554
.pdfЗапишем аналитические выражения терм-множества (см. рис. 1.10), воспользовавшись координатами ( u1 , 1 ) и ( u2 , 2 ), которые заложены в уравнении прямой
μ u μ2 μ1 u μ1u2 μ2u1 . u2 u1
Тогда аналитические выражения терм терм-множества будут иметь
вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0,5 2u при u 0, |
4 |
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 2u, |
гдеu 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приu 1 |
|
1 , |
||||||||||||
|
H |
(u) |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
HС |
(u) |
1,5 |
2u |
, |
||||||||||||
|
|
|
2(1 u) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
3 |
|
гдеu |
4 |
,1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 u |
|
|
; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приu |
2 |
,1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
u |
|
u 0, |
|
, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2u при |
u 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
||||||
С (u) |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приu |
, |
, |
|||||||||||
|
|
|
приu 1 ,1 |
|
ВС (u) 2u |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2(1 u) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2u |
приu |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
,1 ; |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u |
|
|
|
|
|
3 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
при u 0, |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
В(u) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
,1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u 1 |
приu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Переход от полученных функций принадлежности терм-множества |
||||||||||||||||||||||||||||||
μT u |
к функциям принадлежности |
μT x определяется соотношением |
||||||||||||||||||||||||||||
(1–1). Для настройки μT u |
можно пользоваться операцией возведения |
в степень: μ u C , где показатель степени определяет изменение формы
функции принадлежности. Операции сжатия и растяжения можно осуществлять для каждого отрезка функции принадлежности, как показано на рис. 1.11. Коэффициент С называется коэффициентом относительной важности. При различном числе термов функции принадлежности
31
аппроксимируют треугольными термами, которые строятся с соблюдением следующих правил:
– основанием треугольника является универсум Ui 0, Li 1 , где Li – целое число, соответствующее количеству термов лингвистической переменной;
–термы нумеруются целыми числами от 1 до Li ;
–вершина треугольника соответствует номеру терма.
Рис. 1.11. Влияние коэффициента относительной важности на линейную функцию принадлежности
Диапазон xнi , xвi изменения входного параметра xi отображают на универсум Ui 0, Li 1 . Пересчет фиксированного значения вход-
ной |
переменной |
xi xнi , xвi |
|
в соответствующий элемент |
||||||||||
u 0, L 1 определяется пропорцией |
|
|||||||||||||
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xвi |
xнi |
|
|
xi xнi |
, |
||||||
|
|
|
|
L |
|
1 |
|
|
u |
|||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
из которой получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
Li |
1 xi xнi |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
xвi |
xнi |
|
Функция принадлежности терма с номером j (рис. 1.12) определяется прямыми линиями, которые проходят через точки с координатами
0,1 и Li 1,0 при u 0, Li 1 ,
32
0,0 и j 1,1 при u 0, j 1 и
j 1,1 и Li 1,0 при u j -1, Li 1 для j 2, Li 1,
0,0 и Li 1,1 при u 0, Li 1 для j Li .
Рис. 1.12. К построению j -х терм с одним основанием
Используя выражение для u , проходящей через две точки с известными координатами, получим
|
|
1 |
|
u |
|
,u |
|
0, L 1 , j 1, |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Li 1 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
u |
,u 0, j 1 , j |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2, L 1, |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
j-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
μj u |
Li 1 u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
,u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
i |
1, |
|||||||||||||
|
(L |
|
j) |
|
j 1, L |
1 , |
j 2, L |
||||||||||||||||
|
i |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
,u |
|
0, L |
1 , |
|
j L . |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Li 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем аналитическое выражение термов ( Li 7 ), графическое изображение которых представлено на рис. 1.12.
ui 6 xi xнi , xвi xнi
33
μ1 u 1 u , |
|
|
u 0,6 , |
|||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
u, |
u 0,1 , |
||
μ2 |
|
6 |
u |
|
|
|
u |
, |
u 3,6 , |
||||
|
|
|
5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
, |
u 0,2 , |
|
|
|
|
2 |
|||
μ3 |
|
|
|
|
|
|
u |
6 |
u |
|
|
||
|
|
, |
u 2,6 , |
|||
|
|
|
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
, |
u 0,3 , |
|
|
|
|
3 |
|||
μ4 |
|
|
|
|
|
|
u |
6 |
u , |
u 3,6 , |
|||
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
, |
u 0,4 , |
|
|
|
|
4 |
|||
μ5 |
|
|
|
|
|
|
u |
6 |
u |
|
|
||
|
|
, |
u 4,6 , |
|||
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
, |
u 0,5 , |
|
μ6 u |
|
5 |
||||
|
|
|
u 5,6 , |
|||
|
|
|
u, |
|
||
|
|
6 |
|
|||
μ7 u u , |
|
|
u 0,6 . |
|||
|
|
6 |
|
|
|
|
Полученные выражения могут быть использованы для выполнения задач принятия решения.
Наиболее часто используются две треугольные, симметричные относительно абсциссы u 0,5 на едином универсуме U 0,1 функции принадлежности в виде
μ1 u 1 u , μ2 u u , 0 u 1.
34
Фаззификация на базе замены терм-множества сигмоидных функций принадлежности сетью из искусственных нейронов
Построение нелинейных форм функций принадлежности (колоколообразная, функция Гаусса, сигмоидные и т.д.) осуществляется с помощью сети на искусственных нейронах на основании их внешней сходимости.
Рассмотрим реализацию терм-множества фаззификатора для лингвистической переменной «температура» с применением искусственной нейронной сети (ИНС). Под x понимается, например, отклонение температуры. Процесс фаззификации в отличие от синглетонной базы выполняется с помощью ИНС. Пусть терм-множество состоит из пяти терм: отрицательная средняя (ОС), отрицательная малая (ОМ), норма (Н), положительная малая (ПМ), положительная средняя (ПС). ИНС включает в себя восемь искусственных нейронов с сигмоидальными функциями активации (рис. 1.13), где выходы у1 , y2 , y3 , y4 , y5 есть тер-
мы фаззификатора: ОС, ОМ, Н, ПМ, ПС. Узлы со знаком + суммируют сигналы входов нейронов, а узлы с символом f реализуют их сигмои-
дальные функции. Сеть содержит дополнительно три нейрона с единичной активационной функцией (сумматор).
Рис. 1.13. Нейросетевая реализация пяти терм фаззификатора
35
Выходы стандартной НС определяются по формулам
|
|
|
|
|
|
y1 |
ОС |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
exp w1 |
x wc1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y2 |
ОМ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
, |
|||||
1 |
exp w2 x wc2 |
1 exp w3 x wс3 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
y3 |
Н |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
, |
|
|
|||||
1 |
exp w4 x wc4 |
1 exp w5 x wс5 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
y4 |
ПМ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
, |
|||||
1 |
exp w6 x wc6 |
1 exp w7 x wс7 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y5 |
ПС |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
exp w8 |
x wc8 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где wci – параметры смещения сигмоидальных ФП; wi вес суммарного
сигнала на входе сигмоидальных функций.
Выходы сети есть степени принадлежности активизированных терм. Если сигнала входа нет, то термы фаззификатора неактивизированы и проекции выходного вектора равны нулю (или нечеткое множество выхода фаззификатора равно нулю). Аналогично строится нейросетевой модуль для любого терм-множества фаззификатора. Путем подстройки весовых коэффициентов НС формирует функции принадлежности (термы) фаззификатора.
1.5. Расширение четкой логики «И», «ИЛИ», «НЕ»
Рассмотрим расширение четких логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ» до нечетких операций: T-норма или S-конорма, S-норма или T-конорма, и дополнение. В нечетком пространстве число состояний неограниченно велико, поэтому невозможно описать эти операции с помощью таблиц истинности, как в случае двузначной логики.
Логика «И»
Один из подходов к оператору пересечения – это его определение в классе треугольных T-норм и S-конорм.
Четкий элемент «И»: y = x1 & x2 (бинарная форма); y x1 x2 .
36
Треугольной нормой (T-нормой) (расширенная связка «И») называется двуместная действительная функция T:[0,1] [0,1] [0,1], удовлетворяющая следующим условиям:
1.T(0,0) = 0; T(μA, 1) = μA; T(1, μA) = μA – граничное условие;
2.T( μA, μB) T( μC, μD), если μA μC , μB μD – монотонность;
3.T( μA , μB) = T( μB, μA) – коммутативность;
4.T( μA, T( μB, μC)) = T (T( μA, μB), μC) – ассоциативность;
Простым случаем треугольных норм являются: а) min ( μA, μB) (пересечение по Заде);
б) произведение μA× μB (умножение по Ларсену); в) max (0, μA + μВ –1) (пересечение по Лукашевичу)
Это действительная функция двух переменных, принимающая значение в единичном интервале 0,1 , может быть описана следующими выражениями:
A3 (x) A1 A2 (x) A1 A2 A1 (x) A2 (x)
A1 (x)T A2 (x) T ( A1 (x), A2 (x)) min A1 , A2 ,
где A1 (x) 0,1 ; A2 (x) 0,1 ; A3 (x) 0,1 .
Графическая интерпретация расширенного элемента «И» показана на рис. 1.14.
Рис. 1.14. Расширенный элемент «И» (T-норма), линия MN – линия пересечения входных функций принадлежности
37
Логика «ИЛИ»
Один из подходов к оператору объединение – это его определение в классе треугольных S-норм и T-конорм.
Четкий элемент «ИЛИ»: y x1 x2 (бинарная форма).
Треугольной нормой (S-нормой) (расширенная связка «ИЛИ») называется двуместная действительная функция S:[0,1] [0,1] [0,1] со свойствами:
1. S(1,1) = 1; S(μA ,0) = μA ; S(0, μA) = μA – ограниченность;
2.S( μA, μB ); S(μC, μD ), если μA μC , μB μD – монотонность;
3.S( μA , μB ) = S( μB , μA ) – коммутативность;
4.S( μA, S( μB , μC )) = S(S(μA , μB ), μC ) – ассоциативность.
Варианты S-норм: |
|
|
а) max( μA, μB) (объединение Заде); |
|
|
б) μA + μB – μA× μB (вероятностное «ИЛИ»); |
|
|
в) min(1, μA + μB) (объединение по Лукашевичу). |
|
|
Графическая интерпретация элемента «ИЛИ» показана на рис. 1.15. |
||
|
1 μ y |
|
|
N |
|
|
|
μ x1 |
1 |
М |
1 |
|
|
|
μ x2 |
|
|
Рис. 1.15. Расширенный элемент «ИЛИ» (S-норма), линия MN – линия объединения входных функций принадлежности
Расширение элемента «ИЛИ» называется S-норма. Это действительная функция двух переменных, принимающая значение в единичном интервале 0,1 , и может быть описана следующими выражениями:
38
A3 (x) A1 A2 (x) A1 A2 A1 (x) A2 (x)
S( A1 (x), A2 (x)) max A1 A2 ,
где A1 (x) 0,1 ; A2 (x) 0,1 ; A3 (x) 0,1 .
Логика «НЕ»
Четкий элемент «НЕ»: y = x.
Расширение элемента «НЕ» (нечеткое отрицание) – дополнение или «вычитание из 1», представляет собой унарную операцию отрицания в нечетком смысле, которая дает в ответе оценку 0,1 (рис. 1.16).
Дополнение нечеткого множества во всех трех случаях определяется одинаково:
μА х 1 μА х .
Рис. 1.16. Дополнение нечеткого множества
Другие варианты реализации операций пересечение и объединение. Группа логических операций (max – min):
A B (x) max A (x), B (x) ,
A B (x) min A (x), B (x) .
Группа алгебраических операций:
µА B (x) µА(x) µB (x) –µА(x)µВ (x), µА B (x) µА(x) µB (x).
Группа ограничений:
39
µА B (x) min{1, µА(x) µB (x)},
µА B (x) max{0, µА(x) µB (x) –1}.
Связь между Т-нормой и S-нормой, или расширенными связками
«И» и «ИЛИ»,
аТb 1 1 а S 1 b а b а b.
Широкое использование Т- и S-норм обусловлено возможностью настройки параметров этих нечетких операторов, а также их хорошими алгебраическими свойствами, необходимыми для решения прикладных задач анализа и моделирования различных систем.
1.6. Нечеткие отношения. Операции с нечеткими множествами. Декартово произведение
Нечеткие отношения необходимы для организации нечетких выводов [6]. Предположим, что знание эксперта отражает нечеткое причинное отношение предпосылки A и заключения B , которое описывается нечетким R .
R A B ,
где R – сила связи между элементами предпосылки A и заключения B. Почти все реально работающие прикладные системы, использую-
щие промежуточные нечеткие оценки, это системы, основанные на нечетких продукционных правилах. Нечеткое отношение R между двумя подмножествами Х и Y будем называть нечетким подмножеством, определенным на декартовом произведении Х · Y.
Пусть A1, A2,…, An – нечеткие подмножества универсальных множеств E1, E2,…, En. Тогда А = А1×А2×…×Аn – есть произведение подмножеств, лежащих в универсуме E = E1×E2×…×En c ФП.
µА х1, х2 , , хn min µА1 х1 ,µА2 х2 , ,µАn хn .
Формы записи нечеткого отношения:
R X·Y = {(xRy): x X, y Y} = {(x, y), µR (x, y)},
где µR (x, y) 0,1 .
40