курс микроэкономики. М.: НОРМА. 2007. Гл.5 С.
158-182
5.Розанова Н.М. Микроэкономика –2. Учебно-методическое пособие для самостоятельной работы. М. ТЕИС. 1998
6.Чеканский А.Н., Фролова Н.Л. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Учебник. – М.: ИНФРА-М, 2005. Гл. 8. С. 157-181
37
4. ИЗДЕРЖКИ ФИРМЫ: ПОСТОЯННЫЕ И ПЕРЕМЕННЫЕ, ВАЛОВЫЕ И СРЕДНИЕ, ПРЕДЕЛЬНЫЕ
Издержки фирмы анализируют в краткосрочном и долговременном периодах. Краткосрочный (или короткий) период – это отрезок времени, в течение которого одни факторы производства являются постоянными, например капитал, а другие переменными. Долгосрочный (длительный) период – это отрезок времени, в течение которого все факторы производства являются переменными.
4.1. Издержки производства в краткосрочном периоде.
Постоянные издержки FC (Fixed Cost) имеют место в краткосрочном периоде, Их величина остается постоянной, не изменяется с увеличением или сокращением объема производства. К ним относятся, например, амортизационные отчисления, характеризующие износ зданий, сооружений, машин и производственного оборудования, арендная плата, расходы на содержание административного аппарата и др.
Величина переменных издержек VC (Variable Cost) изменяется с увеличением или сокращением объема производства. К ним относятся затраты на сырье, электроэнергию, вспомогательные материалы, оплату труда и др.
Общие (валовые) издержки (ТС или С - Total Cost) равны сумме постоянных и переменных издержек фирмы на производство продукции в кратко-
срочном периоде. |
Таким образом, |
TC FC VC . Общие издержки являются |
функцией, зависящей от объема выпускаемой продукции: |
||
ТС f Q k . |
|
|
Величина |
k представляет |
постоянные издержки. Например, |
ТС 50 120Q Q2 Q3 , где FС k 50 , а VС f Q 120Q Q2 Q3 .
C |
|
TC |
TC |
A |
VC |
|
FC
β
0
B Q
Рис. 20. Общие, постоянные и переменные издержки.
Кривыt постоянных, переменных и общих издержек можно построить,
38
используя данные конкретной фирмы. В учебных целях используют классические кривые, графически представляющие издержки типичной фирмы. Кривыt постоянных, переменных и общих издержек можно построить, используя данные конкретной фирмы. В учебных целях используют классические кривые, графически представляющие издержки типичной фирмы.
Кривую общих издержек можно построить суммированием кривых постоянных и переменных издержек (рис. 20).Средние общие издержки ( ATC или AC - Average Total Cost) представляют собой издержки на единицу про-
дукции: ATC TC FC VC AFC AVC , где Q Q
AFС (Average Fixed Cost) - средние постоянные издержки; AVС (Average Variable Cost) - средние переменные издержки.
C
ATC
AVC
AFC
0
Q
Рис. 21. Кривые средних общих, средних переменных и средних постоянных издержек.
Форма кривой ATC определяется формой кривой ТС . Построим кривую ATC на основе ТС . На рисунке 20 отрезок AB измеряет величину TC в точке A . Отрезок 0B отмечает соответствующий TC объем производства
ATC 0ABB TCQ tg . С помощью тангенса изменяющегося угла при пере-
мещении точки A вверх по кривой на рис. 20 построим кривую же образом можно построить кривые AVC и AFC .
Предельные издержки ( МC - Marginal Cost) представляют собой издержки на производство еще одной дополнительной единицы продукции. Это самое простое определение предельных издержек.
Если выпуск увеличивается на величину Q , то издержки производства
увеличиваются на величину TC . Тогда выпуск равен |
Q Q , а |
|
TC TC f Q Q k , |
TC f Q Q k TC f Q Q f Q . |
В таком |
случае МC на дуге измеряют отношением приращения валовых издержек к вызвавшему их приращению выпуска:
MC TC .
Q
Если объем производства увеличивается на бесконечно малую величи-
39
ну, тогда предельные издержки измеряют в точке для заданной единицы про-
дукта первой простой производной функции валовых издержек по перемен- |
||||||||
ной - объему выпуска: |
MC lim Q 0 |
TC |
lim Q 0 |
f Q Q f Q |
|
dTC |
||
Q |
Q |
|
|
|
||||
f Q |
dQ |
Предельные издержки измеряют наклон кривой валовых издержек на дуге или в точке.
Например: ТС 50 120Q Q2 Q3 , тогда MС dTCdQ 120 2Q 3Q 2 .
Если известна функция МC , то можно найти первообразную функцию
TC :
TC MCdQ f Q dQ f Q k , где k const .
Если Q 0 , то валовые издержки фирмы равны общим постоянным издержкам.
Рассмотрим взаимосвязь между средними валовыми ATC и предельными издержками МC .
|
Так |
как |
ATC |
TC |
, |
то |
TC ATC Q . |
По |
определению |
||
|
Q |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dTC |
d ( ATC Q) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MC |
dQ |
|
|
|
|
. |
В точке минимума |
или максимума |
|||
dQ |
ATC Q ATC |
функции ее производная равна нулю: ATC 0 в точке минимума ATC , т.е.
MC ATC Q ATC ATC 0 ATC .
Кривая МC пересекает кривую ATC в точке ее минимума:
если |
ATC 0 , то MC ATC и, следовательно, ATC убывают; |
если |
ATC 0 , то MC ATC и ATC возрастают. |
C |
MC |
ATC
ATCmin
ATC′<0 ATC′>0
AVC
0
Q
Рис. 22. Взаимосвязь кривых предельных и средних издержек.
|
Предельные |
издержки можно представить следующим образом: |
|||||||
MC |
dTC |
|
dVC |
|
dFC |
|
dVC |
, так как производная от постоянных издержек |
|
dQ |
dQ |
|
dQ |
||||||
|
|
|
|
dQ |
|
|
равна нулю dFCdQ 0 . Это позволяет сделать вывод о том, что постоянные из-
держки не оказывают влияния на величину предельных издержек.
40
В краткосрочном периоде MC dVCdQ . Рассуждая аналогично, как в слу-
чае с валовыми издержками, приходим к выводу, что кривая MC пресекает кривую AVC также в точке ее минимального значения..
Если известны предельные издержки производства каждой единицы продукции MC, MC2 ,..., MCQ , то легко определить валовые издержки:
Q
TC MCi .
i 1
Если MC const , то валовые издержки увеличиваются на одну и ту же величину равную MC , при росте объема производства.
4.2. Издержки производства в долгосрочном периоде.
Кривая общих издержек в долгосрочном периоде LTC выходит из начала координат, так как в долгосрочном периоде все издержки являются переменными. Кривая LTC огибает множество кривых TCi в коротких перио-
дах и имеет одну общую точку с каждой из этих кривых (рис. 23)
C
|
LTC |
TC2 |
TC3 |
|
|
TC1 |
|
0 |
Q |
|
Рис. 23. Кривая общих издержек в долгосрочном периоде.
По форме кривой LTC можно построить кривую средних валовых издержек в долгосрочном периоде LATC . Кривая LATC строится аналогично тому, как мы это делали в краткосрочном периоде для кривой ATC (рис. 24).
Если выпуск и общие издержки в долгосрочном периоде растут одинаковыми темпами, то LATC остаются постоянными, и в интервале от Q1 до Q2 кривая LTC - прямая линия с положительным наклоном, а кривая средних валовых издержек - горизонтальная линия (рис.24).
На отрезке 0Q1 выпуск растет быстрее валовых издержек LTC и средние издержки LATC снижаются.
Если Q Q2 , то валовые издержки LTC растут быстрее выпуска и ATC увеличиваются. В точке R средние издержки в коротком и долговременном периодах равны, и кривая ATC касается в этой точке кривой LATC . Так как для любого другого значения выпуска кривая TC расположена выше
LTC , то ATC больше LATC .
41
C |
|
|
|
|
LTC |
TC |
|
|
R |
|
|
0 |
|
|
Q1 |
Q2 |
Q |
C |
|
|
MC |
|
LMC |
|
MC |
|
ATC |
ATC |
LATC |
LMС |
|
|
R′ |
|
|
0 |
|
|
Q1 |
Q2 |
Q |
Рис. 24. Кривые общих и средних валовых издержек в долгосрочном периоде.
В точке касания TC и LTC предельные издержки в краткосрочном MC и долговременном периодах LMC равны.
C
|
LMC |
R |
LATC |
|
|
A |
B |
R′ |
|
0
Q
Рис. 25. Кривые средних и предельных издержек в долгосрочном периоде
Различие в значениях LMC и LATC слева от точки A (рис. 25) по мере приближения к точке R уменьшается. Это значит, что TC здесь имеет меньший наклон, чем LTC . Следовательно, левее точки R MC LMC . Обратная картина представлена на отрезках кривых правее точки B , где LTC характеризуется убывающей отдачей. На отрезке AB кривые LATC и LMC совпадают.
Если же отрезок AB представляет собой точку, то неизменная отдача от масштаба существует только в одной точке LTC . В этой точке минимальная величина ATC в долгосрочном и краткосрочном периодах одна и та же, а
42