dm_bilety (1)

X Y		˄
0 0
0 1
1 0
1 1

Связь между алгеброй множеств и алгеброй логики заключается в том, что есть 2 изоморфные системы.

БИЛЕТ 25

Понятие двойственности. Принцип двойственности.

Опр. Для заданной булевой функции двойственной к ней называют: ).

Замечания.

1. 

2. F=G F*=G*

3. x*=x

{

(x)*=

x	f=x	f*
0 1	0 1	0 1

}

4. =

5. 

6. 

7. (x&y)^*=x˅y

8. (x˅y)^*=x&y

(&,˅,-,0,1)

(˅,&,-,1,0)

Пусть задана булева функция .

Замечание. В функциях f_i, i=1,…,m некоторые переменные могут быть фиктивными.

Тогда

[

= = = =

]

Следствие. Если задана булева функция формулой F в базисе Б₀=(x&y,x˅y,-,0,1), то для получения двойственной функции достаточно сделать замену:

(&,˅,-,0,1)

(˅,&,-,1,0)

БИЛЕТ 26

Разложение булевых функций по переменным.

Т. о разложении булевой функции по переменным.

Для любой булевой функции f=f(x₁,…,x_n) и V 1≤k≤n справедливо представление f(x1,…,xn)=, где x¹=x, x⁰= ̚ x.

Возьмем произвольный набор Z=(α1,…,αn) и подставим в левую и правую части формулы:

Л.Ч.=f(α1,…,αn)

П.Ч.= =

{ 1⁰==0; 0¹=0; 1¹=1; 0⁰==1; }

=

Правая часть совпала с левой.

Следствие1. Формула разложения булевой функции по переменным:

Положим k=1. Возьмем разложение по последней переменной.

Следствие2. Разложение функции в совершенную дизъюнктивную нормальную формулу (СДНФ).

V справедливо =.

=1.

Возьмем в теореме случай k=n, т.е. разложение по всем переменным.

Следствие3. О представимости любой функции в классическом базисе.

Любую булеву функцию можно представить в виде формулы над базисом.

Б₀₌{x&y,x˅y,}

f≠0 СДНФ

f≡0

Замечание. Для любой булевой функции существует представление в виде СДНФ и это представление является единственной.

БИЛЕТ 27

Совершенные дизъюнктивные нормальные формы (СДНФ)[сумма произведений ˅&].

Система операций булевой алгебры полна, и переход от табличного задания любой логической функции к формуле булевой алгебры всегда возможен. Сформулируем очень важный для практики способ перехода от табличного задания логической функции к булевой формуле. Он

включает следующие действия:

·для каждого набора значений переменных x₁, x₂ ,..., x_n , на котором функция f (x₁, x₂ ,..., x_n ) равна 1, выписываются конъюнкции всех переменных;

·над теми переменными, которые на этом наборе равны 0, ставятся отрицания;

·все такие конъюнкции соединяются знаками дизъюнкции.

Полученная таким образом формула называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) логической функции.

Для каждой функции СДНФ единствена.

Таким образом, СДНФ функции f (x₁, x₂ ,..., x_n ) представляет собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций: D = K₁ ˅ K₂ ˅ ... ˅ K_m, где все конъюнкции имеют одинаковое число сомножителей, равное числу логических переменных, а число конъюнкций равно числу наборов значений переменных x₁, x₂ ,..., x_n , на которых функция f (x₁, x₂ ,..., x_n) равна 1. Любые другие записи логической функции, вида D = K₁ ˅ K₂ ˅ ... ˅ K_m, не отвечающие этим условиям, называются

дизъюнктивными нормальными формами (ДНФ) этой функции.

БИЛЕТ 28

Совершенные конъюнктивные нормальные формы (СКНФ)[произведение сумм &˅].

Утверждение. Для любой булевой функции f=f(x1,…,xn),f≠1 справедливо представление

Имеем: f*≠ 0. Теперь построим СДНФ для f*.

=

Возьмем двойственную от обеих частей уравнения.

= ==

Делаем замены: .

=.

Замечание. Для каждой булевой функции ≠ 1 существует представление в виде СКНФ и это представление является единственным.

БИЛЕТ 29

Полиномы Жегалкина.

В алгебре логики обычно выделяют 3 кононические формы представления функции в виде формулы:

1. СДНФ

2. СКНФ

3. Полиномы Жегалкина

Моном – формула вида 0,1, .

Полином Жегалкина:

P=M₁⊕M₂⊕…⊕M_k, M_i – моном.

Все мономы попарно различны.

Теорема. Любую булеву функцию можно представить в виде полинома Жегалкина и это представление является единственным.

[

I. Доказываем представимость функции в виде полинома Жегалкина.

Рассмотрим 2 случая

1. f ≡ 0, F=0

2. f ≠ 0, тогда

*)

x y	x ˅ y	x
0 0	0	0
0 1	1	1
1 0	1	1
1 1	1	0

Можем заменить ˅ на ⊕, т.к. никакие два слагаемых в СДНФ≠1.

K1= ; K2=

K1*K2 ≡ 0

Значит, существует j ()

Сделаем преобразования

Раскрываем скобки, приводим подобные по правилу АА=0.

В итоге получим полином Жегалкина для каждой функции существует полином Жегалкина.

II. Доказываем единственность.

Воспользуемся принципом Дирихле.

Подсчитаем количество полиномов Жегалкина.

. То есть 2ⁿ отличных от нуля.

Пустой моном=1.

Образуем полином:

Мономов = N=2ⁿ

Полиномов = 2^N=

Если ничего не включили, то 0.

|]

БИЛЕТ 30

Понятие функциональной полноты системы булевых функций. Полнота системы {И, ИЛИ, НЕ}.

Определение. Множество функций алгебры логики А называется полной системой (в Р2), если любую функцию алгебры логики можно выразить формулой над А. Теорема. Система А = {v, &, ─} является полной.

Доказательство. Если функция алгебры логики f отлична от тождественного нуля, то f выражается в виде совершенной дизъюнктивной нормальной формы, в которую входят лишь дизъюнкция, конъюнкция и отрицание. Если же f≡ 0, то f = x*(─x). Теорема доказана.

БИЛЕТ 31

Замыкание и замкнутые классы.

1°. Понятие замкнутого класса.

Определение 1. Пусть A ⊆ P2. Тогда замыканием A называется множество всех функций алгебры логики, которые можно выразить формулами над A.

Обозначение: [A].

Имеют место следующие свойства:

1) [A] ⊇ A;

2) A ⊇ B ⇒ [A] ⊇ [B], причём, если в левой части импликации строгое вложение, то из него вовсе не следует строгое вложение в правой части — верно лишь A ⊃ B ⇒ [A] ⊇ [B];

3) [[A]] = [A].

Определение 2. Система функций алгебры логики A называется полной, если [A] = P2.

Определение 3. Пусть A ⊆ P2. Тогда система A называется замкнутым классом, если замыкание A совпадает с самим A: [A] = A.

2°. Примеры замкнутых классов.

Класс T₀ = {f (x₁, …, x_n) | f (0, …, 0) = 0}.

Классу T₀ принадлежат, например, функции 0, x, xy, x ∨ y, x ⊕ y.

Классу T₀ не принадлежат функции 1, x , x → y, x | y, x ↓ y, x ~ y.

Класс T₁ = {f (x₁, …, x_n) | f (1, 1, …, 1) = 1}.

Классу T₁ принадлежат функции 1, x, xy, x ∨ y, x → y, x ~ y.

Классу T₁ не принадлежат функции 0, x , x ⊕ y, x | y, x ↓ y.

Класс L линейных функций.

Определение 4. Функция алгебры логики f (x₁, …, x_n) называется линейной, если

f (x₁, …,x_n) = a₀ ⊕ a₁ x₁ ⊕ … ⊕ a_n x_n, где a_i ∈ {0, 1}.

Иными словами, в полиноме линейной функции нет слагаемых, содержащих конъюнкцию.

Классу L принадлежат функции 0, 1, x = x⊕1, x ~ y, x ⊕ y.

Классу L не принадлежат функции xy, x ∨ y, x → y, x | y, x ↓ y.

Класс S самодвойственных функций.

Определение 2. Функция алгебры логики f (x₁, …, x_n) называется самодвойственной, если f (x₁,…, x_n) = f* (x₁,…,x_n).

Иначе говоря, S = {f | f = f*}.

Определение 2. Функция алгебры логики f (x₁,…,x_n) называется монотонной, если для любых двух сравнимых наборов ~α и ~β выполняется импликация ~α≤ ~ β ⇒f(~α) ≤ f (~ β)

Класс M всех монотонных функций.

Классу M принадлежат функции 0 , 1 , x , xy , x ∨ y, m (x, y, z) = xy ∨ yz ∨ zx.

Классу M не принадлежат функции x , x | y , x ↓ y , x ⊕ y , x ~ y , x → y

БИЛЕТ 32

Классы Поста.

Критерий Поста — одна из центральных теорем в теории булевых функций, устанавливающая необходимое и достаточное условие для того, чтобы некоторый набор булевых функций обладал достаточной выразительностью, чтобы представить любую булеву функцию. Впервые сформулирован американским математиком Эмилем Постом.

Булева функция — это функция типа , где , а  — арность. Количество различных функций арности равно , общее же количество различных булевых функций бесконечно. Вместе с тем, очевидно, что многие функции могут быть выражены через другие с использованием оператора суперпозиции. Например, давно известно, что из дизъюнкции и отрицания можно, используя законы де Моргана, получить конъюнкцию. Кроме того, любая булева функция (за исключением тождественного нуля) может быть представлена в виде ДНФ, то есть, в терминах конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Возникает естественный вопрос: как определить, будет ли данный набор функций достаточным, чтобы представить любую булеву функцию? Такие наборы называются функционально полными. Теорема Поста даёт ответ на этот вопрос. Поскольку условие теоремы является необходимыми и достаточным, её называют также критерием.

Идея теоремы состоит в том, чтобы рассматривать множество всех булевых функций  как алгебру относительно операции суперпозиции. Сейчас она носит имя алгебра Поста. Эта алгебра содержит в качестве своих подалгебр множества функций, замкнутых относительно суперпозиции. Их называют ещё замкнутыми классами. Пусть  — некоторое подмножество .Замыканием  множества  называется минимальная подалгебра , содержащая . Иными словами, замыкание состоит из всех функций, которые являются суперпозициями . Очевидно, что  будет функционально полно тогда и только тогда, когда . Таким образом, вопрос, будет ли данный класс функционально полон, сводится к проверке того, совпадает ли его замыкание с .

БИЛЕТ 33

Критерий полноты.

Теорема 12 (теорема Поста). Система функций алгебры логики A = {f1, f2, …} является полной в P2 тогда и только тогда, когда она не содержится целиком ни в одном из следующих классов: T0, T1, S, L, M.

Доказательство. Необходимость. Пусть A — полная система, N — любой из классов T₀, T₁, S, L, M и пусть A ⊆ N. Тогда [A] ⊆ [N] = N ≠ P2 и [A] ≠ P2. Полученное противоречие завершает обоснование необходимости.

Достаточность. Пусть A ⊄ T₀, A ⊄ T₁, A ⊄ M, A ⊄ L, A ⊄ S. Тогда в A существуют функции f₀ ∉ T₀, f₁ ∉ T₁, f_m ∉ M,

f_l ∉ L, f_s ∉ S. Достаточно показать, что [A] ⊇ [f₀, f₁, f_m, f_l, f_s] = P2. Разобьём доказательство на три части: получение отрицания, констант и конъюнкции.

a) Получение ─x . Рассмотрим функцию f₀ (x₁, …, x_n) ∉ T0 и введём функцию φ₀(x) =f₀(x, x, …, x). Так как функция f₀ не сохраняет нуль, φ₀(0) = f (0, 0, …, 0) = 1. Возможны два случая: либо ϕ₀(x) = ─x , либо φ0 (x) ≡ 1. Рассмотрим функцию f₁(x₁, …, x_n) ∉ T₁ и аналогичным образом введём функцию φ₁(x) = f₁(x, x, …, x). Так как функция f₁ не сохраняет единицу, φ₁(1) = f (1, 1, …, 1) = 0. Возможны также два случая: либо ϕ₁( x) = ─x , либо φ1 (x) ≡ 0. Если хотя бы в одном случае получилось искомое отрицание, пункт завершён. Если же в обоих случаях получились константы,

то согласно лемме о немонотонной функции, подставляя в функцию f_m ∉ M вместо всех переменных константы и тождественные функции, можно получить отрицание.

Отрицание получено.

b) Получение констант 0 и 1. Имеем f_s ∉ S. Согласно лемме о несамодвойственной функции, подставляя вместо всех переменных функции f_s отрицание (которое получено в пункте a) и тождественную функцию, можно получить константы: [f_s, x ] ∋ [0, 1]. Константы получены.

c) Получение конъюнкции x · y. Имеем функцию f_l ∉ L. Согласно лемме о нелинейной функции, подставляя в функцию f_l вместо всех переменных константы и отрицания (которые были получены на предыдущих шагах доказательства), можно получить либо конъюнкцию, либо отрицание конъюнкции. Однако на первом этапе отрицание уже получено, следовательно, всегда можно получить конъюнкцию:

[f_l, 0, 1, ─x ] ∋ [xy, ─xy]. Конъюнкция получена.

В результате получено, что [f₀ , f₁ , f_m , f_l, f_s] ⊇ [ ─x,xy] = P₂ . Последнее равенство следует из пункта 2 теоремы 4. В силу леммы 2 достаточность доказана.

БИЛЕТ 34

Реализация булевых функций схемами из функциональных элементов.

*учебник*

{

Одно из основных приложений булевых функций лежит в области создания схем функциональных элементов или функциональных схем, которые можно реализовать в виде электронных устройств с конечным числом входов и выходов, причем на каждом входе и выходе может появляться только два значения. Такие устройства собраны из функциональных элементов, генерирующих основные булевы операции.

Соединяя функциональные элементы вместе, мы получаем функциональную схему. С ее помощью можно реализовать любую булеву функцию.

Сложностью схемы из функциональных элементов называется число функциональных элементов в схеме.

}

*лекции*

Дизъюнктор, инвектор.

СФЭ – схемы из функциональных элементов.

F=(f₁, f₂, …, f_m)

L(S) – сложность – количество функциональных элементов в схеме.

L(S) = minL(S) – наименьшее количество элементов, с помощью которых можно построить схему.

L_A(f) = L(S_A(f)) – сложность схемы.

L_A(n) = maxL_A(f), f ϵ . Макс.берется по всем переменным.

Функция Шеннона для А.

L(f) = minL(S)

L(n) = maxL(f)

L_A(n) L(n)

Пусть в СДНФ l (эль) слагаемых.

f = k₁˅k₂˅…˅k_l

Обозначим полученную схему S, тогда

L(S) = L(Dn)+L(Vl)

L(Dn) = 2*2ⁿ + n – 4

l ≤ 2ⁿ

L(Vl)=l - 1≤ 2ⁿ – 1

L(S) ≤ (2*2ⁿ + n - 4) + (2ⁿ - 1) = 3*2ⁿ + n – 5.

БИЛЕТ 35

Реализация дешифратора в классе схем из функциональных элементов (схема для выборки элементов).

*учебник*

{

Дешифратором Qn порядка n называется схема из функциональных элементов с n входами x₁, x₂, …, x_n и 2ⁿ выходами z0, z₁,…, такая, что если |x1x2…xn| = i, то zi = 1 и zj = 0 при i ≠ j.

Заметим, что если i = (i₁, i₂, …, i_n)₂, то z_i(x₁,…,x_n ) = .

Лемма. Существует дешифратор Qn с числом элементов, не превосходящим n2ⁿ⁺¹.

Доказательство. Для реализации каждой z_i достаточно взять ровно n–1 конъюнкций и не более n отрицаний, то есть всего менее, чем 2n функциональных элементов. Всего различных конъюнкций ровно 2ⁿ, и сложность дешифратора не превосходит n²ⁿ⁺¹.

}

*лекции*

Kj=,

k₀ =

k1 =

k2 =

k3 =

Тривиальные методы основаны на автономной реализации элементарных конъюнкций.

БИЛЕТ 36

Универсальные методы синтеза схем из функциональных элементов.

Теорема. Существует метод синтеза схем из функциональных элементов такой, что для любой булевой функции f(x1,…,xn) строится ее реализующая схема S, такая, что

L(S) ≤ 3*2ⁿ + n – 5 , отсюда:

Следствие. L(n) ≤ 3*2ⁿ + n – 5

Замечание.

БИЛЕТ 37

Реализация двоичного сумматора в классе схем из функциональных элементов.

*учебник*

{

Определение. Сумматором S_n порядка n называется схема с 2n входами x₁, x₂, …, x_n, y₁, y₂, …, y_n и n + 1 выходом z₀, z₁, z₂, …, z_n такая, что |z| = |S_n(x,y)| = |x|+|y|.

Теорема. Существует схемный сумматор порядка n в базисе {˅, &, ̚ } с числом элементов 9n – 5. Доказательство. Построим искомый схемный сумматор. Для этого возьмём одну ячейку полусумматора, содержащую четыре элемента и n–1 ячейку сумматора, каждая из которых содержит девять элементов. Построим из этих частей сумматор.

}

*лекции*

Пусть имеются два числа, записанные в двоичном виде.

x =

X1	Y1		Z1
0	0	0	0
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	0

xi	yi			zi
0	0	0	0	0
0	0	1	0	1
0	1	0	0	1
0	1	1	1	0
1	0	0	1	0
1	0	1	1	0
1	1	0	1	0
1	1	1	1	1

Блоки.

Блок Б1.

L(Б1)=4.

Бi, i

Сложность: L(Бi)=9.

L()=.

Теорема. Существует метод синтеза n-разрядного двоичного сумматора такой, что L()=9n-5.

БИЛЕТ 38

Логика высказываний.

Логика высказываний — это определённая совокупность формул, т.е. сложных высказываний, записанных на специально сконструированном искусственном языке. Язык логики высказываний включает:

1. неограниченное множество переменных: А, В, С, …, А1 , В1 , С1 , …, представляющих высказывания;

2. особые символы для логических связок: & — «и», v — «или», V — «либо, либо», ? — «если, то», ? — «если и только если», ~ — «неверно, что»»

3. скобки, играющие роль знаков препинания обычного языка. Чтобы использовать меньшее количество скобок, условимся, что операция отрицания выполняется первой, затем идут конъюнкция и дизъюнкция, и только после этого импликация и эквивалентность.

Формулам логики высказываний, образованным из переменных и связок, в естественном языке соответствуют предложения. К примеру, если А есть высказывание «Сейчас день», В — высказывание «Сейчас светло» и С — высказывание «Сейчас холодно», то формула:

А ? В v С , или со всеми скобками: (А ? (В v С)) ,

представляет высказывание «Если сейчас день, то сейчас светло или холодно». Формула:

В & С ? А , или ((В & С) ? А) ,

представляет высказывание «Если сейчас светло и холодно, то сейчас день». Формула:

~ В ? ~ А , или ((~ В) ? (~ А)) ,

представляет высказывание «Если неверно, что сейчас светло, то неверно, что сейчас день» и т.п. Подставляя вместо переменных другие конкретные (истинные или ложные) высказывания, получим другие переводы указанных формул на обычный язык.

Формула, которой не соответствует осмысленное предложение, построена неправильно.

Таковы, в частности, формулы:

(А ?), ( & В), (A v ВС), ( ~ & ) и т.п.

Каждой формуле логики высказываний соответствует таблица истинности, показывающая, при каких подстановках конкретных высказываний в данную формулу она даёт истинное сложное высказывание, а при каких ложное. Например, формула (~ В ? ~ А) даст ложное высказывание, только если вместо В подставить ложное высказывание, а вместо А — истинное.

Всегда истинная формула логики высказываний, или тавтология, — это формула, дающая истинное высказывание при любых подстановках, в неё конкретных (т.е. истинных или ложных) высказываний.

Иными словами, внутренняя структура тавтологии гарантирует, что она всегда превратится в истинное высказывание, какими бы конкретными высказываниями мы ни заменяли входящие в неё переменные.