Остаточные напряжения.-1
.pdfЗная главные напряжения, можно определить, при каком давлении ро в опасной точке будет проявляться пластическая де формация. Для этого можно воспользоваться критериями Треска или Мизеса. Согласно критерию Треска, текучесть наступает, когда удвоенные наибольшие касательные напряжения достиг нут предела текучести от, или
®же = СТ1—*^3 = СТ7"
Согласно критерию Мизеса, текучесть наступает, когда ин тенсивность напряжений достигнет предела текучести от
~ а г)2+(ст2~ а 3)2 +(<т3 - а , ) 2] =стг.
Известно, что пластические деформации раньше всего по являются не на площадке контакта (точка О), а на некотором расстоянии z от начала координат [18]. Следовательно, для опре деления величины ро, при котором в наплавленной цилиндриче ской детали появятся пластические деформации, необходимо по строить зависимости наибольших касательных напряжений или интенсивности напряжений по координате z. По этим зависимо стям можно будет установить их экстремальные величины и оп ределить ро, при котором наступит текучесть. В опасной точке
при любых величинах X = — наибольшим будет оэкв по крите-
а
рию Треска, определяемое полуразностью oz— оу [18]. Причем
для любых Я эта полуразность колеблется в небольших пределах
о2 — оу= (0,62-0,65)ро (при р « 0,3).
При z = 0 напряжения в центре эллиптической площадки
контакта, согласно (4.21), равны
°:=-Ро
2р + Х
°х=-Ро 1 + Я.
1 + 2цХ
°у=-Р0
1 + X. .
Касательные напряжения на этих площадках равны нулю,
поэтому о2, ахи оу — главные напряжения. По критерию Треска
для центра эллиптической площадки O3KB=CZ— с*. Эта величина
для центра площадки для разных значений X колеблется в преде
лах о2— ах= (0,2 — 0,4)ро (при р = 0,3).
В. Поверхностное деформирование роликовым накатни
ком. В этом случае после приложения силы к накатнику перво начальное линейное касание переходит в соприкосновение по узкой площадке, ширина которой 2Ъ.
Размер «Ь» определится по формуле (4.15). Для определе ния напряжений при роликовом накатнике можно воспользо ваться зависимостями, полученными для шарикового накатника, положив эксцентриситет контурного эллипса 1=1, т.е. а=оо. При
этом (p= arcctg—= —и эллиптические интегралы согласно (4.20)
а2
будут равны
К' = \ d(f> |
= l n 1+ sin(p |
£cos(p |
costp |
Тогда по формуле (4.18)
Ъ
аг=-Ро-
1+
а
I
= ln(oo), i = J cos cpt/cp = 1.
-=~Ро-
Jb2+ z 2
+ z~
или с учетом обозначений, принятых для (4.21), |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(4.22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= - Л г |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N/ I + F |
|
|
|
|
|
|
Зависимость (4.19) для ахпреобразуется следующим образом: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
аЬ |
|
|
|
ab |
\b2 +z2 |
. zab |
|
|
* |
* |
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
К |
|
|||||
ах = ~Р0 |
a |
2 |
,2 |
|
a |
2 h2 \ „ 2 . J 2 |
+ 2----- |
a |
2 |
.2 |
2 т2 |
|
||||
|
|
|
—b |
|
—b |
) a +z |
|
|
—b a |
—b |
J |
|||||
-2p |
ab |
|
|
|
ab |
|
a |
ba+, z 2 |
zab |
|
a L |
К* 'Л |
||||
2 , 2 |
|
a |
2 |
|
,2 |
,2 |
V |
2 , 2 |
+ ----- |
b2(a2 - b 2) |
a2 - b 2 Jy |
|||||
a |
- b |
|
|
|
—b |
b |
\ a |
+z |
a |
Так как при а —»оои e=7 интеграл К обращается в лога рифмическую бесконечность, а Т*=/, то слагаемые
К* Г
обращаются в нуль и
а2- 6 2 ’ а 2- 6 2
L 1
b2 a2- b2 , 2 ry _ ^ \ ~ b 2
л
a J
Следовательно, напряжение <тх, можно представить так:
ах =~Ро |
|
|
|
b2 +z2 |
|
Ъ2 |
b2 \ a 2+z2 |
|
|||
|
а ----- |
а -------- |
|
|
|
|
а |
|
а |
|
|
"2 Ц |
|
1 |
1 |
b2+z2 |
1 |
ъ1 |
|
, |
Л/ . 0 |
+ zb—г- |
|
|
|
t f _ b \ a 2+z2 |
Ъ2 |
||
\ |
а ----- 1 - |
а2 |
|
|
|
а |
|
|
J \ |
При а=оо формула для определения ахпримет вид
z2
=-2ЦР0 Г ¥ ~ ь
Сучетом обозначений, принятых для (4.21),
с х = ~2рр0 (>Д + Р2 ~ Р) • |
(4.23) |
Аналогично преобразуется зависимость (4.19) для с$,
CTv= -Po |
1 + 2р2 -2Р |
(4.24) |
|
.V i + F |
|
Формулы (4.22-4.24) определяют нормальные напряжения на площадках, перпендикулярных осям Z, Y и X, для точек, ле жащих на оси Z. Касательные напряжения на этих площадках равны нулю. Следовательно, напряжения <тх, ау и az являются
главными напряжениями. Из формул (4.22^4.24) видно, что все напряжения сжимающие при любом значении Д а наибольшее по абсолютной величине напряжение — az. Следовательно, при всех величинах Р главное напряжение аз = az,Напряжения ахи ау
по абсолютной величине могут меняться местами в зависимости от значений Д При небольших величинах р напряжение ау боль ше по абсолютной величине, чем ах , а после некоторого значе ния Р наоборот /сгдА/а/ В зависимости от величины они будут принимать значения 07или 07.
При определении эквивалентных напряжений по критерию Треска этот факт необходимо учитывать, т.к. аэкв= ajаз.
Поэтому при некоторых величинах р сгэкв = ах— <Jz, а при
других аэкв= ay— az.
По критерию Мизеса при любых величинах р получим одинаковую зависимость для эквивалентного напряжения
- СТ,) 2 + - СТ;)2 + (Cz - а х)2 ]•
Как и в случае деформирования шариком, в данном случае, т.е. при деформировании роликом, наибольшие эквивалентные напряжения будут возникать не на поверхности контакта, а на некоторой глубине. Эти выводы получены в предположении, что контактируют гладкие поверхности. Однако наплавленный слой является шероховатым, имеет макронеровности, и пластическое
деформирование выступов начинается при давлении меньшем, чем при котором появляются пластические деформации в опас ной точке упрочненной поверхности. При этом происходит смя тие выступов, а значительные остаточные напряжения возника ют только тогда, когда в верхних точках наплавленного слоя эк вивалентные напряжения достигнут предела текучести и пласти ческие деформации распространятся на некоторую глубину. То гда при снятии давления в наплавленной детали появляются ос таточные напряжения.
4.4. Пластические деформации
Определим область пластической деформации при поверх ностном деформировании роликовым накатником. Пластические деформации прежде всего появятся в точке, где экстремальные эквивалентные напряжения достигнут предела текучести. Для определния эквивалентных напряжений будем пользоваться кри терием Треска <тэкв = сг/ — 03. При этом, как было показано,
сгз = <?z при любых значениях Р = —, а сг/ зависит от Д и может b
быть равно с^или ау.
Допустим, что 0 1 =оу. Тогда аэкв = оу — сгг.
Подставляя crz и <ту согласно (4.22) и (4.24) и проводя преоб разования, получим
а э„в = 2Ро Р - |
(4.25) |
|
J |
Определим, при каком значении Р эквивалентное напряже ние аэквимеет наибольшую величину
Г |
_ |
Г--- — |
/ _„ч-1/2\ |
dа |
2Р^ |
- Р |
3(1+ Р2)- |
dР = 2Ро |
|
|
= 0, |
|
1 + р2 |
||
или l + p2- 2 p J l + p2 + |
|
=0. |
|
V 1 + F
Решая это уравнение, получим р= 0,8. Подставим эту вели чину Р в формулу (4.25) и определим максимальное значение
&ЭКв3 П р и 0\ = 0у \ |
|
|
|
|
^3ve(max) |
2Ро 0 , 8 - |
0,82 |
= 0 , 6 0 0 5 . |
|
|
|
|||
|
у]\ + 0,8” |
|
|
|
Теперь предположим, что ai=ax. Тогда |
|
|||
°эКв=Ро -2ц(7Г^-Р y~jl=2 |
(4.26) |
|||
Определим р, |
при котором |
ст'кв имеет максимальное зна |
||
чение. |
|
|
|
|
|
- |
1/2 4 |
= Po |
- P (I + P 2) |
= 0. |
-2цР(1 + р2)- 1/2 +2[i+ |
||
|
l + p 1 |
|
|
/ |
2\ 1/2 |
Умножив обе части этого уравнения на (1 + р J , получим |
||
|
2ц(^ГТрГ - р ) - т^ г = 0. |
(4.27) |
Уравнение (4.27) можно решить только при конкретных ве личинах коэффициента Пуассона у. Для этого разобьем (4.27) на два уравнения:
* - d r
Построим зависимости у\ = fi ф) и у2 = f2 ф) для разных
значений у (рис. 4.6). Их пересечение представляет решение уравнения (4.27).
Анализ зависимости от величины коэффициента Пуас-
Ро
сона у показывает, что только при у = 0,21 максимальное значе ние с/жв= охoz достигает экстремального значения аэкв= ау—az.
Следовательно, при 0,2 К у < 0,5
^экв(тах) ^ ® э к в (т зх )'
Для металлов и сплавов у не бывает меньше 0,22. Следова тельно, при деформировании поверхности упрочненных сталь ных деталей справедливо последнее условие.
Y
Рис. 4.6. Номограмма для определения безразмерной координаты р в
зависимости от коэффициента Пуассона р
Построим эпюры изменения эквивалентных напряжений аэкв
и с/жв по оси Z (рис. 4.7). Эквивалентные напряжения а экв= crx—
определены при /г=0,28. На поверхности контакта при 2=0 = оу - oz = О, <з'жв= стх - с г = 0,44р0.
Как видно из рис. 4.7, наибольшие эквивалентные напря жения возникают в точке на глубине 2=0,86. В этой точке экви валентные напряжения аэкв = 0,6005ро = оэкв(таХ). Когда макси мальные эквивалентные напряжения достигнут предела текуче сти Оэкв(тах)=0,6005/?о = аТ, в точке 2=0,86 появятся пластические деформации. Это произойдет при
О*у»
0,6005'
С другой стороны, давление ро можно записать через
силу F, приложенную к накатнику.
Согласно формулам (4.14), (4.15)
Ро ~ |
(4.28) |
Тогда |
|
Qy |
|
0,6005 |
|
откуда |
|
F = |
= F |
0,36х |
Л |