новая папка 1 / 590418
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Т. Н. Глушакова, К. П. Лазарев, Ю. В. Бондаренко
ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Учебно-методическое пособие для вузов
Воронеж Издательский дом ВГУ
2015
Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики 5 ноября 2015 г., протокол № 3
Рецензент – канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры алгебры и топологических методов анализа М. В. Турбин
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре вычислительной математики и прикладных информационных технологий факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 1-го курса дневного отделения факультета прикладной математики, информатики и механики, изучающих дисциплины «Алгебра» и «Линейная алгебра».
Для направлений:
01.03.02 – Прикладная математика и информатика, 01.03.03 – Механика и математическое моделирование, 01.05.01 – Фундаментальные математика и механика
2
СОДЕРЖАНИЕ |
|
1. Евклидовы пространства.............................................................................. |
4 |
1.1. Основные понятия ............................................................................... |
4 |
1.2. Простейшие примеры евклидовых пространств .............................. |
4 |
1.3. Свойства евклидовых пространств.................................................... |
5 |
1.4. Матрица Грама..................................................................................... |
8 |
1.4.1. Определение матрицы Грама................................................... |
8 |
1.4.2. Свойства матрицы Грама......................................................... |
8 |
1.5. Ортогональные матрицы..................................................................... |
10 |
1.6. Проектирование ................................................................................... |
12 |
1.7. Метод ортогонализации О. Ю. Шмидта............................................ |
15 |
1.8. Ортогональное дополнение ................................................................ |
20 |
1.9. Изоморфизм евклидовых пространств.............................................. |
21 |
2. Унитарные пространства.............................................................................. |
22 |
2.1. Основные понятия ............................................................................... |
22 |
2.2. Свойства унитарных пространств...................................................... |
22 |
2.3. Матрица Грама..................................................................................... |
23 |
3. Задачи для самоподготовки ......................................................................... |
24 |
Литература......................................................................................................... |
25 |
3
1. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
1.1. Основные понятия
Определение 1. Пространство E называется вещественным, если его элементы можно умножать только на вещественные числа.
Определение 2. Вещественное линейное пространство E называется евклидовым, если в нем каждой паре векторов x, y ставится в соответст-
вие вещественное число (x, y) , называемое скалярным произведением этих векторов, причем выполнены следующие условия:
1)(x, y) = ( y, x) ;
2)(x + y, z) = (x, z) + ( y, z) ;
3)(α x, y) = α (x, y) для любого α R ;
4)(x, x) > 0 для любого x ≠ 0.
Рассмотрим простейшие следствия из 1) – 4):
1)(x,α y) = α (x, y) ;
2)(x, y + z) = (x, y) + (x, z) ;
3)n αi xi , y = n αi (xi , y);
i=1 i=1
|
n |
|
n |
4) x, αi yi = αi (x, yi ); |
|||
|
i=1 |
|
i=1 |
5) Для любого ненулевого x E (x,0) = 0 . Докажем некоторые из них:
1)(x,α y) = (α y, x) = α ( y, x) = α (x, y) ;
2)(x, y + z) = ( y + z, x) = ( y, x) + (z, x) = (x, y) + (x, z) ;
3)n αi xi , y = α1x1 + n αi xi , y = α1(x1, y) + n αi xi , y = n αi (xi , y);i=1 i=2 i=2 i=1
5)(x,0) = (x,0 y) = 0 (x, y) = 0 .
1.2.Простейшие примеры евклидовых пространств
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
||
1. |
E = R |
n |
|
1 |
|
, |
|
|
1 |
|
. Положим (x, y) = x1 y1 |
+ x2 y2 |
+ + xn yn . |
|
. Пусть x = |
|
y = |
|
|||||||||
|
|
|
x |
|
|
y |
n |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
b
2. E = C[a,b]. Пусть f (t), g(t) C[a,b]. Положим ( f (t), g(t)) = f (t)g(t) dt .
a
4
1.3.Свойства евклидовых пространств
Теорема 1 (неравенство Коши – Буняковского). Для любых x, y E
(x, y)2 ≤ (x, x) ( y, y) .
Доказательство.
Возьмем произвольные λ R , x, y E и рассмотрим
φ (λ ) = (x − λ y, x − λ y) = (x, x) − 2(x, y)λ + ( y, y)λ 2 . |
(1) |
Положим A = (x, x) , B = (x, y) , C = ( y, y) > 0 . Заметим, что |
|
φ (λ ) ≥ 0 . |
(2) |
Из (1) и (2) следует, что |
|
A − 2Bλ + Cλ 2 ≥ 0 . |
(3) |
Это квадратное неравенство относительно λ . Очевидно, что оно име- |
|
ет решение, если D ≤ 0 , то есть |
|
B2 − AC = (x, y)2 − (x, x) ( y, y) ≤ 0 , |
|
откуда следует, что |
|
(x, y)2 ≤ (x, x) ( y, y) . |
(4) |
Определение 3. Векторы x и y коллинеарны, если x = λy.
Утверждение 1. Неравенство Коши – Буняковского становится равенством тогда и только тогда, когда x = λy.
Доказательство. |
|
x, y E , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Необходимость. Пусть для |
y ≠ 0 |
выполнено равенство |
|||||||||||||
(x, y)2 = (x, x) ( y, y) , или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
(x, x) ( y, y) − (x, y)2 = 0 . |
|
|
|
(5) |
|||||||
Положим λ = |
(x, y) |
и рассмотрим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
( y, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(x − λ y, x − λ y) = (x, x) − 2λ (x, y) + λ |
2 |
( y, y) = (x, x) − 2 |
(x, y) |
(x, y) + |
(x, y)2 |
( y, y) = |
|||||||||
|
( y, y) |
( y, y)2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
1 |
(x, x) ( y, y) − 2(x, y)2 + |
(x, y)2 ) = |
|
1 |
((x, x) ( y, y) − (x, y)2 ) . |
|||||||||
( y, y) |
( y, y) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В силу (5) получим, что (x − λ y, x − λ y) = 0 , |
то есть x − λ y = 0 или |
||||||||||||||
x = λ y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Достаточность. Пусть x, y – коллинеарные векторы, то есть x = λ y . |
|||||||||||||||
Рассмотрим |
|
|
(x, y)2 = (λ y, y)2 = λ 2 ( y, y)2 , |
|
|
(6) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
(x, x) ( y, y) = (λ y,λ y) ( y, y) = λ 2 ( y, y2 ) . |
|
(7) |
Из (6) и (7) следует, что (x, y)2 = (x, x) ( y, y) .
5
С помощью скалярного произведения можно ввести понятие угла между векторами:
cosφ = (x, x) ( y, y) .
Из (4) следует, что |
(x, y) |
2 |
≤ 1, поэтому |
|
(x, y) |
≤ 1, откуда |
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
(x, x) ( y, y) |
(x, x) |
( y, y) |
|||||||
|
|
|
следует, что cosφ ≤ 1.
Определение 4. Линейное пространство E называется нормированным, если для любого элемента x E определена числовая характеристика – норма вектора x , удовлетворяющая следующим условиям:
1) x ≥ 0 при x ≠ 0 и x = 0 при x = 0 ;
2) λ x = λ x для любых λ R ;
3)для любых x, y E x + y ≤ x + y .
Теорема 2. Евклидово пространство нормировано, если в нем определена норма вектора по формуле x = (x, x) .
Доказательство.
1. |
Для любого ненулевого вектора x E |
|
|
|
x |
|
|
|
= (x, x) > 0 , для x = 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
= (x, x) = 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
|
λ x |
|
|
|
= (λ x,λ x) = |
|
λ |
|
( x, x) = |
|
λ |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
x + |
|
|
|
y |
|
|
|
2 = ( (x + y, |
|
x |
|
+ y) ) 2 = (x |
|
+ |
|
y |
|
|
, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + ( y, y) ≤ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ x 2 + 2 x y + y 2 = ( x + y)2 .
Спомощью нормы понятие угла между векторами вводится следующим образом:
cos φ = (x, y) .
x y
Замечание. Если x = y , то cosφ = 1.
Определение 5. Два вектора x, y E называются ортогональными,
если (x, y) = 0 .
Теорема 3 (теорема Пифагора). Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Доказательство.
Пусть x, y – ортогональные векторы, то есть (x, y) = 0 . Рассмотрим x + y 2 = (x + y, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + ( y, y) = (x, x) + ( y, y) = x 2 + y 2 .
6
Следствие. Пусть x1, x2 , , xn – совокупность взаимно перпендикулярных векторов, то есть
0, |
|
i ≠ j |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(xi , xj ) = |
|
|
|
xi |
|
|
|
2 |
≠ 0, |
, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i = j |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда |
2 = (x1 + x2 + + xk , x1 + x2 + + xk ) = (x1, x1 ) + |
||||||||||||||||||||||
|
|
x1 + x2 + + xk |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
+(x1, x2 ) + + (xk , xk ) = |
|
|
|
x1 |
|
|
|
2 + + |
|
|
|
xk |
|
|
|
2 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Определение 6. Система векторов |
f1, f2 , , fn E |
ортонормирована, |
|||||||||||||||||||||
если ( fi , f j ) = δij = 1, i = j . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0, i ≠ j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определение 7. δij |
называется символом Кронекера. |
||||||||||||||||||||||
Утверждение 2. |
Если векторы fi |
|
|
|
|
(i = 1, , n) образуют ортонорми- |
|||||||||||||||||
рованную систему, то они линейно независимы. |
|
||||||||||||||||||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
fi |
|
(i = 1, , n) |
|
||||||||||||||
Предположим противное: векторы |
|
|
|
|
|
линейно зависимы, |
то есть существует такой нетривиальный (ненулевой) набор коэффициентов
(α1, α2 , , αn ) ≠ 0 , что линейная комбинация |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α1 f1 + α2 f2 + + αn fn = 0 . |
|
|
|
(8) |
|||||||
Умножим (8) скалярно на fi (i = 1, , n) , получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
(α1 f1 + α2 f2 + + αn fn , fi ) = (α1 f1, fi ) + + (αi fi , fi ) + + (αn fn , fi ) = αi . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
С другой |
стороны, |
(0, fi ) = 0 . Таким образом, αi |
= 0 |
для |
всех |
||||||||||||||||||||||||||||||
i = 1, , n , что противоречит предположению. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Теорема 4. В n -мерном евклидовом пространстве E существует ор- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
тонормированный базис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Доказательство проведем методом математической индукции. |
|
|
f1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть dim E = 1, |
|
f – ненулевой базисный вектор. Положим e = |
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
f1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда |
|
e1 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
f1 |
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
f1 |
|
|
= 1. Пусть в произвольном пространстве E′ раз- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f1 |
|
|
|
|
|
|
|
f1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и E′ E , |
|||||||
мерности (n − 1) |
построен ортонормированный базис e1,e2 , , en−1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
dim E = n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Докажем, что в n -мерном пространстве E также можно построить |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ортонормированный базис. Возьмем вектор fn E , |
fn E′ . |
Спроектируем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
вектор |
fn на E′ . Положим |
fn = yn + hn , где yn E′ , |
hn E′ . Так как yn E′ , |
||||||||||||||||||||||||||||||||
то yn |
= α1e1 + α2e2 + + ε n−1en−1 . Подберем коэффициенты αi |
(i = 1,2 , , n) |
7
таким образом, чтобы hn = fn − yn E′ или hn ei (i = 1,2 , , n − 1) . Для этого скалярно умножим hn на векторы ei (i = 1,2 , , n − 1) . Получим
0 = (hn ,ei ) = ( yn − (α1e1 + + αiei + + αn−1en−1),ei ) = ( yn ,ei ) −
−α1(e1,ei ) − − αi (ei ,ei ) − − αn−1(en−1,ei ) = ( yn ,ei ) − αi .
В результате αi = ( yn ,ei ) (i = 1,2 , , n − 1) . Положим en = fn . fn
Таким образом, в пространстве E построен ортонормированный ба-
зис ei (i = 1,2 , , n) .
1.4.Матрица Грама
1.4.1.Определение матрицы Грама
Выведем формулу для скалярного произведения в общем случае. Пусть E – n -мерное евклидово пространство, e1 , , en – базис в E .
Возьмем произвольные |
векторы x, y E . |
Пусть x = ξ1e1 + ξ2e2 + + ξnen , |
|||||
y = η1e1 + η2e2 + + ηnen . Найдем |
|
|
|
|
|||
|
(x, y) = |
n |
n |
|
n n |
|
|
|
ξiei , η jej = |
(ei ,ej )ξiη j . |
(9) |
||||
|
|
|
i=1 |
j=1 |
|
i=1 j=1 |
|
Пусть gij = (ei ,ej ) . Из (9) следует, что |
|
|
|||||
|
|
|
|
n n |
|
|
|
|
|
(x, y) = gijξiη j = ξ тΓη , |
|
||||
|
|
|
|
i=1 j=1 |
|
|
|
ξ1 |
η1 |
g11 |
g1n |
|
|
||
где ξ = , |
η = , Γ = |
|
. |
|
|
||
ξn |
ηn |
gn1 |
gnn |
|
|
||
Определение 8. Матрица |
g11 |
g1n |
|
||||
|
|
|
Γ = |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
называется матрицей Грама. |
gn1 |
gnn |
|
||||
|
|
|
|
||||
Если e1 , , en – ортонормированный базис, то Γ = I и |
|
||||||
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
(x, y) = ξiη j = ξ тη . |
|
i=1 j=1
1.4.2.Свойства матрицы Грама
1.Матрица Грама – симметрическая.
Действительно, так как (x, y) = ( y, x) , то gij = (ei ,ej ) = (ej ,ei ) = g ji .
8
2. Найдем связь матриц Грама в разных базисах.
Пусть E – n -мерное евклидово пространство, {ei}in=1 , {e′j }nj=1 – базисы
в E . |
Разложим базисные |
векторы |
e′j |
( j = 1, 2, |
, n) |
по |
векторам |
ei |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(i = 1, |
2, , |
n) , получим ei′ = skiek . Элементы ski |
образуют матрицу пере- |
||||||||||||||||||
хода |
S = {ski}k ,i=1 |
|
|
|
|
|
|
j=1 |
к базису{ej |
}j=1 . |
|
|
|
|
|
|
|||||
от базиса {ei}i=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
′ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
Γ = {g |
}n |
|
, g |
ij |
= (e ,e |
) |
– |
матрица |
Грама |
в |
базисе {e }n |
|
, |
||||||
|
|
|
|
|
ij |
i, j=1 |
|
|
i j |
|
|
|
|
|
|
|
i i=1 |
|
|||
′ |
′ |
n |
′ |
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
n |
|
|
|
|
|
Γ = {gij |
}i, j=1 , |
gij |
= (ei ,ej |
) – матрица Грама в базисе {ej |
}j=1 , тогда |
|
|
g′
ij
тогда
n |
n |
n n |
n n |
= (ei′,e′j ) = ( skiek , smjem ) = ski (ek ,em )smj = ski gkmsmj . |
|||
k =1 |
m=1 |
k =1 m=1 |
k =1 m=1 |
Перепишем соотношение (10) в матричном виде:
Γ′ = S тΓS ,
(10)
(11)
|
Γ′ |
|
= |
|
S т |
|
|
|
Γ |
|
|
|
|
|
|
S |
|
= |
|
S |
|
2 |
|
Γ |
|
. |
(12) |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Если e1, e2 , , en – ортонормированный базис, то |
|
Γ |
|
= 1 и из (12) сле- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
дует, что |
|
|
|
2 > 0 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Γ′ |
|
= |
|
S |
|
(13) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Теорема 5. Пусть x1, x2 , , xn |
– произвольные элементы n -мерного |
евклидова пространства E , тогда
|
(x1, x1) |
(x1, x2 ) |
(x1, xk ) |
|
|
|
|
||||
Γ* = |
(x2 , x1) (x2 , x2 ) (x2 , xk ) |
> 0 , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
(x, x) |
(x, x) |
|
(x, x) |
|
если векторы xi (i = 1, , k) линейно независимы, и Γ* = 0 , если векторы xi (i = 1, , k) линейно зависимы.
Доказательство.
1. Пусть xi (i = 1, , k) – линейно независимые векторы пространства E , E′ – линейная оболочка, натянутая на векторы xi (i = 1, , k) . Возьмем в качестве векторов нового базиса векторы xi (i = 1, , k) , а в качестве векто-
ров старого базиса – ортонормированные базисные векторы ej |
( j = 1, , k) |
||||
пространства E . Тогда в силу (13) |
|
Γ * |
|
> 0 . |
|
|
|
|
|||
2. Пусть векторы xi (i = 1, , k) линейно зависимы, тогда существует |
|||||
такой нетривиальный набор коэффициентов |
|
||||
(α1, α2 , , αk ) ≠ 0 , |
(14) |
9
что линейная комбинация
α1x1 + α2 x2 + + αk xk = θ
(θ – нулевой элемент пространства E ).
Умножим (15) скалярно на xi (i = 1, , k) , получим систему
α1(x1, x1) + α2 (x2 , x1) + + αk (xk , x1) = 0α1(x1, x2 ) + α2 (x2 , x2 ) + + αk (xk , x2 ) = 0
α1 (x1, xk ) + α2 (x2 , xk ) + + αk (xk , xk ) = 0
(15)
(16)
Числа αi (i = 1, , k) являются решениями линейной однородной системы (16). Если бы ее определитель Γ * был отличен от нуля, то по правилу
Крамера система (16) имела бы только нулевое решение, что противоречит предположению (14).
Пример. Пусть в 3-мерном евклидовом пространстве дан канониче-
ский базис e1 = (1, 0, 0) , |
e2 = (0,1, 0) , |
e3 = (0, 0,1) . |
Построить в этом базисе |
|||
матрицу Грама для следующей билинейной формы: |
||||||
b(x, y) = x1 y1 + 5x2 y2 + 6x3 y3 + 2x1 y3 + 2x3 y1 + 3x2 y3 + 3x3 y2 . |
||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
g11 = b(e1,e1) = 1, |
g12 = g21 = b(e1,e2 ) = 0 , |
g13 = g31 = b(e1,e3 ) = 2 , |
||||
g22 = b(e2 ,e2 ) = 5 , |
g23 = g32 = b(e2 ,e3 ) = 3 , |
g33 = b(e3 ,e3 ) = 6 , |
||||
тогда |
|
1 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
5 |
3 |
|
|
|
Γ = |
. |
|
|||
|
|
2 |
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
1.5.Ортогональные матрицы
Пусть |
|
|
′ |
(i = 1, , n) – |
|
E – n -мерное евклидово пространство, {ei}, {ei} |
|||||
ортонормированные базисы пространства |
E , тогда Γ |
′ |
– |
единичные |
|
и Γ |
|||||
матрицы и в силу (11) |
|
|
|
|
|
где S = {ski}k |
I = S т S , |
|
|
|
(17) |
,i=1 – матрица перехода от базиса {ei}i=1 к базису {ej }j=1 . |
|||||
n |
|
n |
|
′ |
n |
Из (17) следует, что S −1 = S т .
Определение 9. Матрица S называется ортогональной, если
S т = S −1 . |
(18) |
10