de1

Такие ряды называются обобщенными степенными рядами. В общем случае такой ряд имеет вид

∞

X

Из аналитической теории дифференциальных уравнений следует, что для того, чтобы хотя бы одно частное решение уравнения (3.1.1) имело бы вид (3.1.3), достаточно, чтобы (3.1.1) имело бы вид

гда можно добиться переносом начала координат в особую точку). Тогда

111

Приравнивая последовательно нулю коэффициенты при всех степенях x, приходим к системе

[ρ(ρ − 1) + p0ρ + q0]c0 = 0,

[(ρ + k)(ρ + k − 1) + p0(ρ + k) + q0]ck+

k−1

X

+ [pk−n(ρ + n) + qk−n]cn = 0, k = 1, 2, . . . .

n=0

(3.1.6) Так как по исходному предположению c0 =6 0, из первого уравнения следует

Это уравнение называется определяющим, оно задает два значения ρ. A. Пусть ρ1 и ρ2 вещественны и различны. Без ограничения общности можно считать, что ρ1 > ρ2. Тогда “старшему” корню всегда соответствует решение в виде обобщенного степенного ряда, так как коэффи-

циенты при всех ck – величины

(ρ1 + k)(ρ1 + k − 1) + p0(ρ1 + k) + q0

отличны от нуля, и система (3.1.6) всегда имеет ненулевое решение (ρ1+ +k не является корнем, так как ρ2 < ρ1).

1. Если разность ρ1 − ρ2 не является целым (положительным) числом, существует решение в виде обобщенного степенного ряда, соответствующего второму значению ρ2, так как (ρ2 + k)(ρ2 + k − 1)+

+p0(ρ2 + k) + q0 =6 0 (ρ2 + k =6 ρ1). В этом случае мы находим оба фундаментальных решения исходного уравнения.

2. Если разность ρ1 − ρ2 = s > 0 – целое число, то в общем случае существование второго решения вида (3.1.3) не гарантируется, так как коэффициент при cs равен нулю. Анализ этого случая мы продолжим в п. C.

B. Если ρ1 и ρ2 различны, но комплексны, то существуют решения вида (3.1.3) для обоих корней, при это под множителем x понимается

выражение

xa±bi = xa [cos(b ln x) + i sin(b ln x)] .

Разделяя в решении вещественную и мнимую части, находим два линейно независимых решения исходного уравнения.

C. Пусть ρ1 = ρ2, т. е. корни кратные. В этом случае, как и при s целом, мы получаем только один обобщенный степенной ряд. Пусть он имеет вид y1 = xρ1 P1(x), где P1 – ряд Тейлора с ненулевым свободным

112

членом. Рассматривая y1 в качестве известного частного решения исходного уравнения, найдем аналитическую форму второго частного решения согласно разделу 2.6, п. 2:

Z Z

y2 = y1 y1−2 exp − p(x) dx dx, (3.1.8)

∞

X

где p(x) = pkxk−1.

k=0

В дальнейшем мы будем рассматривать случай A.2, так как случай C в нем содержится (при s = 0), а также выделять, не конкретизируя структуру, некоторые ряды Тейлора с ненулевым свободным членом, представляющие собой голоморфные в нуле функции (их мы будем обозначать как Pi(x)). Тогда экспоненту под знаком интеграла в (3.1.8) можно представить в виде

Так как ρ1 = ρ2 + s, из определяющего уравнения (3.1.7) получаем p0 = = 1 − ρ1 − ρ2, т. е. p0 + 2ρ1 = 1 + s. Тогда подинтегральное выражение будет равно

Выделяя слагаемое с логарифмом и вынося из оставшихся x−s, находим

113

Так как ρ1 −s = ρ2, а с учетом вышеизложенного γ−(1+s) = a0 6= 0, можно записать второе решение в виде

y2 = xρ2 P4(x) + γ−1y1 ln x.

Поэтому, кроме обобщенного степенного ряда, второе решение может содержать слагаемое с ln x, причем оно заведомо есть, если ρ1 = ρ2 (т. е.

s=0

корни кратные, случай C), так как при этом γ−(1+s) = γ−1 6= 0.

3.2.Функции Бесселя

Решение ряда задач математической физики методом Фурье часто приводит к уравнению

которое называется уравнением Бесселя. Разложение решения уравнения (3.2.1) в обобщенный степенной ряд (3.1.3) в окрестности особой точки x0 = 0 с учетом того, что p0 = 1, q0 = ν2 приводит к определяющему уравнению ρ(ρ − 1) + ρ − ν2 = 0, т. е. ρ2 − ν2 = 0. Отсюда ρ1,2 = ±ν.

Пусть ν > 0, т. е. ρ1 − ρ2 = 2ν. Тогда в силу рассуждений предыдущего параграфа находим:

A. Если 2ν не равно целому положительному числу, т. е. ν не является ни целым, ни полуцелым, существуют два линейно-независимых частных решения в виде обобщенных степенных рядов.

B. Если 2ν = m, где m – целое, существует одно частное решение в виде обобщенного степенного ряда, соответствующее б´ольшему корню определяющего уравнения. Вопрос о втором решении требует специального рассмотрения.

C. Если ν = 0, то существует только одно частное решение в виде обобщенного степенного ряда. Второе частное решение обязательно содержит ln x.

Поиск решения в виде обобщенного степенного ряда (3.1.3) дает си-

стему

[ρ2 − ν2]c0 = 0,

[(ρ + 1)2 − ν2]c1 = 0,

...

[(ρ + k)2 − ν2]ck + ck−2 = 0, k > 2,

114

Вычисляя последовательно четные коэффициенты, получим

(−1)kc0

c2k = 22kk!(ν + 1)(ν + 2) . . . (ν + k).

Обычно полагают

1

c0 = 2ν (n + 1),

чтобы коэффициенты имели наиболее простой вид5 Окончательно получим для первого частного решения уравнения

Бесселя функцию Бесселя 1-го рода индекса ν

Вслучае A вторым частным решением будет функция J−ν (x). В случае B, т. е. при полуцелом ν, логарифмической особенности тоже не будет, и в качестве второго частного решения мы также можем взять J−ν (x).

Вследующем параграфе мы покажем, что функции Бесселя полуцелого индекса представимы квадратурами. Итак, в первых двух случаях общим решением уравнения Бесселя будет функция

y= C1Jν + C2J−ν .

Вслучае целого ν = n функция J−n тоже является решением, но J−n(x) = (−1)nJn(x), т. е. эта пара решений не является линейнонезависимой. Второе решение должно содержать логарифм. Чтобы его найти, рассмотрим уравнение Бесселя

x2y′′ + xy′ + x2 − (n − ε)2 y = 0,

где n – целое положительное, 0 < ε < 1. Это уравнение имеет два

линейно-независимых решения y1 = Jn−ε(x), y2 = J−(n−ε)(x). Построим из них частное решение

Yn−ε(x) = (−1)nJ−(n−ε)(x) − Jn−ε(x).

ε

5Здесь

Z∞

(a) = xa−1e−xdx (a > 0),

0

– гамма-функция, ее определением может служить также функциональное уравнение

(a + 1) = a (a);

если a – целое, то (a + 1) = a!

115

Предел Yn = lim Yn−ε(x) будет решением уравнения Бесселя с индексом

ε→0

n. Можно доказать, что этот предел существует и равен

Эта функция называется функцией Бесселя 2-го рода индекса n. Иногда ее обозначают символом Nn и называют функцией Неймана. Функцию

π1 Yn(x) называют функцией Вебера.

Из вышеприведенного следует, что функция Jn(x) ограничена в точке x = 0, а функция Yn(x) терпит в этой точке бесконечный разрыв.

3.3.Функции Бесселя полуцелого индекса

Уравнение Бесселя (3.2.1) можно привести к канонической форме, воспользовавшись преобразованием (2.6.3). В результате получим

u′′ = 4ν2 − 1 − 1 u. (3.3.1)

4x2

Однако существует и другое преобразование Куммера–Лиувилля, также приводящее уравнение Бесселя к канонической форме. Найдем его, предположив, что элементы преобразования (2.6.2) – функции ϕ и ψ – являются степенными, т. е.

y(x) = tµz(t), x = tλ.

Эта подстановка приводит исходное уравнение к форме

t2z¨ + (2µ + 1)tz˙ + λ2(t2λ − ν2) + µ2 z = 0.

Как уже указывалось, линейное однородное уравнение 2-го порядка

116

Согласно (1.9.7), уравнение (3.3.3) интегрируется в квадратурах, если выполняется равенство

Таким образом, функции Бесселя полуцелого индекса являются элементарными, т. е. уравнение Бесселя при полуцелом индексе интегрируется в квадратурах. В частности, общее решение уравнения Бесселя для ν = ±1/2 приведено в п. 3.1.

называется гипергеометрическим уравнением или уравнением Гаусса; эти названия часто объединяются, как это и сделано в названии настоящего раздела. Предполагается, что α, β, γ – вещественные постоянные. Очевидно, особыми точками являются точки x = 0 и x = 1.

Определяющее уравнение в особой точке x = 0 имеет вид

ρ(ρ − 1) + γρ = 0,

откуда ρ1 = 0, ρ2 = 1−γ. Первое решение будет голоморфным в окрестности особой точки x = 0. Приведенный в предыдущих разделах алгоритм

где для компактности записи принято следующее обозначение

{a}k = a(a + 1) . . . (a + k − 1).

Этот ряд называется гипергеометрическим. Название восходит к формуле для суммы геометрической прогрессии, в которую он и превращается при α = 1, β = γ:

117

Ряд сходится внутри круга радиусом единица. Второе частное решение имеет вид

∞

X

k=0

т. е. то же гипергеометрическое уравнение (3.4.1), в котором роль параметров играют числа α + 1 − γ, β + 1 − γ, 2 − γ. Поэтому

y2 = x1−γF (α + 1 − γ, β + 1 − γ, 2 − γ; x).

Это справедливо только в случае, когда γ не равно ни целому числу, ни нулю. Если γ = 1, второе частное решение будет содержать логарифм, так как в этом случае ρ1 = ρ2 = 0.

Это уравнение Гаусса с параметрами α = n + 1, β = −n, γ = 1. Таким

Если n – целое положительное число, то гипергеометрический ряд обрывается на n-ой степени аргумента, и мы получаем полином Лежандра

Очевидно, Pn(−x) = (−1)nPn(x). К уравнению Лежандра (3.5.1) приводят задачи математической физики в случае, если разделение переменных приводит к уравнению

(1 − x2)y′′ − 2xy′ + λy = 0.

118

Задача рассматривается на интервале [−1, 1], и это уравнение имеет частные решения, конечные в особых точках x = ±1 только в случае λ = n(n + 1), где n – целое положительное.

Полиномы Лежандра – лишь один пример целого класса специальных функций, которые называются ортогональными полиномами. Здесь мы укажем еще некоторые классические ортогональные полиномы:

Все ортогональные полиномы обладают общими свойствами:

1){pn(x)} образуют ортогональную систему;

2)pn(x) удовлетворяют обыкновенному дифференциальному уравнению вида

A(x)y′′ + B(x)y′ + λny = 0,

где kn – постоянная, X – многочлен, коэффициенты которого не зависят от n.

Для полиномов Лежандра X = 1−x2. Они являются частным случаем полиномов Якоби (при α = β = 0) и полиномов Гегенбауэра (при λ =

119

= 1/2). С полиномами Лежандра связаны присоединенные функции Лежандра Pn(m), удовлетворяющие уравнению

(1 − x2)y′′ − 2xy′ + n(n + 1) − m2 y = 0, (3.5.3) 1 − x2

m – целое. Покажем, что функции Pn(m) представимы через полиномы Лежандра. Для этого выполним в уравнении (3.5.3) подстановку y(x) = = (1 − x2)m/2v(x). Тогда для функции v(x) получается уравнение

Нетрудно убедиться в том, что уравнение (3.5.4) есть не что иное, как m раз продифференцированное уравнение Лежандра. Поэтому

P (m) = (1 − x2)m/2 dmPn .

n dxm

Укажем еще один частный случай полиномов Якоби – полиномы Чебышева. Это ультрасферические полиномы при λ = 0 (первого рода, Tn(x)) и при λ = 1 (второго рода, Un(x)). В частности,

Tn(x) = cos(n arccos x), Un(x) = sin(n arccos x).

Полиномы Чебышева удовлетворяют дифференциальному уравнению

(1 − x2)y′′ − xy′ + n2y = 0,

и ортогональны на промежутке [−1, +1] с весом (1 − x2)−1/2. Среди полиномов n-ой степени с единичным старшим коэффициентом полином

1

2n−1 Tn(x)

наименее всех уклоняется от нуля на отрезке −1 6 x 6 +1.

3.6.“Клон” гипергеометрических рядов

называется обобщенным гипергеометрическим рядом. При m 6 n

он представляет собой целую функцию и сходится на всей оси (−∞ < < x < +∞). Если m = n + 1, ряд (3.6.1) сходится на интервале (−1 < < x < +1), при m > n + 1 он сходится лишь в точке x = 0.

120