Колебания и волны

Промежуток времени 1 , в течение которого амплитуда

затухающих колебаний уменьшается в е раз (e 2,71828 – основание натурального логарифма), называется временем релак-

сации.

Логарифмическим декрементом затухания называется безразмерная величина δ, равная натуральному логарифму отношения значений амплитуды затухающих колебаний в моменты времени t и t + T (Т – условный период колебании):

где N – число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз.

Связь между циклической частотой ω затухающих колебаний системы и логарифмическим декрементом затухания δ:

Добротностью колебательной системы называется без-

размерная физическая величина Q, равная произведению 2π на отношение энергии W t колебания системы в произвольный

момент времени t к убыли этой энергии за промежуток времени от t до t T, т. е. за один условный период затухающих колебаний:

W t

Q 2 W t W t T .

Поскольку энергия W t пропорциональна квадрату ампли-

туды колебаний A t , то

При малых значениях логарифмического декремента зату-

хания δ добротность колебательной системы Q . При этом

условный период затухающих колебаний Т практически равен

20

периоду T0 свободных незатухающих колебаний, так что

Q 0 . Например, добротность пружинного маятника

T0 2

определяется как Q 1km. b

При большом коэффициенте затухания происходит не только быстрое уменьшение амплитуды, но и заметное увеличение периода колебаний. Когда сопротивление становится равным критическому, т.е. 0, то круговая частота обращается в нуль

( 0), колебания прекращаются – это апериодический процесс

(рис. 1.11).

s

t

Рис. 1.11

Отличия в следующем: при затучающих колебаниях тело, возвращающееся в положение равновесия, имеет какой-то запас кинетической энергии, в случае же апериодического движения энергия тела при возвращении в положение равновесия оказывается израсходованной на преодоление сил трения.

1.1.5. Вынужденные механические колебания

Переменная внешняя сила, приложенная к системе и вызывающая ее вынужденные механические колебания, называется

вынуждающей, или возмущающей, силой.

происходящих вдоль оси ОХ под влиянием переменной внешней силы F t , имеет вид

d22x 2 dx 02x 1 Fx t .

dt dt m

21

Если Fx t – периодическая функция времени, то после

приложения этой силы к маятнику вначале возникает переход-

ный режим вынужденных колебаний. Маятник одновременно участвует в двух колебаниях:

x x1 t x2 t .

Первое слагаемое соответствует свободным затухающим колебаниям маятника:

Второе слагаемое соответствует незатухающим периодическим колебаниям маятника с частотой, равной частоте возмущающей силы Fx t .

Амплитудное значение x1 t , равное A0e t , более или ме-

нее быстро уменьшается после начала вынужденных колебаний:

( 0 ) свободные колебания маятника практически прекраща-

ются: x t x2 t . Маятник переходит в состояние установив-

шихся вынужденных колебаний, совершающихся с частотой возмущающей силы.

Если возмущающая сила изменяется по гармоническому закону, т. е. Fx F0 cos t , то установившиеся вынужденные колебания маятника также являются гармоническими с частотой x Acos t 0 ,

где – частота вынужденных колебаний.

Амплитуда этих колебаний А и сдвиг фаз 0 между смещением и возмущающей силой зависят от соотношения между циклическими частотами вынужденных колебаний и свободными незатухающими колебаниями маятника 0 :

22

статическое смещение маятника из положения равновесия под действием постоянной силы Fx F0 . При амплитуда

A 0 и tg 0 0, а 0 . Графики зависимости A

при различных значениях коэффициента затухания 1 2 3

показаны на рис. 1.12.

A

1=0

2

3

A0

0

Рис. 1.12

Амплитуда смещения в случае установившихся вынужденных гармонических колебаний маятника достигает максимума при циклической частоте колебаний

P 02 2 2 2 2 ,

где – циклическая частота свободных затухающих колебаний маятника. Частота P называется резонансной. Максимальная амплитуда

маятника, а A0 – статическое смещение.

23

Резкое возрастание амплитуды вынужденных механических колебаний при приближении циклической частоты возмущающей силы к значению P называется явлением механического резонанса. Соответственно графики зависимости А от , изображенные на рис. 1.12, называются резонансными кривыми.

По мере увеличения коэффициента затухания β пики на резонансных кривых быстро сглаживаются (при малых β амплиту-

да Amax 1 ), а резонансная частота медленно уменьшается.

Скорость маятника при установившихся вынужденных гармонических колебаниях

tg ctg 0 02 2 . 2

Амплитуда скорости максимальна при 0 и имеет вид

В этом случае 0, т.е. скорость маятника колеблется в одной фазе с возмущающей силой. При амплитуда A 0

Ускорение маятника при установившихся вынужденных гармонических колебаниях

ax ddt22x A 2 cos t 0 Aa cos t .

24

Здесь Aa A 2 и 0 – амплитуда ускорения и сдвиг фаз между ускорением и возмущающей силой, причем

1.2. Примеры решения задач

Механические колебания

Задача 1

Материальная точка колеблется по гармоническому закону, при этом максимальное отклонение ее от положения равновесия равно 6 см, а полная энергия колебаний 8,51·10–4 Дж. При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила, равная 8,46·10–4 Н?

Ускорение точки можно определить как

a d2x, dt2

25

где x Asin t 0 – смещение точки в любой момент време-

ни t (закон изменения координаты). После взятия двух производных имеем:

a A 2 sin t 0 2x.

Подставим получившееся выражение для а в формулу (1), получаем

Полная энергия свободных колебаний не изменяется с течением времени t и может быть найдена по формуле

Ответ: х = 1,789·10–3 м.

Задача 2

Шарик, подвешенный на длинной нити, совершает гармонические колебания с частотой 4 Гц. Через сколько секунд после начала движения кинетическая энергия шарика в первый раз будет равна потенциальной, если начальная фаза равна 12 ?

Решение

При малых углах отклонения колебания математического маятника можно описать с помощью уравнений, справедливых для материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания.

Следовательно, кинетическая и потенциальная энергия определяются следующими выражениями:

WК 1m 2A2 1 cos 2 t 2 0 ;

4

26

WП 1m 2A2 1 cos 2 t 2 0 . 4

Из условий задачи:

WК WП 1 cos 2 t 2 0 1 cos 2 t 2 0

Задача 3

Во сколько раз уменьшится полная энергия колебаний маятника за 1 мин, если логарифмический декремент затухания равен 0,00752? Период колебаний равен 3 с.

где A A0 exp t – амплитуда колебаний (для данной задачи – амплитуда затухающих колебаний).

Тогда отношение энергии через момент времени, равный t1,

Для нахождения коэффициента затухания β воспользуемся следующей формулой:

T .

T

27

В итоге получаем:

Ответ: W0 1,351.

W1

Задача 4

Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 3 мин уменьшилась в 6 раз. Во сколько раз она уменьшится за 7 мин?

A

Подставляя время t1, найдем коэффициент затухания β:

Введя коэффициент затухания β в формулу (1), найдем искомое отношение амплитуд:

Задача 5

На чашку весов массой М, подвешенную на пружине с жесткостью k, с высоты h падает небольшой груз массой m. Удар груза о дно чашки является абсолютно неупругим. Чашка в резуль-

28

тате падения груза начинает совершать колебания. Определить амплитуду этих колебаний.

Скорость чашки с грузом после удара можем определить с помощью закона сохранения импульса:

При ненагруженной чашке

В начальный момент времени пружина растянута на длину l вследствие веса чашки, причем Mg kl.

Положению равновесия чашки будет соответствовать смещение:

l Mg – начальное растяжение пружины. k

По закону сохранения энергии:

1 m M v2 m M g x0 l x0 kxdx, 2

l

где x0 – максимальное растяжение пружины.

Решаем уравнение относительно x0:

29