Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации
.pdfКомпоненты, следовательно/равны:
^хх = |
а, |
Syy = Yy |
°» |
$zz = Zz — а»
S Xy -- Ху,
& |
II N |
N |
|
Sgx |
--- |
( 1. 12)
причём на основании (1.7) сумма диагональных |
элементов (т. е. пер |
вый линейный инвариант девиатора напряжений) |
равна нулю: |
s xx + Syy+ S„ = 0. |
(1.13) |
Таким образом напряжённое состояние в каждой точке тела можно
представить себе как равномерное всестороннее |
растяжение с на |
||||||
пряжением о, на которое наложено |
|
||||||
напряжённое состояние ( 1.12), опреде |
|
||||||
ляемое девиатором напряжений. Нор |
|
||||||
мальное напряжение о стремится из |
|
||||||
менить объём элемента тела, а компо |
|
||||||
ненты |
девиатора — изменить |
форму |
|
||||
этого элемента без изменения объёма. |
|
||||||
Поверхность |
напряжений Коши для |
|
|||||
девиатора напряжений (Da) |
есть всег |
/ |
|||||
да гиперболоид (рис. 8). В самом деле, |
|||||||
обозначим главные компоненты |
девиа |
|
|||||
тора напряжений |
буквами |
Sl9 |
S2, |
S3; |
|
||
через главные напряжения они выража |
|
||||||
ются формулами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
S t = |
at — o; |
) |
|
|
|
|
|
53 = |
о3 — о; |
| |
(1.14) |
|
||
|
S3 = |
°з |
] |
|
|
|
|
Тогда, |
согласно |
(1.8), уравнение |
поверхности |
Коши будет |
|||
|
|
|
SXP + |
S r f + |
S8t a = const. |
(1.15) |
Это — гиперболоид, так как сумма коэффициентов при квадратах ко ординат равна нулю, и потому знаки этих коэффициентов различны. Поверхность Коши для девиатора напряжений называется гипер болоидом напряжений.
Очевидно, главные касательные напряжения и вообще касатель ные напряжения на любой площадке не зависят от среднего нормаль ного напряжения, т. е. они определяются только девиатором напря жений. Так, формулы (1.10) можно переписать в виде:
S\ — 5? , |
SQ— S3 т |
S3— Si |
42 = ----2 ’ |
о » Т81 — |
о |
Диаграмма Мора для девиатора напряжений отличается той осо бенностью, что расстояние центра малого круга Мора от начала
координат равно по абсолютной величине сумме расстояний центров |
||||||
большого |
и среднего |
кру |
||||
гов, |
причём |
центры |
по |
|||
следних |
расположены |
все |
||||
гда |
по |
одну |
сторону от |
|||
оси ординат (рис. 9). |
|
|||||
Для |
теорий |
пластично |
||||
сти |
представляет |
интерес |
||||
второй инвариант девиатора |
||||||
напряжений |
£ 2, |
который, |
||||
по |
аналогии с |
формулой |
||||
(1.7), |
можно записать через |
|||||
компоненты |
девиатора |
на |
||||
пряжений: |
|
|
|
|
|
£2 = |
SyySzz |
|
|
Szz$xx ~f“ $ову |
Рис. 9. |
+ 4 . + 3 - |
(1 16) |
Первый трёхчленправой |
части (1.16), |
имеющий выражение |
- ( X x - o ) ( Y y- o ) - ( Y y - o ) ( Z e- o ) — (Zg — a)(Xa,— o),
после замены величины а её выражением (1.7) и перемножения преобразуется к виду:
— у (ЛЙ + Y l + Z l — X^Yy— YyZz — ZzXx) =
= |
l(Xx - |
Yy? + |
( Yy — Zz)* + |
{Zz- X xf \ . |
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
6S9 = (Xw- Y |
y)*+ (Yy - |
Zzf + |
(Z, - Xxy + |
|
|
|
|
+ |
6 { X l + Y l + |
Zl). |
(1.17) |
Последняя формула показывает, что второй инвариант девиатора напряжений 2 а есть величина, всегда положительная, причём она не* зависит от среднего нормального напряжения о.
Интенсивностью касательных напряжений называется положи тельное количество, квадрат которого с точностью до числового множителя равен второму инварианту девиатора напряжений:
^ = 5- V ( Х х- Yy)*+(Yy- Zz)*-{-(Z -X ay + 6 ( 4 + Yt+ Z 2X) . (1.18)
Роша |
и Эйхингера; назовём площадкой результирующих напряжений |
|||||
в данной точке тела |
такую, |
которая имеет нормаль, равным обра |
||||
зом |
наклонённую |
к |
главным |
осям |
напряжений. Очевидно, эта |
пло |
щадка отсекает |
на |
главных |
осях |
равные отрезки (рис. 10), |
а на |
правляющие косинусы её нормали равны
1
1 = т = п-.
Y3 *
Вектор напряжения Sv на такой площадке согласно (1.1) имеет компоненты:
о — -*1- °vl --- ,/%г- >
|
Y S |
>v2 ' |
Уз ’ |
|
с__ °3
и, следовательно, нормальное напряжение на ней av, по (1.2), равно среднему нормальному напряжению:
°v = £vl^+Sv2//*+ ^v8^ = ‘g'(0l+ 02 + 03) = 0,
а касательное напряжение TV будет:
т |
= | / б |
2 — о2. |
wv |
у |
V V |
Внося в последнюю формулу значение
5 <2 = l ( o f + o3 + o|),
получим окончательный результат:
“S = J V (°l — °2)2+ (°2 — °з)а + (°8 — al)9- |
(1 1 9 ) |
Правая часть (1.19) есть не что иное, как величина (1.18), написан ная через главные напряжения. Следовательно, интерпретация Роша гласит: интенсивность касательных напряжений есть касательное напряжение на площадке результирующих напряжений. Величину называют ещё октаэдрическим напряжением, поскольку оно оди наково для всех восьми площадок результирующих напряжений, которые можно провести во всех октантах; если отрезки, отсекае мые площадками на главных осях 1, 2, 3, одинаковы во всех октан
тах, то совокупность площадок результирующих напряжений пред ставляет замкнутую восьмигранную фигуру— октаэдр (рис. 11).
Октаэдрическое напряжение мало отличается от максимального касательного напряжения, причём всегда меньше последнего. Для доказательства этого утвержде
ния рассмотрим разность
Максимальное касательное на пряжение, как уже доказано выше, равно наибольшему по модулю главному касательному напряжению. Пусть главные на пряжения расположены в следую щем порядке:
так |
°i < °а < |
°8» |
|
||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
Т12 |
__аХ— а2 ^ |
Г\ |
_ |
|
__°2— |
||
-------- о |
< |
" , |
Т23 |
— |
Ту— < .U , |
||
|
31 |
__g3 — gl |
|
> 0 , |
|
причём максимальным касательным напряжением будет т31,т . е.
* т « = * 3 1 > ° -
Октаэдрическое напряжение, согласно (1.19), выражается через глав ные касательные напряжения формулой
*< = §■ 1^Х12 + т|з-|-Тз1. |
(1-20) |
Исключая в (1-20) величину т1а на основании тождества
*12 4 " *23 Н“ *81 = |
(1.21) |
мы получим для разности R выражение
Я = *„ - Ч г K * L x + *ш«*23 + *И.
Чтобы найти экстремум этой величины по та„ приравняем нулю производную
_ |
V |
2 |
|
[ + 2*!'28 |
а |
дЪ} |
з |
Д8 , |
, |
||
|
|
У |
max I |
maxi8 "Г *23 |
Отсюда имеем;
и, следовательно, |
максимальное значение |
разности R будет: |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
max' |
Так как |
по условию |
|
не |
положительно, то минимальное значение |
||||
R будет |
при *28 = |
0 |
и *23 = |
— “W |
1 |
|
|
|
|
|
|
о |
|
- f i _ 2 |
V |
2 |
) r |
|
|
|
|
— \ / |
3 |
) xmax* |
Таким образом, отношение октаэдрического напряжения zi к макси мальному касательному ттах удовлетворяет неравенству:
0,941 ^ ^ - > |
- ^ - > |
1 / ^ |
1 |
= 0,816. |
(1.22) |
э |
хгаах |
* |
л |
I |
|
Наряду с поверхностью напряжений Коши и диаграммой Мора, характеризующими распределение напряжений по различным пло щадкам, проходящим через одну и ту же точку тела, для теории пластичности представляют интерес ещё другого типа поверхности, а имен но такие, которые устанавливают за висимость между напряжёнными состоя ниями в различных точках тела. В ка честве координатных осей возьмём пря моугольные и на осях за переменные примем главные напряжения о1э са, о3 (рис. 12).
Призма Кулона определяется ура внением:
|
Т |
шах |
=s |
|
— |
(1.23) |
|
|
|
|
— 2 * |
|
|||
где С — некоторая постоянная для раз |
|
||||||
личных |
точек |
тела. |
Легко |
убедиться |
Рис. 12. |
||
в том, |
что уравнение (1.23) |
предста |
|
вляет шестигранную призму, ось которой, проходя через начало ко ординат, одинаково наклонена к положительным направлениям коор
динатных |
осей, а каждая из граней параллельна одной из осей и со |
||
ставляет^ угол |
в 45° с двумя другими осями. В самом деле, если |
||
°в < °2 < |
°ь то |
мы имеем |
|
|
|
^тах= |
Т81* |
и, следовательно, (1.23) даёт уравнение пары параллельных плоско стей
ot — а8 = ± С . |
(1.230 |
ности вдоль её оси, причём плоскости (1.23') |
суть |
АА'ВВ' и |
|||||||||
DD'EE'. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В случае, |
если |
02< °1< °з» |
т0 мы имеем |
|
|
|
|
|||
|
|
|
^тах ^ |
Т23> |
|
|
|
|
|
||
и потому из (1.23) получаем |
уравнение |
новой |
пары |
параллельных |
|||||||
плоскостей: |
|
о8- а 2 = |
± С . |
|
|
|
|
(1.23") |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Этц плоскости |
суть ВВ'СС' |
и |
EE'FF'. |
Наконец, |
в |
случае, если |
|||||
то |
мы имеем: |
|
°1 ^ |
°3 ^ |
а2» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Tmax = |
т12» |
|
|
|
|
|
||
и, |
следовательно, |
уравнением |
пары |
плоскостей |
CC'DD' |
и FF'AAf |
|||||
будет: |
|
0Я — о1== ± С. |
|
|
|
|
(1.23'") |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Вполне очевидно, что все рёбра граней (1.23) параллельны линии, равнонаклонённой к осям координат; уравнением этой линий является
°1 = 0а = °8- |
(1-24) |
Так как (1.24) не удовлетворяет уравнениям (1.23) со штрихами, то грани (1.23) и линия (1.24) не пересекаются. Из чертежа ясно также, что линия (1.24) есть ось призмы Кулона.
Цилиндр Губера-Мизеса определяется уравнением:
т* = const.
Вместо величины октаэдрического напряжения или интенсивности напряжений сдвига т* мы в дальнейшем часто будем рассматривать эквивалентную ей величину, отличающуюся только числовым множи телем, а именно величину а{, которую будем называть интенсивно стью напряжений:
= |
— °a)2 + (°a — 0e)a + (°s — ai)2- |
Уравнение цилиндра Губера-Мизеса напишем в виде:
|
< 4 = С, |
(1.26) |
где С — та же |
самая постоянная, что и в уравнении призмы |
Кулона. |
В развёрнутом |
виде уравнение (1.26) запишем так: |
|
мере почти параллельна призме Кулона, причём ясно, что она нигде
не |
пересекает |
линию |
(1.24). Но так как а{= |
С есть поверхность вто |
|||||
рого порядка, то это может быть только цилиндр, |
параллельный приз |
||||||||
ме |
Кулона, |
и |
линия |
(1.24) |
б{ |
|
|||
есть его ось. |
В |
плоскости |
|
|
|||||
(a*, |
ojj), |
т. |
е. |
при |
а3 = |
0, |
V |
в1 |
|
уравнение |
(1.26') |
предста |
|||||||
вляет |
эллипс, |
|
описанный |
|
Ь* л / |
||||
около шестиугольника |
Ку |
|
лона:
О? — о,о2+ о | = С2. |
(1.27) |
- |
|
На |
рис. 13 в плоскости (а1? |
|
|
о2) |
изображены шестиуголь- |
|
|
|
1 |
С и |
|
ник Кулона хта1 = “2" |
|
описанный около него эллипс Губер-Мизеса о{ = С. Около этого эллипса можно опи сать шестиугольник, парал лельный первому; из (1.27)
ь__ 0
Рис. 13.
следует, |
что, когда одно из напряжений а19 о2 имеет максимум |
С, |
|||||||||||
другое |
|
|
1 |
|
|
|
описанном |
шестиугольнике, |
|
^ |
|||
равно — = С; на |
|
следовательно, |
|||||||||||
|
|
У 3 |
|
|
|
напряжение равно: |
|
|
|
||||
максимальное касательное |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
± VWзc , |
|
|
|
(1.28) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
так как |
на |
плоскости (ор |
о2) оно р а в н о (о1— о3) или ~ (о2— о3), |
||||||||||
а ойэ8 = 0. |
Таким |
образом цилиндр Губера-Мизеса (1.26) является |
|||||||||||
описанным |
около |
призмы Кулона (1.23) и вписанным в призму (1.28) |
|||||||||||
|
|
|
|
§ |
5. |
М алая |
деформация тела. |
|
|
|
|||
Деформация тела вполне определяется, если известен вектор пере |
|||||||||||||
мещения |
*ш каждой |
его |
точки |
(рис. |
14). Обозначим проекции пере |
||||||||
мещения |
точки |
М |
с |
коордчн .тами дг, у 9 г |
на направления осей через |
||||||||
так что: |
и(х, |
у, |
z, |
t), |
|
v(x, |
v, Z, |
t), |
w (x, у, |
г, |
t), |
|
|
|
|
|
|
|
w = u i-\- v j -\- wk. |
|
|
(1.29) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Чтобы определить |
деформацию |
тела в окрестности |
точки М 9 рассмо |
||||||||||
трим соседнюю |
точку |
|
положение которой относительно М опре |
||||||||||
деляется |
вектором |
р |
с проекциями £, |
т), С: |
|
|
|
|
P = W + V + C * , .
и координатами точки Мх будут |
|
|
|
|
||
•*! = |
■* + £, |
У1= ^ + |
Ч. |
г 1==г + |
С. |
|
Отрезок р можем |
считать |
материальным |
волокном, |
длина которого |
||
сколь угодно мала. Перемещением точки |
будет: |
|
||||
чю' = и (JCU |
Уи * i)* + ® (* i. |
Vlt г х) У |
- |
y v г ^ к , |
и потому относительное перемещение точки Мг относительно М най
дём как разность: |
|
80 = а> '— w. |
(1.30) |
Если из точки М брать волокна р различных направлений, то ясно,
что относительные |
перемещения чх |
концов 80 будут вполне опреде |
|||||
z |
|
лять |
деформацию |
тела |
в |
||
|
окрестности |
точки |
М. |
Из |
|||
|
Р у г / / |
рис. |
14 явствует^ что новое |
||||
|
положение и длина волокна |
||||||
|
1 / |
р в |
результате |
деформаций |
|||
|
определяются |
вектором |
|
||||
МГ |
^ |
|
p' = p -f-8 0. |
(1.31) |
|||
М(Х.£V |
|
В дальнейшем мы будем |
|||||
|
рассматривать лишь настоль- |
||||||
|
■ |
. ко малую деформацию, что |
|||||
|
-Р |
|
тгппыилоий |
„ |
|||
|
|
сдвигов можно |
пренебречь. |
||||
9 |
|
Угол поворота волокна р и |
|||||
1*т |
его |
относительное |
удлине- |
||||
|
ние, |
следовательно, |
являют |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ся также весьма малыми ве |
||||
личинами. В таком случае |
абсолютное удлинение р равно проекции |
|||||||||||||
вектора 80 |
на |
направление р, |
т. е. |
их |
скалярному |
произведению |
||||||||
р • Зо |
а |
относительное удлинение |
его |
будет: |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
р — Р ‘ 8о |
|
|
|
|
(1.32) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Р ~ О* |
|
|
|
|
|
||
Обозначая |
через |
80а>, |
8^, |
8^ |
проекции |
относительного |
перемещения |
|||||||
80 по осям, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
«о = |
W |
+ V |
+ M |
- |
|
|
|
||
Из уравнения (1.30) |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
8ош = |
« (* + |
&» У + |
Ъ |
* + |
£) — «(* , у, г), |
|
||||||
|
|
8оу = |
®(* + |
5, У+ % * + |
С) — «(*, |
V, |
г), |
|
||||||
|
|
8о,**»(* + Ъ У+ 4* г + С)— w(x, |
у, |
г). |
|
Поскольку длина волокна р, а, следовательно, и его проекции 5, ц, С сколь угодно малы, правые части выражений (1.33) можно разло жить в ряды по степеням £, т), С и ограничиться только линейными членами:
|
|
|
а |
|
ди |
t |
|
да |
, |
ди |
г |
|
|
|
|
|
|
|
ду |
ч + |
— |
с. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дг |
|
|
|
|
|
|
|
5» = |
#дх* |
+ |
dv |
|
dv |
с, |
|
(1.34) |
||
|
|
|
ду |
|
dz |
|
|||||||
|
|
|
|
|
dw t |
, |
dw |
, |
dw r |
|
|
||
|
|
|
Ог* ' 1 Г |
5+ - ф г 1,1+ |
—dz |
1с. |
|
|
|||||
Входящие |
здесь |
производные |
от |
перемещений |
берутся, |
конечно, |
|||||||
в точке х, у , г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Гельмгольцу |
принадлежат |
|
следующие |
преобразования |
формул |
|||||||
(1.34): добавляя и вычитая в правой части |
первого |
равенства |
|||||||||||
|
|
|
1 |
dv |
|
И |
1 |
dw |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
дх |
4 |
2 “a F |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в |
правой |
части второго равенства |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
dw + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
» |
T |
dy |
^ |
|
|
|
и |
в правой части |
третьего |
|
равенства |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
ди |
f |
|
-L |
ду |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
dz |
K |
|
2 |
дг |
|
|
|
|
|
формулы |
можно переписать следующим образом: |
|
|
||||||||||
|
|
|
8о» = |
8« — «Л + |
®»С* |
|
|
(1.35) |
|||||
|
|
|
8<* = |
8tf— |
+ |
“Л |
|
|
|
||||
|
|
|
80в = |
8й— ® ^+® *Ч э |
|
|
|
где через фя, O>v, а>я обозначены щения ы:
f dw |
dv \ |
1 1 |
|
2 (ч ду |
dz )• |
<в»= |
1 / до |
2 \ д х |
компоненты вектора углового вра
II |
1 / да |
dw \ |
|
dz |
дх ) • |
||
|
ди \
(1.36)
д у ] '
8„. 8« ~ ■компоненты вектора 8, установлен ниже:
~2 &ху*\ Ч" ~2
\ ~ “2" |
Ч”ey y h Ч” ~2 е у**> |
|
**е ~ ~ 2 |
Ч” 2 |
Ч~ |
Здесь введены обозначения, которые называются формулами Коши:
ди етх— Qx >
e«V |
dv |
ду ’ |
|
|
dw |
II |
*?• |
II в |
II |
|
II |
&zx етг—
ди |
, |
dv |
|
|
ду |
1 |
дх ’ |
|
|
dv . |
dw |
(1.38) |
||
а * |
+ |
ду' |
||
|
||||
dw |
, |
ди |
|
|
-гг+ дг |
|
Как увидим, величины (1.38) представляют собой компоненты дефор мации. Соотношения (1.35) можно написать в векторном виде:
|
80 = 8 + ® X |
р. |
|
|
|
|
|
|
|
|
из которого явствует, |
что векторное произведение |
о) X |
р |
предста |
||||||
вляет поворот всей окрестности |
точки |
М , т. е. |
любого |
волокна |
на |
|||||
|
|
|
один |
и |
тот |
же |
угол *> |
и |
||
|
|
|
потому не связано с дефор |
|||||||
|
|
|
мацией материала в' такой же |
|||||||
|
|
|
мере, |
как |
и переносное пе |
|||||
|
|
|
ремещение |
w |
всей |
окрест |
||||
|
|
|
ности точки М . Путём пово |
|||||||
|
|
|
рота |
осей |
|
координат |
на |
|||
|
|
|
угол — ы |
можно |
добиться |
|||||
|
|
|
того, |
что |
вектор |
относи |
||||
|
|
|
тельного перемещения 80 бу |
|||||||
|
|
|
дет совпадать с вектором 8, |
|||||||
|
|
|
откуда ясно, что вектор 8 |
|||||||
|
|
|
определяет |
чистую |
дефор |
|||||
|
|
|
мацию материала в окрестно |
|||||||
|
|
|
сти точки М. Заметим, что |
|||||||
исключить переносное |
движение |
и поворот окрестности при заданных |
для всего тела перемещениях (1.29) можно только для одной произволь ной точки тела, и потому вектор 8 можно принять за вектор отно сительного перемещения только для изучения перемещений в окрест ности этой точки. Но поскольку вектор 8 определяет чистую дефор
мацию, ясно, |
что напряжения, |
возникающие в теле, |
могут зависеть |
||||||
только от него, но не от переносных векторов |
w и со. Итак, для |
||||||||
изучения перемещений и деформаций материала |
тела |
в окрестности |
|||||||
любой точки |
можно считать, что вектор 8 |
с его |
проекциями |
(1.37) |
|||||
есть |
вектор |
относительного |
перемещения. |
Оси |
координат |
х, у , z |
|||
поместим в изучаемую точку (рис. 15). |
|
|
|
|
|||||
Пусть направляющие косинусы волокна |
р будут: |
|
|
||||||
|
/ = |
cos(Ру х)\ |
т = |
cos (р, у); |
п — co s(р, |
г). |
|
||
Они, |
очевидно, выражаются |
так: |
|
|
|
|
|||
|
|
/ = |
7 * . |
т |
= 7 * ь |
|
|
|
|