Diskretka4
.pdf
Существование и единственность многочлена Жегалкина
Теорема. Любая булева функция f : B:n ! B представляется в виде многочлена Жегалкина, причем единственным образом
Доказательство существования (продолжение). Поэтому,
f (x1; x2; : : : ; xn) = X x1 1 x2 2 xn n :
( 1;2;:::n)2Bn:f ( 1;2;:::n)=1
Таким образом, достаточно доказать, что любой элементарный конъюнкт x1 1 x2 2 xn n представляется в виде многочлена Жегалкина.
Существование и единственность многочлена Жегалкина
Теорема. Любая булева функция f : B:n ! B представляется в виде многочлена Жегалкина, причем единственным образом
Доказательство существования (продолжение). Без ограничений общности можно считать, что
1 = 0; 2 = 0; : : : ; k = 0; k+1 = 1; k+2=1; : : : ; n = 1:
Существование и единственность многочлена Жегалкина
Теорема. Любая булева функция f : B:n ! B представляется в виде многочлена Жегалкина, причем единственным образом
Доказательство существования (продолжение). Без ограничений общности можно считать, что
1 = 0; 2 = 0; : : : ; k = 0; k+1 = 1; k+2=1; : : : ; n = 1:
Тогда
x1 1 x2 2 xn n = x1 x2 xk xk+1 xk+2 xn =
Существование и единственность многочлена Жегалкина
Теорема. Любая булева функция f : B:n ! B представляется в виде многочлена Жегалкина, причем единственным образом
Доказательство существования (продолжение). Без ограничений общности можно считать, что
1 = 0; 2 = 0; : : : ; k = 0; k+1 = 1; k+2=1; : : : ; n = 1:
Тогда
x1 1 x2 2 xn n = x1 x2 xk xk+1 xk+2 xn = = (1 + x1) (1 + x2) (1 + xk ) xk+1 xk+2 xn =
Существование и единственность многочлена Жегалкина
Теорема. Любая булева функция f : B:n ! B представляется в виде многочлена Жегалкина, причем единственным образом
Доказательство существования (продолжение). Без ограничений общности можно считать, что
1 = 0; 2 = 0; : : : ; k = 0; k+1 = 1; k+2=1; : : : ; n = 1:
Тогда
x1 1 x2 2 xn n = x1 x2 xk xk+1 xk+2 xn =
=(1 + x1) (1 + x2) (1 + xk ) xk+1 xk+2 xn =
P
=K xk+1 xk+2 xn; где суммирование проводится по
K
всем конъюнктам K без отрицаний от переменных x1; x2; : : : xk .
Существование и единственность многочлена Жегалкина
Доказательство единственности. Пусть N = 22n и f1; f2; : : : ; fNвсе булевы функции от n аргументов.
Существование и единственность многочлена Жегалкина
Доказательство единственности. Пусть N = 22n и f1; f2; : : : ; fNвсе булевы функции от n аргументов. Пусть Gi количество различных многочленов Жегалкина функции fi ,
i = 1; N:
Существование и единственность многочлена Жегалкина
Доказательство единственности. Пусть N = 22n и f1; f2; : : : ; fNвсе булевы функции от n аргументов. Пусть Gi количество различных многочленов Жегалкина функции fi ,
i = 1; N: В силe доказанного Gi 1, i = 1; N.
Существование и единственность многочлена Жегалкина
Доказательство единственности. Пусть N = 22n и f1; f2; : : : ; fNвсе булевы функции от n аргументов. Пусть Gi количество различных многочленов Жегалкина функции fi ,
i = 1; N: В силe доказанного Gi 1, i = 1; N. Тогда для количества G всех многочленов Жегалкина от n аргументов имеем
NN
G = XGi X1 = N = 22n
i=1 i=1
Существование и единственность многочлена Жегалкина
Доказательство единственности. Пусть N = 22n и f1; f2; : : : ; fNвсе булевы функции от n аргументов. Пусть Gi количество различных многочленов Жегалкина функции fi ,
i = 1; N: В силe доказанного Gi 1, i = 1; N. Тогда для количества G всех многочленов Жегалкина от n аргументов имеем
NN
G = XGi X1 = N = 22n = G;
i=1 i=1
поскольку всего существует только 2n конъюнктов без отрицаний, каждый из которых может входить или не входить в многочлен.