6634
.pdfЗадача 10 (А,Б). |
|
Установить тип точки разрыва x0 0 для функций: |
||||||
А) f (x) sin |
1 |
. |
Б) |
f (x) x sin |
1 |
. |
||
|
x |
|
|
|
|
x |
||
Решение. lim sin |
1 |
= lim sin y , такие пределы не существуют |
||||||
|
x |
|||||||
x 0 |
|
|
y |
(бесконечное количество колебаний, ордината не устанавливается ни на каком уровне). Разрыв 2 рода.
А вот при умножении на x получается, что максимумы также уменьшаются к 0, и тогда пределы существуют.
lim |
x sin |
1 |
= 0 (произведение бесконечно-малой на ограниченную |
|||||
x |
||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
||
является бесконечно-малой). |
|
|
|
|
||||
Ответ. А) |
разрыв 2-го рода. |
Б) устранимый разрыв. |
||||||
Графики этих функций sin |
1 |
и x sin |
1 |
выглядят так: |
||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
|
x |
и
Пункт «Повторные и двойные пределы». |
|
|
||
Пусть задана функция двух переменных |
z |
f (x, y) . Возьмём точку |
||
M 0 (x0 , y0 ) на плоскости. |
Можно определить |
понятие предела |
||
функции в данной точке, |
аналогично |
тому, |
как |
это вводили для |
|
|
|
|
41 |
обычных функций одной переменной. Число А называется пределом
функции z |
f (x, y) в точке |
M 0 , если для всякого 0 существует |
|||||
окрестность U точки M 0 , так что если (x, y) U , |
то |
|
f (x, y) A |
|
. |
||
|
|
||||||
Обозначается |
lim f (x, y) - |
двойной предел. Но |
ведь в плоскости |
||||
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
y y0 |
|
|
|
|
|
|
можно приблизиться к этой точке с многих направлений. Ситуаций не две, как на числовой оси (там можно приближаться только слева или справа) а бесконечно много.
Если сначала вычислить предел по x (при этом y пока будет служить
в роли параметра) а затем по |
y , то получим: |
|
|
||
lim lim |
f (x, y) . А если |
||||
|
|
|
|
y y0 x x0 |
|
наоборот, то |
|
|
|
|
«повторные» |
lim lim |
f (x, y) Это так называемые |
||||
|
x x0 y y0 |
|
|
|
|
пределы.
Повторные пределы, как правило, совпадают между собой и равны двойному.
. x 2 y 2 2 в точке (1,1).
Однако, есть примеры, где это не так.
Пример 11. Доказать, что для f (x, y) |
|
xy |
двойной предел не |
|||||||
|
|
|
||||||||
x 2 |
y 2 |
|||||||||
существует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
Решение. Если сначала устремить x 0 |
то |
lim lim |
|
|
|
|
|
= |
||
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x |
y |
2 |
|
||
|
|
|
|
y 0 x 0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
= |
0. |
А если приближаться к точке (0,0) |
по произвольной |
|||||||
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямой |
|
y kx, то можно сначала всё свести к одной переменной, и |
||||||||||||||
затем устремить x 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тогда |
|
|
lim |
|
x(kx) |
= |
lim |
kx2 |
= |
|
k |
. |
Получается, что |
|||
|
|
x 2 |
(kx)2 |
(1 k 2 )x2 |
1 k 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
x 0 |
|
x 0 |
|
|
|
результат зависит от того, с какой стороны приближаться к точке (0,0). Это значит, что, двигаясь к началу координат с разных
42
направлений, точка на поверхности стремится к разным высотам, тогда ни в какой малой окрестности не может быть выполнено
f (x, y) A , т.е. предел не существует. Таким свойством обладает
винтовая поверхность, состоящая из прямолинейных образующих, у которых направление зависит от высоты. Чтобы понять, представьте себе винтовую лестницу в узкой башне: разные ступеньки отходят от общей вертикальной прямой, но с ростом высоты меняется угол поворота.
Практика 19 Повторение.
x 2
3x 4 x2 1
Задача 1. (из Домашнего задания) Найти предел lim . x 1 5x 2
|
|
3x 4 |
x 2 |
|
|
|
3x 4 |
|
x 2 |
|
|
|||
|
x2 |
1 |
|
x2 |
1 |
|
||||||||
Решение. lim |
|
|
|
|
= lim 1 |
|
|
1 |
|
|
= |
|||
|
|
|
5x 2 |
|
|
|||||||||
x 1 |
|
5x 2 |
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
3x 4 |
|
5x 2 |
|
x 2 |
|
|
(3x 4) (5x 2) |
|
|
|
|
|
( x 1)( x 1) |
|
|
||||
lim 1 |
|
|
|
= lim 1 |
|
|
||||
|
|
|
||||||||
x 1 |
|
5x 2 |
|
5x 2 |
x 1 |
|
5x 2 |
|
x 2
( x 1)( x 1) =
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 2 x) |
|
x 2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
5x 2 |
|
(5x 2) |
|
( x 1)( x 1) |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 2x |
( x 1)( x 1) |
|
|
2 2x |
2 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x 1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
5x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 2 x) |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 2x) |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
lim e |
(5x 2) ( x 1)( x 1) = exp lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
(5x 2) (x 1)(x 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
(x 2) |
2(1 x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 2) |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
exp lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
exp lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
x 1 (5x 2)(x 1) |
|
|
|
x 1 (5x 2)(x 1) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
exp |
|
|
|
|
|
|
= |
e |
7 . |
|
|
|
Ответ. e |
7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
7 |
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
№ 2. (Из домашнего задания). Найти предел lim |
x 2 |
|
30 x 29 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x 2 |
|
50 x |
49 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
43
Решение. lim |
x 2 |
|
30 x 29 |
= |
|||||
x 2 |
|
|
50 x 49 |
||||||
|
|
|
x 1 |
|
|
||||
|
1 29 |
= |
28 |
= |
|
7 |
|
. Ответ. |
|
|
1 49 |
48 |
12 |
||||||
|
|
|
|
|
lim |
(x 1)( x 29) |
= lim |
(x 29) |
= |
|
(x 1)( x 49) |
(x 49) |
||||
x 1 |
x 1 |
|
127 .
Повторим ещё с помощью нескольких примеров, приведённых в конце пособия в приложении 1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 3. Вычислить предел |
|
lim ( |
|
|
n2 6n 1 n) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( n2 |
6n 1 n)( n2 6n 1 n) |
|||||||||||||||||||
Решение. lim ( |
|
|
n2 6n 1 n) |
= lim |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
( n2 6n 1 n) |
|||||||||||||||||||
= lim |
(n2 6n 1 n2 ) |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
6n 1 |
|
|
|
сократим на n. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
n ( n2 6n 1 n) |
n ( n2 6n 1 n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
= |
lim |
|
|
|
n |
|
|
= |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n |
|
|
|
n |
2 |
|
6n 1 |
|
|
|
n |
|
|
|
n |
2 |
|
6n 1 |
|
|
|
n |
6 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 0 |
|
|
|
6 |
3 . |
|
|
Ответ. 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 0 0 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
№ 4. Вычислить предел |
lim |
x |
2 |
|
3x 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
|
|
5x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. lim x 2 3x 2 x 2 x 2 5x 6
Ответ. 1.
№ 5. Вычислить предел
=lim (x 2)( x 1) x 2 (x 2)( x 3)
lim |
sin 5x |
. |
|
|
|||
x3 2x 2 x |
|||
x 0 |
|
= lim |
x 1 |
= |
1 |
|
1. |
|
x 3 |
1 |
|||||
x 2 |
|
|
Решение. lim |
sin 5x |
|
= lim |
|
|
sin 5x |
= |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
x3 2x 2 x |
|
|
2 |
2x 1) |
|||||||||
|
|
x 0 |
x 0 x(x |
|
|||||||||
lim |
sin 5x |
lim |
|
5 |
= 1 |
5 |
|
5 . |
|
Ответ. 5. |
|||
x 0 |
5x |
x 0 (x 2 2x 1) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
44
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x 1 |
|
x 3 |
|
|
№ 6. Вычислить предел lim |
|
|
. |
|||
2x 2 |
||||||
x 3 |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
Решение. lim |
|
|
|
|
|||
x 3 |
|
2x 2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
x 3 |
|
|||
|
= lim 1 |
|
|
1 |
|
2x 2 |
|||
|
x 3 |
|
|
x
x 3 =
|
|
x 1 |
|
2x 2 |
|
lim 1 |
|
|
|
||
|
|
||||
x 3 |
|
2x 2 |
|
2x 2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
|
x 3 |
|
|||
|
= lim 1 |
|
|
|
|
|
|||
|
x 3 |
|
2x 2 |
x
x 3 =
lim 1 x 3
3 x
2x 2
2 x 2
3 x
3 x x |
|
|
|
|
|
|
|
2 x 2 x 3 |
lim |
(3 x)x |
lim |
x |
|
34 . |
|
|
|
(2x 2)(x 3) |
(2x 2) = e |
||||
|
|
= ex 3 |
= ex 3 |
Ответ. e 34 .
Контрольная 45 минут.
9 Предел последовательности
10 Предел функции, с неопределённостью 0/0.
11Предел функции, 1-й замеч. lim
12Предел функции, 2-й замеч. lim
45
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Практика 20 (2 декабря у обеих групп).
Основные правила дифференцирования, таблица производных.
Вводная часть. Таблица производных. Степенные функции. (x a ) axa 1 .
В частности, отсюда можно вывести:
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||
1) |
x |
|
|
|
|
. 2) |
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
x 2 |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 x |
|
x |
|
|
|
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пусть a 1/ 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Тогда |
x |
2 |
|
= |
|
|
|
|
x |
|
|
|
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть a 1. |
|
Тогда |
x 1 |
= |
( 1)x 2 |
= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Показательные. |
(a x ) a x ln a |
в частности, |
(e x ) e x ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Логарифмические. (loga x) |
|
|
log a e |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
, в частности, |
(ln x) |
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
x ln a |
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Тригонометрические. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
(sin x) cosx ; |
|
(cosx) sin x ; |
|
(tgx) |
|
; |
(ctgx) |
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos2 x |
sin 2 x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Обратные тригонометрические: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(arctgx) |
|
|
|
; |
(arcctgx) |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 x2 |
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
(arcsin x) |
|
|
1 |
|
|
|
; (arccos x) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Гиперболический синус и косинус: |
|
|
(shx) chx |
|
и |
(chx) shx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Здесь повтор производных будет не через 4 шага, как для обычных |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
синуса и косинуса, а через 2 шага. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ex e |
x |
|
|
ex |
|
e |
x |
|
ex |
e x |
|
ex e x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46
Задача 1. С помощью определения доказать, что (sin x) cosx .
Решение. |
lim |
sin(x x) sin(x) |
= |
|
|
|
|||
|
|
||||||||
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
||
lim |
sin(x) cos(x) cos(x) sin(x) sin(x) |
= |
|
||||||
|
|
||||||||
x 0 |
|
x |
|
|
|
|
|||
sin(x) lim |
(cos(x) 1) |
cos(x) lim |
sin(x) |
|
= |
||||
|
x |
x |
|||||||
|
x 0 |
|
x 0 |
|
воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени
2sin 2 |
a |
1 cosa : |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(x) |
|
|
sin(x) lim |
|
|
|
2 |
cos(x) lim |
= |
|||
x |
|
x |
|||||||
x 0 |
|
x 0 |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
sin( x) |
|
= 2sin(x) lim |
|
2 |
cos(x) lim |
= |
|
|
x |
x |
|||
x 0 |
|
x 0 |
|
= 2sin(x) 0 cos(x) 1 = cos(x) . Ответ. (sin x) cosx .
Задача 2. Вычислить производную от функции f (x) sin 4 x . Решение. Здесь композиция функций, внутренняя - синус, внешняя -
степенная. sin 4 x = 4sin3 x sin x = 4sin 3 x cos x .
Ответ. 4sin 3 x cos x .
Задача 3. Найти производную от f (x) ln cos(x 2 4) . Решение. Здесь композиция трёх функций. Сначала действует
степенная и переводит x в x2 4 , затем вычисляется косинус, а от этого выражения зависит логарифм.
47
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ln cos(x2 4) = |
|
|
cos(x 2 |
4) |
= |
||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
cos(x 2 4) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
( sin(x 2 4)) x 2 4 |
= sin(x |
2 |
4) 2x , что можно |
|||||
|
|
|||||||||
|
cos(x 2 |
|
|
|||||||
|
4) |
|
|
|
|
cos(x2 4) |
||||
записать в виде 2x tg(x 2 |
4) . |
|
|
|
|
|||||
Ответ. 2x tg(x 2 |
4) . |
|
|
|
|
|
|
Задача 4. Найти производную функции f (x) x 5 .
Решение. Способ 1. Можно рассматривать как композицию, тогда:
|
|
5 |
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
5 x2 |
5 |
3 2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x |
|
|
= 5 x |
|
|
x |
= 5x |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
x |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
2 |
|
|
x |
2 |
|
|
Способ 2. Можно рассматривать сразу как степенную функцию с
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
дробной степенью, тогда решение такое: |
x |
2 |
|
= |
|
|
x |
2 . |
|
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Как мы видим, двумя способами получаем одно и то же. |
||||||||||||||||||||
Ответ. |
5 |
x 3 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 5. Найти вторую производную tgx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение. Сначала найдём 1-ю производную. (tgx) |
|
|
sin x |
|||||||||||||||||
= |
|
|
= |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
||||
= |
(sin x) cosx (cosx) sin x |
= |
cosx cosx ( sin x) sin x |
|
= |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
cos2 x |
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
cos2 x sin 2 x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
cos2 x |
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А теперь есть 2 способа. Во-первых,можно рассматривать как дробь,
u |
|
|
|
|
||
|
u v v u |
|
||||
и вычислять по правилу |
|
|
|
|
. |
|
|
|
v 2 |
||||
v |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 cos2 |
x 1 (cos2 |
x) |
|
2 cos x ( sin x) |
|
2sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
cos4 x |
= |
|
|
. |
|
|
|
|
cos4 x |
|
cos3 |
|
|||||||
cos2 |
x |
|
|
|
|
|
x |
|
48
А во-вторых, можно эту функцию рассматривать в виде cos 2 x , то есть композицию (cos x) 2 и тогда:
(cosx) 2 = 2(cosx) 3 cosx = 2(cos x) 3 sin x = 2sin x . cos3 x
Как мы видим, двумя способами получаем одно и то же.
Ответ. 2sin x . cos3 x
Задача 6. Найти производную от f (x) ln( x3 ) tg(x) .
Решение. Здесь произведение, причём в одном из множителей есть композиция.
ln(x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= tg(x) ln( x |
3 |
|
|
ln( x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
) tg(x) |
|
) |
|
|
) tg(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 2 |
|
|
ln( x3 ) |
|
|
3tg(x) |
|
|
ln( x3 ) |
|
||||||||||||
tg(x) |
x3 |
ln( x3 ) |
|
|
|
|
|
|
= |
tg(x) |
|
= |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x3 |
|
cos2 |
|
|
x3 |
|
|
cos |
2 x |
|
|
x |
|
cos2 |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Ответ. |
3tg(x) |
|
ln( x3 ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 7. |
Найти производную от функции f (x) |
sin( |
x ) |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(x2 ) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin( |
x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ) cos(x 2 ) sin( |
|
x ) cos(x 2 ) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
(x |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos( |
|
|
x ) |
|
|
|
|
cos(x2 ) sin( |
|
|
x ) sin(x2 ) 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Каких-либо |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 (x2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
существенных упрощений в этом выражении добиться невозможно.
Использовать формулу cos cos sin sin cos( ) тоже нельзя, ведь там коэффициентами при них служат разные функции,у одной корень а у другой 2x .
49
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
cos( x ) cos(x2 ) 2x sin( |
x ) sin(x2 ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ. f (x) |
2 x |
||||||||||
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
cos2 (x2 ) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 8. Найти производную от f (x) x x .
Решение. Здесь нельзя применять формулу степенной функции, ведь в показателе тоже есть переменная. Но нельзя и формулу показательной функции, т.к. в основании тоже есть переменная. Единственным выходом здесь является логарифмирование, чтобы x
соатлось только в степени. Основание может быть представлено в |
|||||||||||||||||||||||||
виде x eln x . Тогда |
f (x) x x |
= eln x x |
= e x ln x . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
e |
x ln x |
= e |
x ln x |
|
|
|
|
|
= e |
x ln x |
x (ln x) x ln x = |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x ln x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x ln x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ln x |
|
x |
|
|
e |
|
x |
|
1 |
ln x а теперь можем заменить обратно e |
|
на x |
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После приведения подобных, получим x x 1 ln x . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Ответ. |
|
f (x) x x (1 ln x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Перерыв в середине пары |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Задача 9. Найти 1 и 2 производную от |
f (x) |
|
x 1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(x 1) (x |
4) (x 4) (x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||
|
4 |
|
|
|
|
(x 4)2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 4) (x 1) |
= |
|
3 |
, что можно записать в виде 3(x 4) 2 . |
||||||||||
|
(x 4)2 |
(x |
4) 2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
Вторая производная: |
3(x |
4) 2 |
= 6(x 4) 3 |
= |
|
|
. |
||||||||
(x 4) |
3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ. f |
(x 4) (x 1) |
, |
f |
6 |
. |
|
|
|
|
||||||
|
(x 4)3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
(x 4)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
50