![](/user_photo/_userpic.png)
1465
.pdf![](/html/65386/197/html_w0J2Y3_6b8.FFpb/htmlconvd-aTypnS51x1.jpg)
Пренебрегая силовым взаимодействием компонент f1 = f2 = 0 , получим, что при наличии химических превращений одной компоненты
в другую mi ≠ 0 , m1 = −m2 = m из |
последнего |
соотношения следует |
m1v1 + m2 v2 = m1 (v1 − v2 ) = 0 , то есть |
v1 = v2 . Но |
c1v1 + c2 v2 = c1v1 + c2 v1 = |
= (c1 + c2 )v1 = v1 = 0 , тогда от уравнений баланса массы и количества движения останутся только соотношения для массы
∂ c1 /∂ t= m / ρ (или ∂ c2 /∂ t= − m / ρ ),
где скорость реакции m в общем случае является некоторой функцией концентрации. При рассмотрении не слишком больших интервалов времени течения реакции можно принять, что m = kc2 = k(1 − c1 ) , где k > 0
соответствует распаду второй компоненты и ее превращению в первую. В этом случае имеем
c = c e−kt /ρ |
, c =1 − c e−kt /ρ |
= 1 − (1− c )e−kt /ρ |
, |
||||
2 |
2 |
0 |
1 |
2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
где ci0 – начальные концентрации компонент. В более сложных случаях
скорость реакции может быть пропорциональна уже появившемуся веществу, тогда m = k c1 (1 − c1 ) и решение принимает вид
c1 = ekt /ρ − eA , A = const .
Учитывая силовое взаимодействие компонент, считая, что все введенные поля однородно распределены в объеме, получим
|
∂ c1 |
= m / ρ , |
∂ |
|
|
(c v ) = c f + mv / ρ , |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
∂ |
t |
|||||||||
|
∂ t |
1 |
1 |
1 1 |
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∂ c2 |
= −m / ρ , |
|
∂ |
|
|
(c v ) = c f − mv / ρ , |
|||||||
|
∂ |
t |
|
||||||||||
∂ t |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть для изменения скоростей взаимодействующих компонент в однородном неподвижном объеме в отсутствие внешних массовых сил получаем уравнения
∂ v1 |
= f , |
∂ v2 |
= f . |
|
∂ t |
∂ t |
|||
1 |
2 |
|||
|
|
Силы взаимодействия компонент некоторым образом зависят от концентраций. Для каждого конкретного случая эта зависимость должна устанавливаться из физического анализа механизмов взаимодействия фаз.
51
![](/html/65386/197/html_w0J2Y3_6b8.FFpb/htmlconvd-aTypnS52x1.jpg)
Запишем далее общий вид плотности полной энергии элементарного материального объема как сумму механической и внутренней u энергий:
e = |
v v |
+U + u , |
(1.81) |
|
|||
2 |
|
|
где u – массовая плотность внутренней энергии; U – массовая плотность
потенциальной энергии внешних сил. Сумма v v +U является плотно- 2
стью механической энергии тела. Для задания внутренней энергии в каждом конкретном случае потребуются дополнительные соображения, следующие из физического анализа идущих в системе процессов. Материальная производная
e = v v +U + u |
(1.82) |
может быть переписана с использованием уравнения движения (1.70). Здесь обычно принимается предположение о потенциальности массовых сил
|
|
f e = − |
U |
(1.83) |
||
и их независимости от времени |
|
|
|
|||
|
|
∂ U /∂ |
t= |
0 . |
(1.84) |
|
Тогда f e v = − U |
dr= − |
dU≡ |
− |
U . Примеры массовых сил – грави- |
||
|
dt |
dt |
|
|
|
тационные, электромагнитные и силы инерции. В общем случае они могут не быть потенциальными и могут меняться со временем.
Используем для произвольного тензора второго ранга А и вектора а тождество (A a)= ( A) +a A : ( a)T . Умножив (1.82) на ρ и подставив в него уравнение движения вместе с (1.84), получим
ρ u= − (J+ σ v+) σ: ( v)T . (1.85)
e
Согласно структуре уравнения баланса произвольной физической величины в правой части стоит дивергенция потока и источник внутренней энергии. Так что поток внутренней энергии определяется как
Ju |
= Je + σ v , |
(1.86) |
а источник – как |
|
|
Pu |
= σ: ( v)T . |
(1.87) |
52
Для многокомпонентной среды уравнение движения каждой компоненты представляется в виде
∂ (ρ n vn ) |
= (σn− ρ |
n vn vn+) ρ |
n+fneρ +nfn* mn vn , |
(1.88) |
|
||||
∂ t |
|
|
|
где fn* – массовая сила, вызванная взаимодействием компонент смеси.
Предположим, что элементарный материальный объем находится в равновесном состоянии. Записывая для него первое начало термодинамики (или расшифровывая поток в уравнении баланса полной энергии)
de = dae + dU + dq + dq** , |
(1.89) |
где dae + dU – удельная работа внешних сил над рассматриваемым объемом (включая его квазитвердое перемещение); dq** – дополнительный
приток энергии за счет причин, отличных от работы макроскопических сил и теплообмена dq (например, за счет обмена массой или химических реакций), и переходя к материальной производной с использованием уравнения баланса тепла (1.73) и (1.81), получим
ρ u = ρ ae − Jq+ Pq+ ρ q** − ρ v v . |
(1.90) |
По теореме живых сил в действительном движении дифференциал кинетической энергии ρ v v материального объема равен сумме элементарных работ внешних массовых, внутренних массовых, внешних поверхностных и внутренних поверхностных сил на перемещениях dr = vdt , то есть (получается с использованием уравнения движения (1.70))
d ( v v / 2) = f vdt + ρ −1 (σ v)d−t ρ −1 σ: ( v)Тdt , |
|
|
где f vdt – удельная мощность внешних массовых сил, |
ρ −1 |
(σ v) – |
удельная работа внешних поверхностных сил, а −ρ −1σ: ( |
v)Т – |
удель- |
ная работа внутренних поверхностных сил, то есть удельная работа внешних сил есть
dae = d ( v v / 2) + ρ −1σ: ( v)Тdt . |
(1.91) |
В отсутствие dq** и объемных источников тепла, при выполнении (1.83) и (1.84), получим
53
|
ρ u= − |
(J+e |
σ v+) σ: ( v)Т, |
|
|
|
J+q ρ |
a−eρ v v, |
|
|
ρ u= − |
(1.92) |
||
|
ρ ae= ρ v |
v+ |
σ: ( v)Т. |
|
|
|
|
|
|
Откуда следует, что |
Jq |
= Ju |
= Je + σ v . |
(1.93) |
Далее для задания внутренней энергии (или же количества тепла) необходимы дополнительные предположения и представления о происходящих в среде физических процессах, после чего автоматически будет определенной и полная энергия. В состоянии локального термодинамического равновесия элементарного материального объема определяется понятие температуры Т, как меры его нагретости, которая может быть измерена некоторым прибором (термометром). Как говорится в [10], ситуация, когда локально нельзя определить температуру (и другие термодинамические переменные и потенциалы), является скорее исключением. Способность материального объема поглощать тепло описывается с помощью функции s – энтропии:
q = Ts . |
(1.94) |
Последнее равенство является определением энтропии как величины, сопряженной измеряемой величине – температуре. Аналогично можно смотреть и на определяющие соотношения, которые сопоставляют измеряемой характеристике – тензору деформаций – тензор напряжений. Помимо замыкания системы фундаментальных законов, определяющие соотношения позволяют экспериментально проверить правильность теории, используемой при их выводе. Определение энтропии в термодинамике носит название второго начала и записывается в виде связи dq = Tds , причем производство энтропии разделяют на производство за
счет внешних причин и за счет внутренних причин, а последнее всегда является неотрицательной величиной.
Соотношение (1.94) после задания вида внутренней энергии позволяет записать уравнение баланса энтропии и выделить источник – производство энтропии за счет внутренних процессов. Отметим, что сделать это однозначно не всегда возможно, и от того, что переходит в поток, а что – в источник, существенно зависит результат. Неотрицательность производства энтропии в системе с использованием соотношений взаимности Онзагера и принципа Кюри [6] применяется для записи линейных
54
![](/html/65386/197/html_w0J2Y3_6b8.FFpb/htmlconvd-aTypnS55x1.jpg)
определяющих соотношений. Подобную схему можно использовать и для многокомпонентных сред.
Будем рассматривать среду без внутренних моментов, тензор напряжения Коши, входящий в записанные выше соотношения, симметричен, то
есть σ: ( v)T= σ: D , где D – тензор деформации скорости, тогда |
|
ρ u = − Jq+ Pq+ σ: D+ ρ q** . |
(1.95) |
Структуру внутренней энергии для многокомпонентной деформируемой среды запишем в форме, подобной записи скорости изменения кинетической энергии – через мощность некоторых сил. Они называются обобщенными термодинамическими силами (не обязательно имеют размерность обычных сил), а соответствующие (сопряженные) им параметры называют обобщенными координатами. На этом этапе учитываются возможные процессы немеханической природы, происходящие в среде, – электропроводность, химические реакции, фазовые или другие превращения:
|
1 |
|
N |
|
|
u = q + |
σ: ε |
+ ∑µncn . |
(1.96) |
||
ρ |
|||||
|
|
n=1 |
|
где µn – химический потенциал n-й компоненты. Здесь он вводится как коэффициент при скорости изменения концентрации. В таком виде химические потенциалы ввел Гиббс, чтобы учесть зависимость внутренней энергии от количества веществ. Из (1.96) следует, что n = ∂ u /∂ cn , то
есть, задав внутреннюю энергию, получим и вид химического потенциала. Часто бывает, что для конкретных процессов известен вид µn, тогда при задании внутренней энергии необходимо учесть знание о химическом потенциале.
В результате использования гипотезы локального термодинамического равновесия принимается и локальная обратимость всех процессов. Следовательно, во второе слагаемое записи внутренней энергии должна входить только обратимая (упругая) часть. Пусть тензор деформаций представим в виде разложения на упругую ε el и неупругую ε in составляющие ε = εel + εin . Тогда представление (1.96) примет вид
|
1 |
N |
|
|
u = q + |
σ: εel + ∑µncn . |
(1.97) |
||
ρ |
||||
|
n=1 |
|
В этом случае и тензор напряжений, получаемый при задании кон-
кретного вида и в (1.97) как σ = ρ ∂∂εuel , можно назвать упругим.
55
![](/html/65386/197/html_w0J2Y3_6b8.FFpb/htmlconvd-aTypnS56x1.jpg)
Если в локальной термодинамической системе рассматриваются необратимые процессы, то вместо равенства (1.70) имеем неравенство
|
1 |
N |
|
|
u < q + |
σ: εel + ∑µncn . |
(1.98) |
||
ρ |
||||
|
n=1 |
|
Далее, для того чтобы была возможность использовать принцип локального равновесия, термодинамическую систему расширяют введением дополнительных внутренних параметров xk (произвольного тензорного ранга), отвечающих за необратимые процессы, и сопряженных им термодинамических сил Fk различного тензорного ранга:
|
1 |
N |
K |
|
|
u = q + |
σ: εel + ∑µncn |
−∑Fk :xk . |
(1.99) |
||
ρ |
|||||
|
n=1 |
k =1 |
|
Таким образом, снова имеем локально равновесное состояние и, используя q = Ts (1.94), получаем
|
1 |
N |
K |
|
|
u = Ts + |
σ: εel + ∑µncn |
−∑Fk :xk . |
(1.100) |
||
ρ |
|||||
|
n=1 |
k =1 |
|
Тогда, подставив (1.100) в (1.95), получим уравнение баланса для энтропии
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
K |
Fk |
|
|
ρ s= − |
1 |
J+q |
|
P+q |
|
|
|
σ: (D− εel+) |
ρ1 |
q−**ρ |
∑ µn+cρn |
|
∑ |
:xk . |
||||||||||||
|
|
|
|
T |
|
T |
||||||||||||||||||||
|
T |
|
T |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
n=1 |
T |
|
|
k =1 |
|
||||||||
Приведем это уравнение к традиционной записи в форме (1.72) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Jq |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
N |
µ |
|
|
K |
F |
|
|
|
|
||||
ρ s= − |
− |
|
|
|
|
|
|
+J |
q |
|
σ: D− ρ |
∑ |
+cρ |
|
∑ |
|
|
|
x |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
in |
|
n |
|
|
k |
|
|
|
||||||
|
|
|
T |
|
|
T |
|
|
n=1 T |
|
|
k =1 T |
|
|
|
Используя (1.79) и запись материальной производной, получим
ρ cn = − Jcn+ mn ,
тогда
N |
µ |
N |
µ |
|
N |
µ |
|
|
N |
nJc |
N |
|
µ |
|
N |
µ |
|
|
−ρ ∑ n cn= ∑ |
n |
Jc−n |
∑ |
n |
m=n |
|
∑ |
−n |
∑ |
|
n |
−Jcn |
∑ |
n |
mn |
, |
||
|
|
|
||||||||||||||||
n=1 |
T |
n=1 |
T |
n=1 |
T |
|
n=1 |
T |
n=1 |
|
T |
|
n=1 |
T |
|
а поток энтропии и производство энтропии запишутся как
56
![](/html/65386/197/html_w0J2Y3_6b8.FFpb/htmlconvd-aTypnS57x1.jpg)
N |
|
N |
|
|
Js = T −1 (Jq − ∑µnJc |
) =T −1 (Je |
+σ v −∑ µnJc |
) , |
(1.101) |
n=1 |
n |
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
σ in |
N |
|
µn |
|
K |
Fk |
||
P = − |
|
|
|
J + |
: D − |
|
|
|
J+ ρ |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
s |
|
q |
T |
∑ |
|
cn |
T |
|||||
|
T |
|
|
n=1 |
|
T |
|
k =1 |
N |
|
:xk − ∑ µn mn ≥ 0. (1.102) |
|
n=1 |
T |
Если рассматривается процесс без дополнительных внутренних переменных, которые могут отвечать за плотность дислокаций или площадь внутренних границ, то (1.102) примет вид
|
1 |
|
|
σ |
in |
N |
|
P = − |
|
|
J + |
|
: D − |
||
|
|
||||||
s |
|
q |
T |
|
∑ |
||
|
T |
|
|
|
n=1 |
µ |
|
|
N |
µ |
|
|
|
|
|
n |
|
cn |
∑ |
|
n |
|
|
|
|
J− |
|
n |
m≥ |
0. |
(1.103) |
|
|
|
|
||||||
T |
|
n=1 |
T |
|
|
|
Для многокомпонентных сред необходимо сделать уточнение –
|
|
|
|
|
|
N |
vn |
|
||
в (1.81) кинетическая энергии смеси будет определяться как ∑ |
vn |
, то |
||||||||
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|||
есть получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
N |
vn vn |
|
1 |
N |
|
|
||
e = |
∑ρ n |
+ |
∑ρ nUn + u , |
(1.104) |
||||||
ρ |
2 |
|
||||||||
|
n=1 |
ρ |
n=1 |
|
|
где Un – потенциалы внешних массовых сил для компонент смеси.
Для описания диффузии компонент перейдем к барицентрическим скоростям wn:
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
wn ≡ vn− v , ρ v ≡ |
∑ρ n vn , |
(1.105) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|||
а поток компоненты записывается как |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
||
|
|
Jc ≡ |
ρ nwn , ∑Jc |
= 0 , |
(1.106) |
||||||
|
|
|
n |
|
n=1 |
|
n |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
концентрация компоненты |
|
cn ≡ ρ n /ρ |
|
|
|
(1.107) |
|||||
или |
|
ρ n = cnρ . |
|
|
|
|
|||||
Тогда (1.104) примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
v v |
|
N |
|
wn wn |
|
1 |
N |
|
||
e = |
+ |
∑cn |
+ |
∑ρ nUn + u , |
(1.108) |
||||||
|
|
|
ρ |
||||||||
2 |
|
n=1 |
2 |
|
|
n=1 |
|
57
![](/html/65386/197/html_w0J2Y3_6b8.FFpb/htmlconvd-aTypnS58x1.jpg)
N |
wn wn |
|
|
где величина ∑cn |
есть плотность относительной кинетической |
||
2 |
|||
n=1 |
|
N
энергии перемешивания (диффузии) компонент, а ∑ρ nUn = ρ U . Таким
n=1
образом, во всех соотношениях, полученных с использованием (1.81), при рассмотрении многокомпонентной среды появится дополнительное слагаемое, связанное с диффузией. В итоге для внутренней энергии получим
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
ρ u = − Jq+ σ: D− ∑Jc w |
n+ ρ q** , |
|||||||
|
|
n=1 |
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
N |
|
w |
n |
w |
n |
|
|
|
Jq = Je + σ v + ∑ |
ρ n |
|
|
v− ρ |
nUn wn . |
|||
|
|
2 |
|
|||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
(1.109)
(1.110)
При получении последних соотношений предполагалось, что скорости и ускорения перемешивания компонент невелики, то есть принималось, что квадратичный член w2n / 2 пренебрежимо мал по сравнению
с линейным wn .
Задавая далее вид свободной энергии для многокомпонентной среды
|
1 |
N |
K |
|
|
u = q + |
σ: εel + ∑µncn |
−∑Fk :xk , |
(1.111) |
||
ρ |
|||||
|
n=1 |
k =1 |
|
перейдем к записи потока и производства энтропии по аналогии с полученными ранее соотношениями:
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
N |
|
|
|
||
Js |
= |
Jq − ∑µnJcn |
= |
Je +σ v −∑ µnJcn |
, |
|||||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
n=1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
T |
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
σ |
in |
N |
µn w |
n |
|
|
|||
P = − |
|
|
|
J + |
: D − |
|
+ |
|
|
|
J+ |
|||
|
|
|
|
|||||||||||
s |
|
q |
T |
|
|
∑ |
T T |
|
cn |
|||||
|
T |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
(1.112) |
||||
|
|
|
|
K |
|
|
|
N |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
+ρ ∑ |
Fk |
:xk− |
∑ µn mn≥ 0. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
k =1 T |
|
|
|
n=1 T |
|
|
|
|
|
Заметим, что для записи линейных определяющих соотношений, связывающих обобщенные силы и переменные одного тензорного ранга, в свертке σ: D выделяют составляющие скалярной природы – следы тензоров σ и D и величины тензорной природы – девиаторы этих тензоров.
58
![](/html/65386/197/html_w0J2Y3_6b8.FFpb/htmlconvd-aTypnS59x1.jpg)
Рассмотрим далее частный случай двухкомпонентной смеси, в которой не происходят химические реакции, и другие необратимые процессы, кроме теплопроводности, диффузииинеупругогодеформирования. Тогда получим
|
|
1 |
|
|
σ |
in |
2 µn |
|
wn |
|
|
|
|
||
s |
|
|
|
|
q |
|
|
∑ |
|
|
|
|
cn |
|
|
P |
= − |
T |
|
J + |
|
: D − |
|
+ |
|
|
|
J≥ |
0. |
(1.113) |
|
|
|
|
|
T |
|
n=1 |
T |
|
T |
|
|
|
|||
Учитывая связь концентраций c1 + c2 =1, |
перейдем к одной концен- |
||||||||||||||
трации c = c1 , одному потоку Jc |
= Jc1 |
, химическому потенциалу µ= µ1 − µ2 |
и скорости относительно центра масс w = w1 − w2 = v1 − v2 . При этом (1.111) примет вид
|
|
|
|
u = T s + ρ −1σ: Del |
+ µc , |
|
|
|
|
(1.114) |
||||||
производство энтропии примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
σ |
in |
|
µ |
w |
|
|
|
|
|
||
s |
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
P |
= − |
T |
|
J + |
|
: D − |
|
+ |
|
|
J≥ |
|
0. |
(1.115) |
||
|
|
|
|
T |
|
|
T |
T |
|
|
|
|
||||
Уравнение баланса для концентрации |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
ρ c = − Jc+ m . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Связывая с помощью принципа Онзагера [4, 6] характеристики одно- |
||||||||||||||||
го тензорного ранга и учитывая, что температура T > 0 , получим |
|
|||||||||||||||
|
|
σ = |
3ζ trace(Din ) , s = 2η ein , |
|
|
|
|
(1.116) |
||||||||
где ζ , η – коэффициенты вязкости среды, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ |
w |
|
1 |
|
|
J |
c |
= −α |
|
+ |
− β |
|
|
|
, |
|
|||||||||
|
|
|
T |
|
|
|
|||
|
|
|
|
T |
T |
|
|
|
|
|
µ |
w |
|
1 |
|
||
J |
q |
= −β |
|
+ |
|
− γ |
|
|
|
. (1.117) |
|
|
|||||||||
|
|
|
T |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
T |
T |
|
Для потока Jc также имеет место представление, следующее из
(1.105)–(1.107):
Jc = ρ c (1 − c) w .
Выбирая в качестве аргументов химического потенциала параметры c, T, p, получим для химического потенциала = (c,T , p) :
59
![](/html/65386/197/html_w0J2Y3_6b8.FFpb/htmlconvd-aTypnS60x1.jpg)
µ |
µ |
|
1 |
|
|
|
µ |
1 |
|
∂µ |
|
|
|
|
|
|
∂µ |
|
|
|
∂µ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= − |
|
+T |
|
µ= − |
|
|
T+ |
|
|
|
|
|
|
|
+c |
|
|
|
|
|
|
+T |
|
|
|
|
|
=p |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
T |
T |
2 |
|
|
T |
|
|
|
T |
2 |
|
|
T |
|
∂ c |
|
|
|
∂ |
T |
|
|
∂ p |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
µ |
|
|
|
|
|
|
T , p |
|
c, p |
|
c,T |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= − |
T+ ρ D |
( +c k + T k |
|
|
p), |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
T 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ρ D= |
α ∂ µ |
|
|
, а D – коэффициент диффузии, |
ρ DkT = β + α |
∂ µ |
|
|
, |
||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
T ∂ c |
|
T , p |
∂ T |
|
c, p |
||||||||||||
|
|
|
∂ µ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
kT D – коэффициент термодиффузии, ρ Dk p= |
|
k p D – так называе- |
|||||||||||||||
|
, |
||||||||||||||||
∂ p |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c,T |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мый коэффициент бародиффузии.
Рассмотрим еще более простую ситуацию, когда поля температуры
идавления однородны, изменение плотности среды пренебрежимо мало
ине происходит превращений одной компоненты смеси в другую, тогда
ρ c = − Jc , Jc |
= − |
α |
( µ + w )= −ρ D −c α |
|
w , Jc = ρ c (1 − c) w . (1.118) |
|
|
||||
|
|
T |
T |
Считая, что концентрация c мала, температура постоянна, можно принять, что коэффициент диффузии D является постоянной величиной. При этом 1 − c ≈ 1. Если среда покоится и движение компонент происходит с малой скоростью, то, отбрасывая нелинейные по введенным (малым) переменным слагаемые, получим
|
≈ ρ c w+ ρ |
c w= − w |
+Jρc ≈cρw |
c w , Jc |
= −ρ D −c |
α |
|
Jc |
ρ cT |
Jc |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
Jc |
= −ρ D c− θ |
Jc , |
|
|
(1.119) |
где θ – время локальной релаксации примеси. Если оно настолько мало, что соответствующим слагаемым можно пренебречь, то приходим к обычному закону Фика
Jc = −ρ D c
и классическому уравнению диффузии
c = D∆ c
или, учитывая, что для неподвижной среды c = ∂ c /∂ t , к дифференциальному уравнению диффузии параболического типа
60