Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

обыкновенные диф ур-я высших порядков

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

410.07 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

L " & @( 9;A / !

@( 9,A

λ3 − 4λ2 + +5λ − 2 = 0.

D !" & 4 ' / & ! ! &1 / "

!" & &1 / " !&/ / @( 9;A

x = et

yt − 4yt + 5yt − 2y = e3t.

>& e3t & / ! 3

' /

4 &

y1 = Ae3t B !

y1 & ' A = 1/4

! !" 0

y = (C1 + C2t)e + C3e

= (C1 + C2 ln x)x + C3x

(x > 0).

B x < 0 !&/

! / &! ln |x| ln x

& 2 &4

6 x2y − xy

− 3y = 0

x2y + xy

+ 4y = 0

$ x2y − xy + y = 8x3

+ x2y − 2y = sin ln x

, (2x + 3)3y

+ 3(2x + 3)y − 6y = 0

7 '4 6 y = C1x3 +

y = C1 cos(2 ln x) + C2 sin(2 ln x)

$ y = x(C1 + C2 ln |x|) + 2x3

+ y = C

x2 + C x−1 + 0, 1 cos ln x

−

0, 3 sin ln x

3/2

1/2

, y = C1

+ C3 x +

x + 2 + C2

+ 2

- % ' .

#! &

a0(x)y(n) + a1(x)y(n−1) + . . . + an−1(x)y + an(x)y = 0 @9 8A

&0 & 0 ' & !"

D ! !" / ' & & "

E ! / y1(x) &		@9 8A
" '	! " & #!	4 &
" y = y1z ! " & z = u
6 !&/ &
a0(x)y + a1(x)y + a2(x)y = 0		@9 (A

!" " &! $ ? & !!

a0(x) dx ,

@9 9A

= Cexp −

a1(x)

y1 y2 !1

#! &

n @9 8A &! $ ? & !!

. . . yn

= Cexp

a1(x) dx

@9 :A

. . . yn

−

(n 1)

. . . y

−

a0(x)

−

y1(x), y2(x), . . . , yn(x)

@9 +A

" & !"
E ! & !" @9 +A &	@9 8A
0 &
a0(x)y(n) + a1(x)y(n−1) + . . . + an−1(x)y + an(x)y = f (x)	@9 .A

" !&/ ' $0

& '

y = C1(x)y1 + C2(x)y2 + . . . + Cn(x)yn.

>& Ci(x) ! 1
	C1y1 + C2y2 + . . . + Cnyn = 0,
	C1y1 + C2y2 + . . . + Cnyn = 0,




. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



	C y(n−2) + C y(n−2) + . . . + C yn(n−2)
	(n	1)		(n	1)			(n	1)
	−			−		+ . . .	+ Cn	−
	C1y1		+ C2y2			+ . . .	+ Cn	yn
	1 1			2 2			n

8 = 0 &

= 0,

= f (x) . a0(x)

x(x + 1)y + (x + 2)y − y = 0,

@9 ;A

! / y1 = x + 2

B &! $ ? & !! @9 9A

y1	y2	= C1exp −	x(x + 1) dx ;	y1y2−y1y2 = C1exp − x − x + 1		dx .
y1	y2		x + 2	2	1

! / & y12 !&/ ! &1

y2/y1

2 −

−

y1y

y y2

x+2

C1exp

x(x+1) dx

x + 1

C y1 = x + 2

x2 −

(x + 2)2 dx + C2 =

= C1

x2(x + 2)2 dx + C2 =

x + 1

= 4 −x			+ (x + 2) + C2.
	C1	1	1
$0 & @9 ;A
y2(x) = −				C1
					+ C2	(x + 2).
				2x
( = 0 &
x2(2x − 1)y + (4x − 3)xy						− 2xy + 2y = 0,	@9 ,A
! /		y1 = 1/x y2 = x

# ! & y = y2z = xz u = z 6 &!"

& @9 ,A

x2(2x − 1)u + (10x2 − 6x)u + (6x − 6)z = 0.

L y1 ! u1 = −x23

B &! $ ? & !! @9 9A

u1	u	= Cexp −	x2	(2x−		1) dx .
u1	u		10x2		6x
				−

6 ! &1 u & ! 4

u12

(2x

− 1) .

B u1

u = −

− 1)2

(2x

6 0

z =

−

(2x − 1)2

dx + C

+ C

= C1

ln |x| + x −

8x2 + x2 + C3.

6 0

& y

!&/ 0 &

@9 ,A

y = C1(x ln |x| + 1) +

+ xC3.

#! &

@9 .A !" " !

&10 /

8 B& " & u1 u2

! 1

& @9 .A ' " y = u1 − u2

&10 &

@9 8A

8 = 0 &

(x2 − 1)y + 4xy + 2y = 6x,

@9 *A

! /

u1 = x u2 =

x2 + x + 1

x + 1

= 0 &10 &

(x2 − 1)y + 4xy + 2y = 0.

@9 8)A

/ @8A ' / & @9 8)A

y1 = u2 − u1 = x + 1 .

D !" &

&!& $ ? & !!

@9 9A 0

& @9 8)A

− 1

(x − 1)2

y = x + 1

+ x −2

1 .

= C1(x+1)2exp − x2

4xdx

#! ' 0 & @9 *A

!" & ' 0

y =

C1(x)

C2(x) .

@9 88A

x + 1

x − 1

>& C1(x) C2(x) !

(x)

− C2(x)

(x)

C (x)

= 0,

C = 3x(x + 1),

C1(x) = x3 +

x2 + C1,

−(x+1)2

−

(x−1)2 = x2−1 .

C2 = 3x(x − 1).

C2(x) = −x

+ 2 x

+ C2.

(x)

B C1(x) C2

&!& @9 88A !&/

y =

+ x2 − 1 .

x + 1

x − 1

& 2 &4

xy + 2y − xy = 0, y1 = ex/x

5 y − 2(1 + tg2 x)y = 0, y1 = tg x

+ C3(x ln |x| + 1)

xy − y − xy + y = 0, y1 = x, y2 = ex

0 x2(2x − 1)y + (4x − 3)xy − 2xy + 2y = 0, y1 = x, y2 = 1/x

(3x3 + x)y + 2y − 6xy = 4 − 12x2, y1 = 2x, y2 = (x + 1)2

7 '4

xy = C1e−x + C2ex

5 y = C1 tg x + C2(1 + x) tg x

y = C1x + C2ex + C3e−x 0 y = C1x + C2x−1

y = C1(x2 + 1) + C2x−1 + 2x

) " # / "# 0

6 ' !&/ ' / & &

9 = / &

(2x + 1)y + (4x − 2)y − 8y = 0, @9 8(A

! 10 ! / /! @ ! &0 & A

$! " /! B& "

y = xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + anx + an.

B y & !&/

(2x + 1)[n(n − 1)xn−2 + . . .] + (4x − 2)[nxn−1 + . . .] − 8[xn + . . .] = 0.

B &!1 4 xn &

4n − 8 = 0,

& n = 2 C /! " ! "

" y = x2 + ax + b B ! & @9 8(A

4ax + 2 − 2a − 8b = 0.

! !" a = 0 2 − 2a − 8b = 0 $1 b = 1/4 L

y = x2 + 14 .

: = / &

xy − (2x + 1)y + (x + 1)y = 0.

@9 89A

B ! / / /!

!" x

y = xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + anx + an.

B y & !&/

x[n(n − 1)xn−2 + . . .] − (2x + 1)[nxn−1 + . . .] + (x + 1)[xn + . . .] = 0.

B &!1 4 xn+1

1 = 0.

C !&/ ! / / /!

&0 & -& "

y = ekx.

B &

x(k − 1)2 − (k − 1) = 0 k = 1.

y = ex.

& 2 &4

56 xy − (x + 1)y − 2(x − 1)y = 0 5 (x2 − 1)y + (x − 3)y − y = 0

5$ x(x2 + 6)y − 4(x2 + 3y + 6xy = 0

5+ x2 ln xy − xy + y = 0

7 '4

56 y = C1e2x + C2(3x + 1)e−x

5 y = C1(x − 3) + xC+2 1 5$ y = C1(x2 + 2) + C2x3

5+ y = C1x + C2(ln x + 1)

# $ %

, # 0 "# "#

! !" &

y + p(x)y + q(x)y = 0	@: 8A
/ !" & !
y = y0, y = y0 x = x0,	@: (A

y0 y0 !" 0 / !

* 8 B& " & p(x) q(x) ! /

x0 " ! 1

∞	∞

p(x) =	pk(x − x0)k; q(x) = qk(x − x0)k,	@: 9A
k=0	k=0
' 0 ! \|x − x0\| < r C / !		&

@: 8A / !" & ! @: (A y = y(x)

	∞
y(x) = y0 + y0
y(x) = y0 + y0	(x0)(x − x0) + Ck(x − x0)k,	@: :A
	k=2

' 0 ! / @: 9A

E ! / ! y0 y0 4 Ck @: :A ! 1

/ @: :A & @: 8A

&!1 4 ! / ' ' x − x0 ! / !&/ + #% ,-.

6 ! ' / 0 / 1 !&/ p(x) q(x) ! ! ! ! 6 !&/ @: :A '

' / ' x 6 !&/ & '

/ x0 ! !1 & p(z) q(z)

' ! ! z

#! 0 & @: 8A /

! ' / ' y1 y2 $/ & !" &1 & y1 y2 &1 / x = x0 / y1 = 1 y1 = 0 x = x0 K y2 = 0 y2 = 1 x = x0

E ! @: :A ! 10 & @: 8A &

& " " & & / 4! &

/ &! @9 9A

< ' ! ! ' &

!" n

y(n) + a1(x)y(n−1) + . . . + an−1(x)y + an(x)y = f (x)

! 4 a1(x), a2(x), . . . , an(x) / "1 f (x) B 4 & ! 10 / !" & !

y = y0

, y = y

, . . . , y(n−1)

= y(n−1)

x = x0,

y(n−1)

∞

−

. . .

−

(n−1)

−

o +

0) +

(

(n 1)!

(

k=n

|x − x0| < r

8 = ' /

	y + y = 0,	@: +A
	y(0) = 1; y (0) = 0.

! &! @: :A /

" ∞

y(x) = 1 + Ckxk.	@: .A
k=2

4 Ck ' ! ' 4 B

@: .A & @: +A 4

' ' x !&/ ! &10&1 &

x0		2C2 + 1 = 0,
x C3 = 0,
x2		4 · 3 · C4 + C2 = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xk		k(k − 1)Ck + Ck−2 = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B ! !" / !	4 /
C2k =	(−1)k	, C2k+1 = 0, k = 0, 1, 2, . . .
	(2k)!

C / !
	y(x) = ∞ (−1)kx2k .

(2k)!

k=0

' 0 & y = cos x

! ! /

( = ' !

&
y − xy = 0.	@: ;A

= y1(x) y2(x) & ! 10 / !" & !

y1(0) = 1, y1(0) = 0; y2(0) = 0, y2(0) = 1.

$ & & ! B &! @: :A

∞

y1(x) = 1 +	akxk,	@: ,A
	k=2

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.02.2015113.66 Кб60общество наука.doc
#
05.09.201931.41 Mб12Общие ответы на билеты.doc
#
18.11.20194.46 Mб5Общие сведения о микроконтроллерах.docx
#
16.11.201963.49 Кб7Объект и предмет социологии как науки.doc
#
10.02.2015389.06 Кб15обыкновенные диф ур-я 1-порядка.pdf
#
10.02.2015410.07 Кб11обыкновенные диф ур-я высших порядков.pdf
#
10.02.2015347.65 Кб5ОДОЛЖИТЕ ТЕНОРА .doc
#
26.08.2019177.46 Кб1ОДЦБ.docx
#
15.11.2019941.57 Кб5ОЕ_1.doc
#
17.08.2019519.68 Кб5ОЖД-НОВ2курс-сетевой.doc
#
23.11.201987.41 Кб9Оздоровительный Бег.docx