Предел суммы, произведения и частного
Переход к пределу в неравенствах, предел промежуточной функции
Теорема (о переходе к пределу в неравенствах): Пусть существуют конечные пределы в некоторой окрестности т. , . Тогда: если , то .
Доказательство. , , тогда: ,
Теорема (о пределе промежуточной функции): Если в некоторой окрестности т. и , то .
Доказательство. Пусть , тогда по теореме о переходе к пределу в неравенствах: , , , ,
Следовательно, и .
Непрерывность функции в точке
Функция называется непрерывной в т. , если .
Замечание: элементарные функции непрерывны в точках, где определены.
Теорема (о переходе к пределу, под знаком непрерывности): Если функция непрерывна в т. , то .
Доказательство. Т.к. и функция непрерывна, т.е. . Следовательно .
Непрерывность основных элементарных функций
Теорема (о непрерывности сложной функции): Пусть непрерывна в т. , а функция непрерывна в т. . Тогда сложная функция непрерывна в точке
Доказательство.
Теорема: Пусть и непрерывны в т. , тогда , , ( ) тоже непрерывны в этой точке.
Доказательство: основано на свойствах предела. Т.к. функция непрерывна, то .
Теорема об асимптотическом разложении непрерывной функции
Теорема (асимптотическое разложение непрерывной функции): Если функция непрерывна в т. , то в некоторой окрестности этой т., функция представима в виде: .
Доказательство. Рассмотрим . По теореме об асимптотическом разложении функции имеющей предел: . Т.к. функция непрерывна, то , т.е. .
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Свойства (для интервалов , и ):
1) Если функция непрерывна в точке , то в некоторой окрестности этой точки знак совпадает со знаком .
2) Если функция непрерывна на интервале и , то существует хотя бы одна точка , т.ч. .
3) Если функция непрерывна на интервале , то она достигает на этом интервале наибольшее и наименьшее значения, т.е. , т.ч. и .
4) Если функция непрерывна на интервале , то она ограничена.
Теоремы о переходе к пределу под знаком непрерывной функции, о непрерывности сложной функции.
Теорема (о переходе к пределу, под знаком непрерывности): Если функция непрерывна в т. , то .
Доказательство. Т.к. и функция непрерывна, т.е. . Следовательно .
Теорема (о непрерывности сложной функции): Пусть непрерывна в т. , а функция непрерывна в т. . Тогда сложная функция непрерывна в точке
Доказательство.
Односторонние пределы
: Число называется односторонним пределом слева, если , , т.ч. , :
: Число называется односторонним пределом справа, если , , т.ч. , :
Теорема: Для того, чтобы имела в т. предел, необходимо и достаточно чтобы существовали односторонние пределы: .
Функция называется непрерывной в т. , если .
Замечание: элементарные функции непрерывны в точках, где определены.
Точки разрыва функции, их классификация
Точка , называется точкой разрыва первого рода если: 1) 2) Существуют конечные односторонние пределы, но они не совпадают, т.е. не существует предела.
Точка , называется точкой разрыва второго рода если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
Замечательные пределы
Эквивалентные бесконечно малые функции
Функция называется бесконечно малой, если , т.е. , , т.ч. , : .
Функции и называются эквивалентными б/м при , если и обозначаются .
Теорема: Для того, чтобы , необходимо и достаточно, чтобы была б/м более высокого порядка чем и .
Таблица эквивалентных бесконечно малых
, , , , , , , , .
Теорема о замене бесконечно малых эквивалентными при вычислении пределов
Теорема (о замене б/м на эквивалентные в отношениях): Пусть , эквивалентные б/м при . Тогда .
Доказательство. Рассмотрим . Тогда, .
Производная, её геометрический и механический смысл
Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции y=f(x) в точке хо равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой Хо: f'(x0) = k = tga
Уравнение касательной и нормали к графику функции
Дифференцируемость функции, дифференциал
Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если её приращение в этой точке может быть представлено в виде
дельта f(x0)= f(x0 + дельта x) - f(x0) = A*дельта x+ о(дельта x), где А - некоторое число; о(дельта х) - бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем дельта х при х -> 0.
Дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента).
Необходимое и достаточное условие дифференцируемости
Геометрический смысл дифференциала
Дифференциал функции двух переменных равен приращению аргумента аппликаты касательной плоскости.
Приближенные вычисления с помощью дифференциала
Непрерывность дифференцируемой функции
Теорема. Если функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке x0, то она в этой точке непрерывна.
Таким образом, из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.
Доказательство. Если , то
где α бесконечно малая величина, т.е. величина, стремящаяся к нулю при Δx→0. Но тогда Δy=f '(x0) Δx+αΔx=> Δy→0 при Δx→0, т.е f(x) – f(x0)→0 при x→x0, а это и означает, что функция f(x) непрерывна в точке x0. Что и требовалось доказать.
Производная суммы, произведения и частного
Производная сложной функции
Производная обратной функции
I. Если (D – область определения) поставлен в соответствие , говорят, задана функция . Если это взаимно однозначно, то можно рассмотреть функцию , которая ставит в соответствие x.
Теорема: Пусть и взаимно обратные функции, тогда или . Доказательство. Пусть обе функции дифференцируемы в некоторой точке. Тогда, , т.к. обе функции дифференцируемы непрерывны, т.е. при . Тогда,
Производные обратных тригонометрических функций
а) , , тогда ,
б) , , ,
в) , , ,
г) , , .
Параметрическое задание функции
Пара уравнений x = x(t) и y= y(t) где t- вспомогательная переменная, задаёт некоторую линию. Этот способ задания линии называется параметрическим, а переменная t-параметром. Исключая t получаем обычное уравнение той же линии: y= y (g(x))
Производные первого и второго порядка функций, заданных параметрически
I. Производной 2-го порядка от функции называется производная от ее первой производной: . Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной порядка n-1: .
II. Пусть функция дифференцируема, тогда приращение функции , следовательно - дифференциал I-го порядка.
Рассмотрим 1-й случай, когда x – независимая переменная. Тогда - число. Предполагая, что функция дифференцируема дважды в т. x, найдем дифференциал от дифференциала I-го порядка при : , - полученное выражение при называется дифференциалом II-го порядка. Аналогично: , .
Рассмотрим 2-й случай, когда , а - соответственно сложная функция. Тогда - дифференциал I-го порядка, а - функция, . Тогда: , , , . Дифференциалы 2-го (и более высокого порядка) не обладают инвариантностью формы (т.е. меняют вид в зависимости от x).
Касательная к кривой, заданной параметрически
Производные и дифференциалы высших порядков
I. Производной 2-го порядка от функции называется производная от ее первой производной: . Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной порядка n-1: .
II. Пусть функция дифференцируема, тогда приращение функции , следовательно - дифференциал I-го порядка.
Рассмотрим 1-й случай, когда x – независимая переменная. Тогда - число. Предполагая, что функция дифференцируема дважды в т. x, найдем дифференциал от дифференциала I-го порядка при : , - полученное выражение при называется дифференциалом II-го порядка. Аналогично: , .
Рассмотрим 2-й случай, когда , а - соответственно сложная функция. Тогда - дифференциал I-го порядка, а - функция, . Тогда: , , , . Дифференциалы 2-го (и более высокого порядка) не обладают инвариантностью формы (т.е. меняют вид в зависимости от x).
Формула Лейбница
Формула Лейбница для n-ой производной произведения двух функций — обобщение правила дифференцирования произведения (и отношения) двух функций на случай n-кратного дифференцирования. Пусть f(z) и g(z) - n раз дифференцируемые функции, тогда
Основные теоремы дифференциального исчисления (Ролля, Лагранжа, Коши) и их геометрический смысл
Теорема Ролля: Пусть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема хотя бы на отрезке и значение функции на концах отрезка совпадает, т.е. , тогда существует хотя бы одна точка , т.ч. .
Доказательство. 1) Пусть наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке совпадают, т.е. и функция постоянна тогда производная . 2) Пусть функция непостоянна, тогда она достигает на интервале наибольшего и наименьшего значения. Причем функция не может достигать и на концах отрезка, т.к. и функция была бы постоянна. Значит, внутри интервала есть точка экстремума ,
Геометрический смысл. Если все условия теоремы выполнены, то на графике функции существует точка , через которую проходит касательная к графику функции, параллельно оси x.
Теорема Лагранжа: Пусть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема хотя бы на отрезке , тогда существует точка , т.ч. .
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию непрерывную на отрезке , дифференцируемую хотя бы на отрезке : . Тогда , а , т.е. выполнены все условия теоремы Ролля и существует , т.ч. . Следовательно, , .
Из теоремы Лагранжа следует формула конечных приращений: .
Геометрический смысл. - угла наклона секущей (хорды), стягивающей точки и графика . - угла наклона касательной к графику функции , через точку касания . Если все условия теоремы Лагранжа выполнены, то касательная проходящая через точку , параллельна секущей (хорде), точки и графика .
Теорема Коши: Пусть функция и непрерывны на отрезке , дифференцируемы хотя бы на отрезке , , тогда существует точка , т.ч. .
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию непрерывную на отрезке , дифференцируемую хотя бы на отрезке : . Тогда , , т.е. выполнены все условия теоремы Ролля и существует , т.ч. . Следовательно, , .
Правило Лопиталя для вычисления пределов
Теорема: Пусть и б/м ( ) определенные и дифференцируемые в окрестности т. , за исключением может быть самой т. , причем и , существует . Тогда .
Доказательство. Пусть - конечное число. Доопределим функции и , предполагая, что . Тогда эти функции непрерывны в точке . Рассмотрим интервал , где . Тогда и непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале . Тогда по теореме Коши , т.ч. , или . Т.к. , то и . Следовательно получим: .
Теорема: Пусть и б/б ( ) определенные и дифференцируемые в окрестности т. , причем и , существует . Тогда .
Т.е. правило Лопиталя годится не только для неопред. вида , но и для .
Условие возрастания и убывания дифференцируемой функции на интервале
Функция на интервале , при , где , называется возрастающей, если и убывающей, если .
Пусть функция дифференцируема на интервале при всех тогда: если , то функция возрастает на , а если , то функция убывает на этом интервале.
Если существует окрестность точки , такая что для всех точек , принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство (или ), то - называется точкой минимума (максимума) этой функции, а - локальным минимумом (максимумом) этой функции.
Точки максимума и минимума функции называются точками локального экстремума.
Теорема (необходимое условие экстремума): Если имеет в точке экстремума производную , то .
Замечание. В точке экстремума:
1) может не существовать производной. Пример: , -минимум, а не существует.
2) . Пример: , -минимум, но
Вывод: если в т. экстремум, то , , не существует.
Теорема (достаточное условие экстремума): Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , может быть за исключением самой точки . Тогда, если при переходе через точку , меняет знак с "+" на "–", то в точке - максимум, а если с "–" на "+" – минимум. Если же не меняет свой знак при переходе через точку , то она не является точкой экстремума.
Экстремумы функции
Определение 1. Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x) <=f(x0)
Определение 2. Точка х1 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х1 выполняется неравенство f(x) >=f(x1)
Необходимые условия экстремума
Теорема (необходимое условие экстремума): Если имеет в точке экстремума производную , то .
Замечание. В точке экстремума:
1) может не существовать производной. Пример: , -минимум, а не существует.
2) . Пример: , -минимум, но