773
.pdfУравнения х 2 =2ру и х2 =-2ру (р > 0) определяют параболы с
вершиной в начале координат, ось которых совпадает с координатной осью
Оу, причем парабола |
х2 = 2ру |
расположена |
в верхней, а парабола |
|
х2 =-2ру - в нижней |
полуплоскости |
(рис. 40). |
Пример 11.5. Установить, какая линия определяется уравнением
х = —д/—4у , и построить ее.
Решение. Возведем данное уравнение в квадрат: х2 =-4у. Последнее
равенство определяет параболу с вершиной в точке О(0;0), симметричную относительно оси Оу, расположенную в нижней полуплоскости. Поскольку
из уравнения |
х = |
4у |
следует что |
* < 0, то уравнение определяет |
левую ветвь указанной параболы (рис. 41). |
|
Замечание. Эллипс и гипербола называются центральными кривыми второго порядка, а парабола —нецентральной кривой. Так как у эллипса и
гиперболы есть центр, то для этих |
кривых |
вводится |
понятие |
|||
эксцентриситета - это число , |
которое обозначается |
символом |
и |
|||
вычисляется по формуле е = —, где |
- половина расстояния между |
|||||
а |
|
|
|
|
|
|
фокусами эллипса (гиперболы), |
а |
большая |
|
полуось |
эллипса |
|
(действительная полуось гиперболы). |
|
|
|
|
|
|
Для эллипса с< 1, для окружности |
£ = 0, для гиперболы |
е>\. |
|
11.4. Преобразование координат на плоскости и приведение общего
уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
|
Рассмотрим |
общее |
уравнение кривой второго |
порядка |
|
А х 2 + 2Вху + С у г + 2D x + 2E y + F = О, |
|
||
( 11.11) |
|
|
|
|
где |
А, В, С, D, Е, F - действительные числа, но по крайней мере одно из чисел |
|||
А, В, С отлично от нуля. Заметим, что коэффициенты при ду, |
при х и при |
|||
у |
обозначены 2В , |
2D и |
2Е не случайно. Это сделано для того, чтобы |
формулы, в которые входят эти коэффициенты, не содержали дробных выражений.
Уравнение (11.11) определяет на плоскости хОу эллипс, гиперболу или параболу (с возможными случаями распада и вырождения этих кривых). Для определения вида кривой необходимо найти такую декартову прямоугольную систему координат, в которой данная кривая будет иметь каноническое (простейшее) уравнение. Переход от одной системы координат к другой возможен путем параллельного переноса и поворота системы.
Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная |
|
система |
|||||||||
координат |
х О у |
(рис. 42). Путем |
параллельного переноса осей координат |
||||||||
получена новая система |
х'О 'у' |
начало координат которой |
находится в |
||||||||
точке О |
Пусть |
точка м - |
произвольная |
точка плоскости |
и |
(х ; у) |
|||||
координаты этой точки в старой |
системе координат |
х О у , |
а |
(х';У )- |
|||||||
координаты той же точки |
м |
в новой системе координат х'О'у' |
Начало |
||||||||
координат системы |
х'О'у' |
- |
точка |
О |
в старой системе координат х О у |
||||||
имеет координаты |
(х0;у0). Тогда |
связь |
между |
старыми |
и |
новыми |
|||||
координатами точки |
м определяется формулами: |
|
|
|
|||||||
|
|
|
х = х +х0 , |
|
|
|
|
|
( 11.12) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шУ = У' + Уо >
что очевидно из рис. 43. Новые координаты выражаются через старые следующим образом:
х' - х - х 0 ,
(11.13)
У = у - У о •
Итак, соотношения (11.12), (11.13) являются формулами
преобразования координат при параллельном переносе системы координат,
где (х; у) |
координаты |
произвольной точки в системе хО у , |
(* ';/) |
|
координаты |
той же точки |
в системе х'О'у', (х0;у0) |
координаты |
нового |
начала координат О в системе х О у .
Преобразование координат при повороте системы координат
Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат х О у
(рис. 43). Выполним поворот осей координат на
угол а (угол |
а отсчитывается против хода часовой стрелки), в результате |
|||||||||||||
чего получим |
новую систему координат |
х'Оу' |
|
|
|
|
|
|||||||
Пусть |
I , j |
- |
базисные векторы |
старой |
системы |
координат |
х О у , |
|||||||
базисные векторы |
новой |
системы |
координат |
х'О у', |
а точка |
м |
||||||||
произвольная |
точка |
плоскости, |
имеющая |
координаты |
(х \у ) в |
старой |
||||||||
системе координат |
хОу |
и |
координаты |
(* ';/) |
в новой системе координат |
|||||||||
х'Оу'. Заметим, что координаты |
х |
и у |
совпадают с координатами вектора |
|||||||||||
ОМ в его разложении по базису |
/, j , а координаты |
х' |
и |
у' совпадают с |
||||||||||
координатами |
вектора ом |
в |
его |
разложении |
по |
базису |
/', / , |
т.е. |
||||||
OM = x i + y j , |
OM = x ' i ' + y ' j ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, |
x i |
+ y j |
=х' |
/'+у • j ' |
|
|
|
|
(11.14) |
|
||||
Умножая равенство (11.14) скалярно на вектор |
получим: |
|
Вычислим скалярные произведения единичных векторов:
/ / = 1 , 7 = 0 , i* * /' = cos а , / f = cos(90° + cr)= - sin a .
Таким образом, равенство (11.15) примет вид: * = * 'c o s a - / s i n a .
Проведем аналогичные преобразования, умножив равенство (11.14)
скалярно на вектор j |
Получим: |
1+yj j = |
j+ y'-j' |
j , |
|
|||||
|
7 = 0 , 7 7 |
= 1, |
/' j = cos(90° - a) = sina , f |
j = cosa , |
||||||
следовательно, |
у = x sin a + У co sa . |
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, формулы преобразования координат при повороте |
||||||||||
системы координат |
на угол а имеют вид: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
fx = x 'c o s a - / s i n a , |
|
|
(11.16) |
|||
|
|
|
|
[у = х' sin а + У cos a , |
|
|
|
|
||
где (х;у) |
- координаты |
произвольной точки |
в системе |
х О у , |
(JC' ; У) |
|||||
координаты |
той |
же точки |
в системе |
х О у ' , |
а |
- угол |
поворота системы |
|||
координат |
х О у |
вокруг |
точки О |
(в направлении против хода |
часовой |
|||||
стрелки). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
рассмотрим на конкретном примере. |
|
Пример 11.6. Пусть дано уравнение кривой: |
|
ЗУ + 10ду+3/-2л:-14.у-13 = 0. |
(11.17) |
Требуется привести данное уравнение путем параллельного переноса и поворота системы координат к каноническому виду. Построить соответствующие системы координат и данную кривую по ее каноническому уравнению.
Решение. Уравнение (11.17) определяет в декартовой прямоугольной системе координат х О у некоторую кривую L. Известно, что число
АВ
8 = |
которое называется инвариантом уравнения второй степени |
ВС
(11.11) не меняется при переходе от одной системы координат к другой.
Кроме этого, если 8 >0, то линия, определяемая уравнением (11.18),
является линией эллиптического типа (эллипс, мнимый эллипс,
вырожденный эллипс); |
если |
£ < 0, |
то |
линией |
гиперболического |
типа |
|||||
(гипербола, вырожденная гипербола); если |
S = 0, то линией параболического |
||||||||||
типа (парабола, пара параллельных прямых). |
|
|
|
|
|||||||
В нашем |
примере: |
А = 3, |
|
|
|
3 |
5 |
|
|
||
В = 5, |
С = 3, |
8 = |
= -16 < О |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
3 |
|
|
следовательно, L - линия гиперболического типа, т.е. центральная линия. |
|||||||||||
Чтобы найти центр линии L гиперболического |
типа, |
совершим |
|||||||||
параллельный перенос исходной системы координат |
х О у . |
Для |
этого |
||||||||
воспользуемся формулами параллельного переноса: |
|
|
|
|
|||||||
|
J* = x' + j:0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
\у= У' + Уо- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя эти формулы |
в уравнение (11.17) линии |
L , получим: |
|
|
|||||||
3(*' + -О’ + 10(у + х„)(/ + y„)+3(y' + y j |
- 2(х' + х„)- 1 4 (у '+ ^ )-13 = 0 |
или |
|
||||||||
3(*')‘+ 10дг'/+ 3(у')'+ (бдг„ + 10у„ - 2)х'+ (1Ох. + 6у, - 1 4 )/ +3х„’+ 10х.х+ 3у,1- |
|
||||||||||
-2x.-14_y.-13 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Координаты нового начала О (центра линии |
L ) найдем |
из условия, |
|||||||||
что коэффициенты |
при |
х' и |
при у равны нулю: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|бх0 + 10уо - 2 = 0, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
jlOx0 +6у0-14 = 0. |
|
|
|
|
||||
Решая систему, получим |
% = 2 , у0= - 1, т.е. 0 '(2;—1). Подставив в последнее |
||||||||||
уравнение линии |
L |
вычисленные |
х0 |
и |
у0, имеем: |
|
|
|
|||
|
|
|
Здг'2+10х'у' +ЗУ2- 8 = 0 . |
|
(11.18) |
|
96
Итак, уравнение (11.18) - это уравнение линии L в системе координат
х'О'у', полученной из исходной путем параллельного переноса осей в новое
начало 0 \ 2,-1).
Дальнейшее упрощение уравнения (11.18) достигается путем поворота системы координат х'О'у' на угол а . Формулы преобразования координат
при повороте
|
|
|
|
|
|
|
JC' = x c o s a - y s i n a , |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У = x s in a + у cos а, |
|
|
|
|
|||
где |
х , |
у |
координаты в повернутой системе |
|
координат, |
подставим |
в |
|||||||
уравнение (11.18). |
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
з(хcos а - у sin a f +1 о(хcos а - у sin a )(xsin а +у cos а)+ 3(xsin а + у cos a f - 8 = О |
|
|||||||||||||
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3cosJa + |
10 cos a sin а+ 3 sin ’ а )^2+(- |
6 005 а sin а + 10 cos1а - |
10 sin ’ а+ 6 sin a cos а )ху + |
|
||||||||||
+ (3sin1a - 1 0 s in a c o s c r + 3 c osJ<х)у |
- 8 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|||||||
Угол поворота |
а |
системы координат х'О’у' |
будем искать из условия, |
|||||||||||
что коэффициент при |
ху равен нулю. Решая тригонометрическое уравнение |
|||||||||||||
lO cos2 а - 10sin 2 а = 0, |
имеем |
c o s2 a = 0 . Следовательно, а = —. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
Подставив |
cos а = sin а - |
в |
последнее |
уравнение |
линии |
/,, |
||||||||
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ъ |
10 |
3 > 2 |
(Ъ |
10 |
3 > 2 _ |
л |
|
|
|
|
||
|
|
U |
2 |
2) |
|
U |
2 |
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8х2 - |
2 у - 8 = 0 . |
|
|
|
(11.19) |
|
||
Таким образом, уравнение (11.19) |
- это уравнение линии |
L в системе |
||||||||||||
координат |
хО'у, |
полученной поворотом системы |
х'О'у' на угол a = j |
против хода часовой стрелки. Запишем уравнение (11.19) в каноническом виде
|
|
—2 |
—2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i L _ Z _ |
|
|
|
|
( 11.20) |
||
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
Из уравнения (11.20) следует, что линия L |
является гиперболой с |
||||||||
действительной осью О'х |
и полуосями |
а=1, |
Ь=2. |
|
|
|
|||
Построим все три системы координат: х Оу , |
х'О'у', |
хО 'у, |
учитывая, |
||||||
что точка |
СУ |
в системе |
хО у |
имеет |
координаты |
(2;-1) |
и угол поворота |
||
системы |
х'О'у' |
равен |
—. |
В системе |
координат |
хО'у |
изобразим |
||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 44.
Замечание /. Если кривая, определяемая уравнением (11.11), является кривой параболического типа (нецентральной), то для приведения уравнения
(11.11) к каноническому виду необходимо сначала выполнить поворот исходной системы координат, а затем параллельный перенос повернутой
системы координат. Если же кривая, определяемая уравнением (11.11),
является кривой эллиптического или гиперболического типа (центральной),
то преобразование координат можно выполнять в любом порядке. |
|
|||
Замечание 2. |
Если |
в уравнении |
(11.11) кривой второго |
|
порядка коэффициент |
в |
не равен нулю, |
то чтобы слагаемое |
с |
произведением координат отсутствовало, следует выполнить поворот системы координат на угол а , удовлетворяющий уравнению
Btq1a - ( C - A ) t q a - B = 0. |
(П.21) |
Заметим, что уравнение (11.21) имеет два корня, соответствующие двум взаимно перпендикулярным направлениям. Условимся в качестве угла
поворота рассматривать угол |
а , лежащий в первой четверти, для которого |
||||||
tqa > 0. Тогда значения |
sina |
и |
cosa, необходимые для записи формул |
||||
поворота системы координат, определяются по формулам тригонометрии |
|||||||
sing = |
у tqa |
, |
cos а = |
I 1■-—■=■. |
|
|
|
|
|
^ \ +tq2a |
yj\ + tq2a |
|
|
||
Замечание J. |
Если уравнение (11.11) |
не содержит слагаемого с |
|||||
произведением координат, т.е. |
В = 0, то для приведения его к каноническому |
||||||
виду следует выполнить параллельный перенос осей координат. |
|
|
|||||
Пример 11.7. |
Привести уравнение |
|
|
|
|||
|
|
|
|
Зх2 - 6 х - .у |
+ 4 = 0 |
(11.22) |
|
к каноническому виду и построить его геометрический образ. |
|
|
|||||
Решение. Вычислим инвариант заданного уравнения: |
3 |
0 |
|||||
8 = |
■0. |
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
Так как инвариант равен нулю, то уравнение (11.22) определяет кривую
параболического типа. В силу замечания 3 для приведения данного
уравнения к каноническому виду совершим параллельный перенос системы
координат. |
Новую |
систему |
координат |
обозначим |
х'О 'у' |
Подставим |
||
формулы |
|
преобразования |
координат |
при параллельном |
переносе |
|||
(х = X +X , |
|
|
|
|
- |
|
|
|
< |
09 |
где (х0,у0)-координаты нового начала координат-точки (7, в |
||||||
Ь = / + Л> |
|
|
|
|
|
|
|
|
исходное уравнение: |
|
3(У + х0)2 - б(У + *0) - (У + у0)+ 4 = 0. |
|
|||||
Запишем уравнение в виде |
|
|
|
|
|
|||
|
3(х'У + (бх0 —б)х' —у' + |
—6ха — у 0 +4 = 0 . |
(11.23) |
|||||
Далее найдем такие значения |
х 0 и |
у0, при которых коэффициент при У и |
||||||
свободный член уравнения равны нулю: |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Г |
6х0-6 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|3х,; - |
6*0 - >0 + 4 = 0. |
|
|
|
Решение системы: х0 =1, >'„ = 1. Таким |
образом, |
(7(1; 1). Подставив в |
||||||
уравнение |
(11.23) найденные х0 |
и у0, |
получим каноническое уравнение |
|||||
параболы: |
3(x'J = у' |
или |
(У)2= ^ У |
|
|
|
Следовательно, геометрическим образом уравнения является парабола, симметричная относительно оси 0 'у\ вершина которой находится в точке
О' и ветви направлены в положительном направлении оси (Уу\ т.к.
параметр параболы р = —> 0.
6
Рассмотрим другой способ решения этого примера. Он заключается в том, что заданное уравнение приводится к каноническому виду путем
тождественных преобразований.
Уравнение (11.22) |
преобразуется следующим образом: |
З*2 - |
6дг = .у- 4, |
з(х2 - |
2дс) = .у- 4, |
ъ(хг - 2 х + \) = у - Ь +Ъ, 3 ( x - \ f = y - \ .