358529
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ПРЕДЕЛ БЕЗ СЕКРЕТОВ
Учебно-методическое пособие
Воронеж Издательский дом ВГУ 2015
Утверждено научно-методическим советом факультета ПММ 17 марта 2015 г., протокол № 7
Составители: П. С. Украинский, Г. А. Виноградова, Э. Л. Шишкина, А. И. Шашкин
Рецензент доктор физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа Воронежского государственного университета С. П. Зубова
Подготовлено на кафедре математического и прикладного анализа факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.
Рекомендовано студентам первого курса очной и очно-заочной форм обучения.
Для направлений: 010400.62 – Прикладная математика и информатика, 010300.62 – Фундаментальная информатика и информационные технологии, 010500 – Математическое обеспечение и администрирование информационных систем, 080500.62 – Бизнес-информатика, 010800.62 – Механика и математическое моделирование
Введение
Настоящая методическая разработка не заменяет учебник, но позволяет углубить понимание предела последовательности и предела функции. В работе приведены только основные определения и теоремы, без которых нельзя приступить к решению задач. Задачи можно условно разделить на два типа: это задачи теоретические, направленные на понимание теории, и задачи вычислительные. В задачах на вычисление предела приведены основные типовые приемы вычислений, комбинируя которые и проявляя творчество можно будет приступать и к более серьезным задачам.
§ 1. Предел последовательности
Отображение f : N → R называется числовой последовательностью. Обозначим f(n) = xn; тогда последовательность записывается в виде x1; x2; : : : ; xn; : : : (сокращенно {xn}). Числа x1; x2; : : : ; xn; : : : называются членами последовательности, xn = f(n) называется общим членом последовательности.
Определение 1.1. Число a называется пределом последовательности {xn}; если для любого числа " > 0; найдется номер n0 N такой, что для всех номеров n > n0 будет выполнено неравенство |xn − a| < ":
Заметим, что |xn − a| < " a − " < xn < a + " xn U(a; "); где
U(a; ") окрестность точки a радиуса ":
Определение 1.2 (в логических символах): lim xn = a
n→∞
" > 0; n0 N; n > n0 : |xn − a| < ":
Определение 1.3 (геометрическая форма). Число a называется пределом последовательности {xn}; если для любой, заранее выбранной, окрестности U(a; ") найдется номер n0 N; такой что все члены последовательности с номерами n > n0 будут принадлежать U(a; "):
Определение 1.4 (1.3 в логических символах): lim xn = a
n→∞
" > 0; n0 N; n > n0 : xn U(a; "):
Замечание. Понятно, что во всех случаях n0 может зависеть от ": Понятие окрестности точки a можно распространить на понятие окрестности бесконечно удаленной точки:
x U(+∞; E) x (E; +∞) E < x < +∞;
xU(−∞; E) x (−∞; −E) x < −E;
xU(∞; E) x (−∞; −E) (E; +∞) |x| > E:
3
По традиции под " понимают «малое» положительное число, под E «большое» положительное число.
Тогда определения 1.3, 1.4 можно применять к случаям lim xn =
n→∞
= +∞; lim xn = −∞; lim xn = ∞.
n→∞ n→∞
Например,
lim xn = +∞ E > 0; n0 N; n > n0 : xn > E:
n→∞
В этом случае говорят, что последовательность {xn} имеет пределом +∞: Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходя-
щейся. Следовательно, xn → +∞ сходящейся не является. Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расхо-
дящейся.
Последовательность, имеющая пределом ∞ (со знаком или без), называется бесконечно большой.
Теорема 1.1. Числовая последовательность может иметь только один предел на расширенной числовой прямой.
Пример 1.1. Рассмотрим последовательность 1; 12; 13; : : : ; n1 ; : : : : Если члены последовательности наносить на числовую ось, то увидим, что соответствующие точки приближаются к нулю. Докажем по определению,
что lim |
1 |
|
= 0: Пусть задано произвольное " > 0: Согласно определению |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
n0 N такой, что при |
n > n0 : |xn − 0| = |xn| < "; |
||||||||||||||||||||||||
1.2 надо найти |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|xn| = |
n |
|
= |
n |
: |
|
Если будет |
n |
|
< "; то задача решена: |
n |
|
< " n > |
" |
; |
|||||||||||||||||
если n0 |
= |
|
[ |
|
] |
+ 1 ( [ |
|
] |
– целая часть |
|
|
), то при n > |
[ |
|
] + 1 = n0 |
|||||||||||||||||
|
" |
" |
" |
" |
||||||||||||||||||||||||||||
будет n > |
|
1 |
и |
|
1 |
< "; т. е. для произвольного " мы нашли n0; что при |
||||||||||||||||||||||||||
|
" |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n > n0 : |xn| < ": Задача решена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 1.2. {xn} = 1; |
|
; 1; |
|
; 1; |
|
; : : : : Доказать, что |
|
nlim xn ̸= 0 |
||||||||||||||||||||||||
2 |
3 |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
(хотя соответствующие точки на числовой оси накапливаются вблизи нуля).
Решение. Сначала напишем определение предела:
lim xn = 0 : " > 0; n0 N; n > n0 : |xn| < ":
n→∞
Пишем отрицание определения:
lim xn ≠ 0 : " > 0; n0 N; n > n0 : |xn| > ":
n→∞
4
Выберем: " = 0; 5; произвольное n0 N и возьмем n > n0; n – нечетное; тогда xn = 1; так как на всех нечетных местах в нашей последовательности xn = 1 и неравенство |xn| > " дает 1 > 0; 5:
Пример 1.3. Доказать, что xn = 2n; n = 1; 2; : : : не является сходя-
щейся. |
|
|
|
+∞: По определению E > 0; n0; |
Докажем, что |
nlim 2n = |
|||
n > n0 : 2 |
n |
|
→∞n |
E; n > log2 E: |
|
> E log2 2 > log2 |
Положим n0 = [log2 E] + 1: Тогда при n > n0 будет 2n > E; т. е. lim 2n = +∞: Такая последовательность называется бесконечно большой
n→∞
и не относится к сходящимся.
Пример 1.4. lim 1 = 0: Доказать.
n→∞ n!
По определению 1.1 для произвольного " > 0 надо найти n0 N; хоть какое-нибудь, пусть с некоторым запасом, лишь бы из неравенства
n > n0 вытекало |xn − a| < ": |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
В нашем случае |
|
|
|
|
1 |
|
|
< ": Решать неравенство |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|xn − 0| = |xn| = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
< " трудно. Упростим проблему, заменив |
1 |
|
|
на большую или равную |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n! |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
величину |
: Неравенство |
6 |
для n = 1; 2; 3; : : : ; очевидно. Получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n! |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
6 |
1 |
|
< ": Решая последнее неравенство |
1 |
< "; получим n > |
|
1 |
: Возь- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n! |
n |
n |
" |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
мем за n0 = [ |
1 |
|
]+ 1; тогда из неравенства n > n0 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
следует n > |
|
|
и |
|
|
|
|
< ": |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
" |
|
" |
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Откуда |
|
1 |
< ": |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Способ упрощения выражения заменой его б´ольшим используется |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
очень часто. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Пример 1.5. lim |
= 0: Доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin n |
|
|
|
|
1 |
|
|
n→∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
n |
|
6 |
n |
< "; из неравенства |
n |
<"; получим n> |
" |
; n0 = [ |
" |
] |
+1: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Что удовлетворяет |
определению предела. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Далее |
несколько примеров на вычисление пределов с помощью теорем. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Пример 1.6. lim |
2n |
= 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Докажем, что последовательность xn |
= |
|
убывающая, т. е. что |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xn > xn+1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
2n+1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
1 > |
|
n + 1 > 2; n > 1 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
(n + 1)! |
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
Значит последовательность xn убывающая, начиная с первого номера. Да-
лее очевидно, что xn = 2n > 0: Это означает, что последовательность n!
ограничена снизу. В силу теоремы Вейерштрасса такая последовательность имеет предел, равный некоторому a: Пока еще мы не знаем, что a = 0: Докажем, что a = 0 :
0 6 xn = |
|
2n |
|
|
|
2n−1 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
= xn−1 |
· |
|
: |
|
|
|
|
|||||||
|
n! |
|
(n |
− |
1)! |
n |
n |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По доказанному xn |
→ a; |
|
тогда xn−1 |
→ a; |
2 |
|
|
(см. при- |
||||||||||||||||||
|
nlim |
|
|
= 0 |
||||||||||||||||||||||
|
n |
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|||||
мер 1). Откуда xn−1 · |
|
|
→ a · 0 = 0: По теореме (о двух полицейских) |
|||||||||||||||||||||||
n |
||||||||||||||||||||||||||
lim xn = 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема о действиях с последовательностями. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
Пусть lim xn = a; |
|
lim yn = b; т. е. xn; yn сходящиеся, тогда |
||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
lim (xn + yn) = a + b; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
lim (xnyn) = ab; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
n→∞ |
xn |
|
|
a |
если b ̸= 0: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
nlim |
|
|
|
= |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
y |
n |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие 1. Есть и другие действия с последовательностями, вытекающие из предыдущей теоремы и свойств бесконечно малых и бесконечно больших (см. учебник).
1.1. Пусть xn → a ≠ 0; yn → 0; тогда xn → ∞: yn
1.2. Пусть xn → a ≠ 0; yn → ∞; тогда xnyn → ∞: 1.3. Пусть xn → a; yn → ∞; тогда xn + yn → ∞:
1.4. Пусть xn → a; yn → ∞; тогда xn → 0: yn
Неопределенные выражения
Если xn → +∞; yn → +∞; то xn − yn называется неопределенным выражением вида ∞−∞: Для вычисления надо сделать подходящие дополнительные действия.
Другие виды неопределенных выражений: ∞ − ∞; 0 · ∞; 0; ∞;
0 ∞
1∞; 00; ∞0:
6
Основные приемы раскрытия неопределенностей
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
(3 + |
|
|
1 |
) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
3n2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
lim |
|
= |
|
|
|
= |
|
lim |
n2 |
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(∞) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
сократить |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
n→∞ 2n2 + n + 1 |
|
|
|
|
n→∞ n2 |
2 + |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
на старшую степень = lim |
|
|
|
n2 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ 2 + |
+ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2. |
nlim (√ |
|
− √ |
n |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
умножить и разделить на |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
n − 1) |
= |
(∞ − ∞) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
n − 1)( |
n − 1) = |
|||||||||||||||||||||||||||||
сопряженное выражение |
= lim ( |
|
|
n |
|
|
|
|
n |
+ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
n |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n + |
n − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n − n + 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
(по следствию 1.4). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
√ |
n |
+ √n − 1 |
|
n→∞ |
√ |
n |
+ |
√n − 1 |
|
|
|
|
|
Другие методы раскрытия неопределенностей будут изложены при вычислении предела функции.
§ 2. Последовательности. Верхний и нижний пределы последовательности
Определение. Последовательность, составленная из членов последовательности {xn} и в которой порядок следования элементов совпадает с их порядком следования в исходной последовательности {xn}; называется подпоследовательностью этой последовательности.
Теорема. Если последовательность имеет конечный или бесконечный предел, то любая ее подпоследовательность имеет тот же предел.
Пример 7. Доказать, что последовательность 1; 12; 1; 13; 1; 14; : : : расходящаяся (см. пример 2).
Доказательство.
Выберем члены, стоящие на четных местах 12; 13; 14; : : : : Предел такой подпоследовательности равен 0. Выберем члены, стоящие на четных местах 1; 1; 1; : : : : Предел такой подпоследовательности равен 1. В силу вышеприведенной теоремы предел исходной последовательности не существует.
Для изучения последовательностей, предел которых не существует, вводится понятие верхнего предела, нижнего предела.
Предел подпоследовательности называется частичным пределом.
7
Определение 2.2. Наибольший частичный предел последователь-
ности {xn} называется ее верхним пределом lim xn; а наименьший ча-
n→∞
стичный предел последовательности {xn} называется ее нижним пределом
lim xn:
n→∞
Имеет место теорема, утверждающая, что у любой последовательности существует как наибольший, так и наименьший частичные пределы.
Теорема 1а. Для того чтобы |
lim xn = b; |
достаточно выполнения |
|||||||||
следующих двух условий: |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. " > 0; n0 N такое, что для n > n0 |
выполняется неравен- |
||||||||||
ство xn < b + ": |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Существует подпоследовательность {xnk }; такая что klim xnk |
= b: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
Замечание. Из п. 1 следует, что частичного предела, большего b; |
|||||||||||
не существует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема 1б. Для того чтобы |
lim xn = a; достаточно выполнения |
||||||||||
следующих двух условий: |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. " > 0; n0 N такое, что для n > n0 |
выполняется неравен- |
||||||||||
ство xn > a − ": |
|
|
|
|
nm |
} |
|
такая что m→∞ nm |
|
||
2. Существует подпоследовательность { |
x |
; |
= a: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim x |
|||
Пример 2.1. Найти верхний и нижний пределы последовательности |
|||||||||||
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
xn = 1 + |
|
cos |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. cos n2 при n = 1; 2; : : : последовательно принимает зна-
n
чения 0; −1; 0; 1; 0; −1; 0; 1; : : : : Последовательность n + 1 имеет пределом 1, а значит, и любая ее подпоследовательность имеет пределом 1. Чтобы получить возможно больший частичный предел, выберем n = 4k; k = 1; 2; : : : : Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4k |
|
4k |
|
4k |
|
||||||
lim x |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
: |
|
|
|
(1 + 4k + 1 cos |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
k→∞ |
nk |
= k→∞ |
|
) = k→∞ (1 + 4k + 1) |
= 2 |
|||||||||||||||||||
Отсюда следует, что |
|
|
|
|
|
|
xn > 2: Проверим пункт 1 теоремы 1а: |
|||||||||||||||||
|
|
lim |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 + |
|
n |
|
cos |
n |
6 1 + |
n |
|
|
< 2 < 2 + " |
для " > 0: |
|
||||||||||||
|
n + 1 |
|
|
n + 1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
По теореме доказано |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
lim xn = 2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Аналогично доказывается, что |
lim xn = 0: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
8
Пример 2.2. Найти верхний предел последовательности
|
|
|
|
|
|
|
xn = |
1 + (−1)n |
+ |
(−1)n |
: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
n |
||||
Решение. Выпишем несколько первых членов последовательности |
||||||||||||||||
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
{xn} : 1; 1 + |
|
|
; − |
|
; 1 + |
|
; : : : |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Выберем подпоследовательность с номерами n = 2k; k = 1; 2; : : : ; |
||||||||||||||||
получим x2k |
= |
1 + (−1)2k |
+ |
(−1)2k |
= 1 + |
1 |
; откуда |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2k |
2k |
()
lim |
1 + |
1 |
= 1: |
|
2k |
||||
k→∞ |
|
|
Докажем, что это и есть наибольший частичный предел. Для этого проверим пункт 1 теоремы 1а. Проверим неравенство xn < b+"; в нашем случае xn < 1 + " будем проверять для n нечетных и четных отдельно.
Пусть n = 2k − 1; k = 1; 2; : : : :
x |
|
= |
1 + (−)2k−1 |
|
+ |
(−1)2k−1 |
= |
− |
1 |
|
|
< 0 < 1 < 1 + " |
|||||||||||||||||||
2k−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2k |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
верно для всех k: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть n = 2k; |
k = 1; 2; : : : : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
xnk |
= |
1 + (−1)2k |
|
+ |
(−1)2k |
|
= 1 + |
1 |
: |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|||||
Величину 1 + |
1 |
|
для любого " > 0 надо сделать меньше 1 + " : |
||||||||||||||||||||||||||||
2k |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 + |
|
1 |
|
< 1 + "; |
|
1 |
|
|
< "; 2k < |
1 |
; k > |
1 |
; |
|||||||||||||||||
|
|
2k |
|
|
2k |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
2" |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
последнее верно при |
k > k0; |
где k0 = [ |
|
] + 1; т. е. верно при четных |
|||||||||||||||||||||||||||
2" |
n > 2k:
Следовательно, для " > 0 нашли n0 = 2k0; что при n > n0 :
xn < 1 + " получим lim xn = 1:
n→∞
9
§ 3. Предел функции
Основные определения
Пусть задана числовая функция y = f(x); где x D: Пусть область определения D содержит интервал ( ; ) кроме, может быть, точки x0 (a; b):
Определение 3.1 (определение по Гейне). Число a называется
пределом функции f(x) при x → x0; если для любой последовательности {xn}; xn ( ; ); xn ≠ x0; сходящейся к x0 последовательность значений функции {f(xn)} стремится к a:
Из определения 3.1 вытекает, что функция не может иметь два разных предела в одной точке x0: Значение функции f(x0) не влияет на величину предела. Точка x0 может и не принадлежать области определения функции.
Записываем символ lim f(x) = a:
Определение Гейне сохраняется и в случае, когда x0 и (или) a являются бесконечными.
Определение 3.2 (по Коши). Пусть x0 и a – конечные числа. lim f(x) = a; если для любого " > 0 существует > 0 такое, что для
всех x D и удовлетворяющих неравенству 0 < |x − x0| < следует, что
|f(x) − a| < ":
Определения по Коши и Гейне равносильны (доказательство см. в учебнике).
В логических символах определение 3.2 записывается так
lim f(x) = a " > 0; > 0; x D и 0 < |x −x0| < : |f(x) −a| < ":
x→x0
Замечание. Если a и x0 бесконечны, то определение по Коши надо изменять следующим образом.
По традиции под " > 0; > 0 понимают «малые» положительные
величины. Тогда под величинами |
1 |
; |
1 |
понимают «большие» величины. |
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
" |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
Если: x0 = +∞; то 0 < |x − x0| < заменяем на x > |
|
||||||||||||
|
|
; |
|||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
x0 = −∞; то 0 < |x − x0| < заменяем на x < − |
|
; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x0 = ∞; то 0 < |x − x0| < |
заменяем на |x| > |
|
: |
|
|
|
|
||||||
|
1 |
||||||||||||
Если: a = +∞; то |f(x) − a| < " заменяют на f(x) > |
|||||||||||||
|
|
; |
|||||||||||
" |
10