новая папка 1 / 695252

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

3. При замыкании звена с передаточной функцией 1 обратной связью с пе-

редаточной функцией 2 (рис. 11) передаточная функция замкнутой системы бу-

дет представлена в виде

при этом выход системы с учётом передаточной функции из формулы (8) фор-

мируется в стандартном виде

Рис. 11. Структурная схема с обратной связью

На рис. 11 также показан пример вычитания соответствующего входящего сиг-

нала (круг с чёрным сектором).

Структурные схемы сложных систем преобразовывают к более удобным путём декомпозиции (разложение на простые звенья), агрегирования (объедине-

ние элементарных звеньев в одно) и трансформации (преобразования для упро-

щения структуры схемы).

4. Сосредоточенные непрерывные и дискретные системы управления

Особый интерес представляет рассмотрение сосредоточенных непрерыв-

ных и сосредоточенных дискретных систем управления. В этом случае подразу-

меваются многомерные линейные стационарные системы управления, которые являются сосредоточенными и либо непрерывными, либо дискретными. Их об-

щий вид для непрерывного типа – уравнение динамики и уравнение выхода, за-

писанное в системе [5]:

11

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Данная система (10) идентична по записи системе (3), при этом вместе с систе-

мой обязательно записывается её начальное состояние x(0) = x0; точка t = 0 и

постоянные матрицы A, B и C (в системе не зависят от t) взяты в силу стационар-

ности. Основной моделью такой системы принято считать уравнение динамики –

систему дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши.

Прямая задача состоит в следующем: необходимо выразить выход си-

стемы в любой момент времени t через предполагаемые заданными параметры системы (матрицы A, B, C), начальное состояние, вход, т.е. получить соотноше-

ние «вход-начальное состояние-выход» (полная реакция системы) [5].

Обратные задачи формулируются в следующем виде:

•задача моделирования, т.е. параметрической идентификации: определение параметров A, B, C по заданному массиву пар «вход – выход» v(t), y(t), t1 t t2 ;

•задача управления – основная в теории управления, т.е. определение управляющего входного сигнала (воздействия), которое любую заданную си-

стему (через матрицы A, B, C) из заданного начального состояния x0 переводит в желаемое конечное (финальное) состояние, которое обозначают x = x(t f ) , в фи-

нальный момент времени, обозначаемый t f ;

• задача наблюдения, т.е. определение x0 по заданным наблюдениям (из-

мерениям); y(t) , 0 t t1 для заданной системы A, B, C.

Все системы такого рода обладают структурными свойствами [5]:

1. Устойчивость. Различают устойчивость по входу-выходу (в случае ска-

лярных v и y) и устойчивость по начальному состоянию, вместе с ней рассмат-

ривают асимптотическую устойчивость. Для каждого вида устойчивости даётся определение и математическая форма записи.

Впервом случае система рассматривается в представлении «вход-выход»

ввиде свёртки:

12

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

где h v – свёртка двух функций: h(t ) – весовая функция системы, а v (t ) – вход.

Система называется устойчивой в смысле ОВОВ (ограниченный вход – ограни-

ченный выход), если на ограниченное входное воздействие она реагирует огра-

ниченным выходным сигналом (M, N – ограничители):

Устойчивость по начальному состоянию определяется тем, что при нуле-

вом входном воздействии v выходной сигнал y удовлетворяет условию y(t) → 0 ,

t→

при любом начальном состоянии х0. В этом случае критерий устойчивости опре-

деляется неравенством следующего вида:

Re i 0 , i = 1, , n , (13)

где действительная часть собственных чисел i матрицы А для всех i от 1 до n

должна быть строго меньше нуля, т.е. удовлетворять неравенству (13). Устойчи-

вость по Ляпунову (асимптотическая устойчивость) для системы определяется тем же критерием (13).

2. Инвариантность – структурное свойство, которое означает способность системы не реагировать на внешние воздействия, т.е. быть к ним инвариантной.

Другой вариант определения – выход системы не зависит от входа.

3. Наблюдаемость – структурное свойство системы, состоящее в возмож-

ности найти состояние системы, недоступное непосредственному наблюдению

(измерению), из результатов наблюдения над доступной величиной [5]. Доступ-

ным считается выход системы y(t); уравнение, связывающее его с состоянием,

называется схемой измерения.

4. Управляемость – структурное свойство системы, характеризующее её с точки зрения управления (можно ли такой системой управлять). Оно определяет возможность решения одной из обратных задач – задачи управления. В этом слу-

чае система записывается только уравнением динамики

где решение прямой задачи для этой системы как функции времени – это нахож-

дение траектории управления. При этом траекторная управляемость

13

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

(локальная, мгновенная) определяется как возможность найти для данной си-

стемы такое управляющее воздействие, обозначаемое u*(t), чтобы определяемая

им траектория совпала с заданной (желаемой, назначенной) траекторией x*(t) = x (t ; u *(t)). Отдельно выделяют терминальную управляемость – струк-

турное свойство системы, состоящее в возможности найти такое управление u*(t) в пределах от нуля до t* включительно, под воздействием которого система из начального состояния x(0) = x0 перейдёт в заданное назначенное состояние x(t*) = x* – конечное состояние в некоторый момент времени t*. В отличие от траекторного управления, когда задаётся целиком траектория движения, при тер-

минальном управлении задаётся только начальное x0 и конечное x* состояние, а

сам переход не оговаривается (т.е. главное попасть из x0 в x*).

Рассматривая дискретный случай для сосредоточенных многомерных ли-

нейных стационарных систем управления, систему (10) записывают в виде:

Решение прямой задачи получается непосредственно из системы (15) последова-

тельной подстановкой значений в уравнение динамики при t = 0, 1, 2… и выра-

жается рекуррентно:

t = 0 : x[0] = x0 ,

t =1: x[1] = Ax[0] + Bv[0],

t = 2 : x[2] = Ax[1] + Bv[1] = A(Ax[0] + Bv[0])+ Bv[1] = A2 x[0] + ABv[0] + Bv[1],

…

t −1

t = t : x[t] = At x[0] + At −1− B v[ ] .

=0

Для дискретного вида систем также определяются структурные свойства, какие были рассмотрены для непрерывных сосредоточенных систем.

14

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Библиографический список

1. Математические методы теории управления. Проблемы устойчивости,

управляемости и наблюдаемости [Текст]: учебник для вузов / А.В. Ильин,

С.В. Емельянов, С.К. Коровин [и др.] – Москва: Физматлит, 2014. – 200 c.

2. Егоров, А.И. Основы теории управления [Текст] / А.И. Егоров. – Москва:

Физматлит, 2004. – 543 с.

3. Панкратов, В.В. Избранные разделы теории автоматического управле-

ния [Текст]: учеб. пособие / В.В. Панкратов, О.В. Нос, Е.А. Зима. – Новоси-

бирск: Новосибирский государственный технический университет, 2011. – 222 с.

4. Пантелеев, А.В. Теория управления в примерах и задачах [Текст] /

А.В. Пантелеев, А.С. Бортаковский. – Москва: Высшая школа, 2003. – 583 c.

5. Погодаев, А.К. Адаптация и оптимизация в системах автоматизации и управления [Текст] / А.К. Погодаев, С.Л. Блюмин. – Липецк: ЛЭГИ, 2003. – 128 с.

15