лекции / Лекция 1 по ИТ для очников Типы СС_2022
.docx
|
Курс лекций по дисциплине «Информационные технологии» для студентов очной формы обучения |
||||
Лекция № 1 |
Блок 1: «Арифметические операции в различных позиционных системах счисления над числами, представленными в алгебраической форме» |
||||
Тема 1.1: «Типы систем счисления» |
|||||
Курс – 34 акад.часа |
Выпуск 1 |
Изменение 0 |
Экземпляр № 1 |
Лист |
Литература:
Акулов О.А. Информатика. Базовый курс. Учебник для вузов / О.А. Акулов, Н.В. Медведев. – 8-е изд., испр. и доп. – М.: Омега-Л, 2013. – 574 с. – (Высшее техническое образование) – ISBN: 978-5-370-02604-1.
Савельев А.Я. Арифметические и логические основы работы цифровых автоматов. Учебник / А.Я. Савельев. – М.: Высш. Школа, 1980.– 255 с., ил.
Сенкевич А.В. Архитектура ЭВМ и вычислительные системы. Учебник / А.В. Сенкевич. – М.: Академия, 2014. – 240 с. – ISBN: 978-5-7695-6462-8.
Цель курса:
Целью данного курса является изучение арифметических основ работы компьютера и создание базы для изучения студентами последующих дисциплин: «Организация и архитектура ЭВМ и систем», «Теория автоматов».
Введение
В вопросах организации обработки информации с помощью ЭВМ важное место занимает кодирование информации.
Поскольку при кодировании сигнала используются различные системы счисления, в рамках данного курса, рассматриваются те из них, которые применимы в современной вычислительной технике, правила перевода из одной системы счисления в другую, арифметические правила сложения, вычитания, умножения и деления в различных позиционных системах счисления, а также особенности представления чисел в виде машинных кодов, проблемы и методы аппаратной реализации арифметических операций (машинная арифметика).
Вообще, материал данного курса можно разделить на два отдельных блока:
арифметические операции в различных позиционных системах счисления над числами, представленными в алгебраической форме;
аппаратная реализация арифметических операций над числами, представленными в машинных кодах.
Блок 1. Арифметические операции в различных позиционных системах счисления над числами, представленными в алгебраической форме (ПСС).
Типы систем счисления
Система счисления (СС) – это совокупность приемов и правил, по которым, числа записываются и читаются. |
Различают два основных типа систем счисления:
непозиционные системы счисления;
позиционные системы счисления.
Непозиционная система счисления (НСС) – это система счисления, в которой для обозначения чисел вводятся специальные символы – цифры, численное значение которых (вес цифры) всегда одинаково и не зависит от их позиции в записи числа. |
Ярким примером непозиционных систем счисления можно считать римскую систему счисления. В римской системе счисления для записи чисел используются следующие 7 букв латинского алфавита:
Буква латинского алфавита |
Число |
I |
один |
V |
пять |
X |
десять |
L |
пятьдесят |
C |
сто |
D |
пятьсот |
M |
тысяча |
Порядок написания чисел в римской СС такой: сначала записываются число для тысяч, затем число для полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятёрок и единиц, при этом для записи чисел используются правила:
каждая меньшая цифра, поставленная слева от большей, вычитается из неё:
каждая меньшая цифра, поставленная справа от большей, прибавляется к ней.
в записи числа не может быть более трёх одинаковых знаков.
Например, запись в римской СС десятичного числа 4672, записанного арабскими цифрами, выполняется следующим образом:
672 = 600 + 70 + 2
600 записываем, как – DC;
70 записываем, как – LXX;
2 записываем, как – II.
Объединяем записи и получаем, что десятичное число 4672 в римской СС выглядит следующим образом: MMMMDCLXXII.
Из данного примера видно, что веса цифр в римской системе счисления никак не зависят от их позиции в записи числа: M – всегда означает просто тысячу, X – всегда просто 10 и т.д.
В римской СС для того, чтобы выделить число в тексте сверху или снизу или и там и там ставили черту, например:
______________ ______________
MMMDCLXXII, MMMDCLXXII, MMMDCLXXII
Позиционная система счисления (ПСС) – это система счисления, в которой вес каждой цифры изменяется в зависимости от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. |
Например, в десятичном числе 737,7 первая семёрка означает 7 сотен, вторая семёрка означает 7 единиц, а третья семёрка – 7 десятых долей единицы.
Сама же запись числа 737,7 означает сокращенную запись выражения:
737,710 = 7*102+3*101+7*100+7*10-1 = 700+30+7+0,7 = 737,710
Любая ПСС характеризуется своим основанием и алфавитом.
Основание ПСС – количество различных цифр используемых для изображения чисел в данной СС. |
В том случае, если одновременно используется несколько позиционных систем счисления, принято обозначать основание ПСС в виде подстрочного индекса справа от числа, например 10010 или 1008 или 1002 и т.д., для того чтобы иметь возможность различать числа различных ПСС. Когда же используется только десятичная СС, то подстрочный индекс для обозначения основания СС не пишется, в этом случае число считается десятичным по умолчанию.
Алфавит ПСС – совокупность всех символов, которые используются для отображения цифр в данной системе счисления. Как правило, это арабские цифры от 0 до 9, и, если этого недостаточно, тогда ещё к ним добавляются буквы латинского алфавита. |
За основание ПСС можно принять любое натуральное число, начиная с числа 2 и далее по возрастающей.
Запись чисел в каждой из ПСС с основанием q означает сокращенную запись выражения:
an-1*qn-1 + an-2*qn-2+…+ a1*q1 + a0*q0 + a-1*q-1 + … + a-m*q-m ,
где ai – цифры из алфавита системы счисления;
n и m – число целых и дробных разрядов соответственно.
Во всех современных ЭВМ используются именно позиционные системы счисления, в которых число представляется в виде последовательности цифр, позиции каждой из которых присвоен определённый вес.
Например, величину А 4-разрядного десятичного целого числа а3а2а1а0 можно получить следующим образом:
А = а3*103 + а2*102 + а1*101 + а0*100.
Из этой записи видно, что, что вес каждой цифры аi равен 10i.
Например, величина числа 765310 может быть представлена в следующем виде:
765310 = 7*1000 + 6*100 + 5*10 + 3*1.
Для того, чтобы отображать дробные десятичные числа или смешанные десятичные числа, т.е. оперировать как положительными, так и отрицательными степенями числа 10, в десятичной системе счисления используют десятичную точку, которая разделяет целую и дробную части числа. Для двоичной ПСС такую точку, следует называть двоичной точкой, для восьмеричной ПСС восьмеричной точкой и т.д.
Таким образом, абстрактное десятичное число а1а0.а-1а-2 имеет значение:
А10 = а1*101 + а0*100+а-1*10-1 +а-2*10-2
Если же речь идет о двоичной, восьмеричной или шестнадцатеричной ПСС, то тогда:
А2 = а1*21 + а0*20+а-1*2-1 +а-2*2-2
А8 = а1*81 + а0*80+а-1*8-1 +а-2*8-2
А16 = а1*161 + а0*160+а-1*16-1 +а-2*16-2
Итак, в любой ПСС позиция каждой цифры ai имеет вес qi,
где q – основание позиционной системы счисления, общая форма форма записи чисел в таких системах выглядит следующим образом:
аn-1 аn-2 … а1а0.а-1а-2…а-m
где n – число цифр целой части числа, m – число цифр дробной части числа.
Значение числа представляет собой сумму произведений отдельных цифр алфавита ПСС на основание ПСС в соответствующей степени:
Аq = ∑ ai * qi
–m ≤ i ≤ n–1
В случае отсутствия точки в числе предполагается по умолчанию, что она находится справа от правой крайней цифры, т.е. число является целым.
Любое число в ПСС, если не учитывать возможных нулей в крайних позициях (разрядах) целой и дробной части числа, представляется единственным образом, т.е. число 28.34 равно числу 00028.34000.
Крайняя слева значащая цифра (2) в таком числе называется цифрой старшего разряда, а крайняя справа значащая цифра (4) – цифрой младшего разряда. Нули, стоящие в крайних позициях записи смешанного числа, не являются значимыми.
Для наглядности обозначения системы счисления, в которой записано данное число, используется подстрочный индекс в записи числа.
Например:
Разряды 3 2 1 0 -1
Число 1 0 1 1.12= 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*21 + 1*2-1 = 11.510
Разряды 2 1 0 -1 -2
Число 2 7 6.5 28= 2*82 + 7*81 + 6*80 + 5*8-1 + 2*8-2 = 190.6610
А10 = 13510 = 1*102 + 3*101 + 5*100 = 13510
А8 = 1358 = 1*82 + 3*81 + 5*80 = 9310
А16 = 13516 = 1*162 + 3*161 + 5*160 = 30910