Дискретно-полевые модели электрических машин. Часть I II
.pdfПреобразуя это выражение, получим |
|
µ1B z 2 = µ2 B z1 или H1 = H2 . |
(1.64) |
Можно также показать, что верхностный ток с плотностью при переходе границы составит
если на границе раздела имеется по- Jпов , то скачок магнитной индукции
∆ |
= − |
R2 − R1 |
− |
1 |
J |
пов |
, |
(1.65) |
|
|
|||||||
|
B z |
R |
B z |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. при переходе границы скачок магнитной индукции определяется как свойствами среды, так и наличием поверхностного тока.
Равенство касательных составляющих напряжённости электрического поля Eτ 1 = Eτ 2 следует из второго уравнения Максвелла:
|
|
|
∂ |
|
|
|
rot |
|
= − |
B |
(1.66) |
||
E |
||||||
∂ t |
||||||
|
|
|
|
при стягивании области к границе раздела. При интегрировании правая часть уравнения обращается в нуль, а выражение rot E через значения плотности тока в средах приводит к выражению
J y1 |
= |
J y 2 |
, т.е. E y1 = E y 2 . |
(1.67) |
|
|
|||
γ 1 γ 2 |
|
Условия для нормальных составляющих магнитной индукции иплотности тока вытекают из уравнений div B = 0 и div J = 0 . В этом
случае при переходе границ раздела сред будут наблюдаться скачки напряжённости магнитного поля в первом случае и напряжённости электрического поля во втором.
Решение системы уравнений Максвелла связано с преобразованием уравнений и выполнением дифференциальных операций с ними. Как было показано выше, выполнение дифференциальных операций с единичными функциями Хевисайда, описывающими магнитные и электрические свойства сред, приводит к возникновению δ-образных составляющих, эквивалентных постановке граничных условий на разделах сред [15]. При выполнении над функциями
31
Хевисайда дифференциальных операций второго порядка возникают члены с производными дельта-функций, эквивалентные возникновению на границах разделов двойных слоёв [15].
Таким образом, замена отдельных зон исследуемой области кусоч- но-однородной средой позволяет не только свести к минимуму число уравнений, описывающих электромагнитное поле, но и упростить постановку граничных условий, сведя её к формальной операции дифференцирования параметра среды попространственной координате.
Cпособ учёта граничных условий напоминает решение обычных дифференциальных уравнений операторным методом, когда начальные условия входят непосредственно в операторное уравнение, и операция «сшивания» решений на отдельных временных интервалах исключается. Разница подходов заключается в том, что если начальные условия заданы заранее, то для краевых задач δ-образные составляющие должны определяться в ходе решения задачи [17].
2.УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
ИИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Электромагнитные явления и процессы электрических машин при условии пренебрежения токами смещения описываются системой уравнений Максвелла, которые являются математическим описанием следующих законов [15]:
– закон полного тока
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.1) |
|||
|
|
|
|
rot H |
= J ; |
|||||||||||||||
– закон электромагнитной индукции |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= − |
∂ |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
rot |
|
B |
(2.2) |
|||||||||||||
E |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ t |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
В этих выражениях H |
– напряжённость магнитного поля; J – плот- |
|||||||||||||||||||
ность тока; |
|
– магнитная индукция; |
|
– |
напряжённость электри- |
|||||||||||||||
B |
E |
|||||||||||||||||||
ческого поля. |
|
|
|
32
Уравнения (2.1), (2.2) должны быть дополнены условиями замкнутости магнитного поля и тока:
div |
|
= 0 и div |
|
= 0 . |
(2.3) |
B |
J |
Последнее уравнение не является независимым, так как является следствием первого уравнения Максвелла. Оно обычно используется в том случае, если при расчёте магнитного поля не применялся закон полного тока.
Указанная система замыкается уравнениями материальных сред
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
= µH |
; |
J |
= γ |
E |
, |
(2.4) |
где µ и γ – магнитная проницаемость и электропроводность среды,
являющиеся скалярными постоянными величинами в однородных изотропных средах; в нелинейных изотропных средах они являются скалярными величинами, зависящими от величины магнитной индукции и напряжённости электрического поля, а в анизотропных средах – тензорными величинами.
При решении краевых задач часто используются векторный и скалярный магнитные потенциалы, в ряде случаев значительно упрощающих систему дифференциальных уравнений.
Векторный магнитный потенциал описывается уравнением
rot |
|
= |
|
(2.5) |
A |
B |
при произвольном задании его расходимости div A . Выбор этой ве-
личины называют калибровкой, которую реализуют таким образом, чтобы максимально упростить получающуюся систему уравнений. Использование векторного потенциала позволяет значительно упростить вычисление магнитных потоков отдельных участков исследуемой области
Ф = ∫ |
|
|
|
|
(2.6) |
BdS . |
|||||
S |
|
Используя теорему Стокса, полученное выражение можно преобразовать и записать его в виде циркуляции
33
|
|
= ∫ rot |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.7) |
|
Ф |
AdS = ∫ Adl , |
|||||||||
|
|
S |
|
|
|
L |
|
где L – контур, охватывающий поверхность S .
Скалярный магнитный потенциал используют в том случае, если плотность тока исследуемой среды имеет нулевое значение. При этом
|
|
|
|
|
|
= 0 |
и вектор |
первое уравнение Максвелла записывается в виде rot H |
|||||||
|
|
может быть представлен в виде градиента скалярной величины |
|||||
H |
|||||||
|
|
|
|
= grad φ . |
(2.8) |
||
|
|
H |
Электромагнитное поле в общем случае может содержать оба компонента – магнитное и электрическое поле и описываться соответствующими уравнениями. Для решения системы необходимо при помощи определённых преобразований исключить из неё один из векторов, сведя таким образом систему уравнений к краевой задаче. При преобразовании уравнений используются операции векторного анализа, наиболее распространённые из которых приведены в приложении к работе [16, 21].
Ниже представлены преобразования уравнений Максвелла для ряда задач.
2.1. ИЗОТРОПНЫЕ СРЕДЫ |
|
2.1.1. Однородная непроводящая среда |
|
Заданы µ = const; γ = 0 . |
|
Рассмотрим две задачи. |
|
1. Сторонний ток отсутствует: Jст = 0 . |
|
Уравнения магнитного поля: |
|
rot H = 0 ; div B = 0 . |
(2.9) |
При отсутствии токов поле напряжённости может быть представлено в виде градиента скалярной функции
34
|
|
= grad ϕ м , |
(2.10) |
|||||||||
H |
||||||||||||
где ϕ м − скалярный магнитный потенциал. |
|
|||||||||||
Учитывая, что для данного случая |
|
|||||||||||
div H = div |
|
|
|
= |
1 |
div |
|
= 0, |
|
|||
B |
(2.11) |
|||||||||||
|
|
B |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||
µ µ |
|
|
|
|
||||||||
и используя соотношение (2.8), получим |
|
|||||||||||
div grad ϕ м = 0 . |
(2.12) |
Преобразуя полученное выражение по правилам векторного анализа, получим уравнение Лапласа:
∂ 2ϕ |
м |
∂ ϕ 2 |
м |
∂ |
ϕ |
2 |
|
|
||
|
+ |
|
|
|
+ |
м |
= 0 . |
(2.13) |
||
∂ x2 |
∂ |
y 2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
∂ z 2 |
|
Решая уравнение совместно с заданными граничными условиями, соответствующими условиям краевой задачи, рассчитывается скалярный магнитный потенциал и компоненты напряжённости магнитного поля.
2. Сторонний ток является функцией пространственных коорди-
нат: Jст = f (x, y, z) .
|
|
|
|
|
|
rot H |
= Jст . |
(2.14) |
Длярасчётавихревогополявведёмвекторныйпотенциал B = rot A . Тогда
rot( |
1 |
rot |
|
|
) = |
|
|
ст . |
(2.15) |
|||
A |
J |
|||||||||||
|
||||||||||||
µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При постоянной магнитной проницаемости |
|
|||||||||||
rot rot |
|
= µ |
|
ст . |
(2.16) |
|||||||
A |
J |
|||||||||||
По правилам векторного анализа |
|
35
rot rot |
|
= grad div |
|
− ∆ |
|
= µ |
|
ст . |
(2.17) |
A |
A |
A |
J |
Используя калибровку Кулона div A = 0 , получим для векторного потенциала уравнение Пуассона
∆ |
|
|
|
|
(2.18) |
A= − µ |
J |
ст . |
Представляя векторный потенциал и плотность стороннего тока в виде трёх координатных составляющих, проектируя уравнение на координатные оси, получим систему трёх скалярных уравнений для каждой составляющей векторного потенциала:
∂ 2Ai |
|
∂ 2Ai |
∂ |
2Ai |
|
i = x, y, z . |
|
||
|
+ |
|
|
+ |
|
|
= −µJстi ; |
(2.19) |
|
∂ x2 |
|
∂ y 2 |
∂ |
z 2 |
Решение полученной системы совместно с заданными граничными условиями позволяет определить значения составляющих векторного потенциала в функции пространственных координат, а затем значения координатных составляющих магнитной индукции, используя выражение (2.5).
2.1.2. Неоднородная непроводящая среда
Задана плотность стороннего тока, µ = f (x, y, z) , γ = 0 . Снова рассмотрим две задачи.
1. Сторонний ток отсутствует: Jст = 0.
rot H = 0 : div B = 0 .
Магнитное поле имеет потенциальный характер и может быть записано в виде
H = grad ϕ м .
В этом случае
div |
|
= div (µH |
) = div (µ grad ϕ м ) . |
(2.20) |
B |
36
Раскрывая это выражение по правилам векторного анализа, получим
∂ |
|
∂ϕ |
|
|
∂ |
|
∂ϕ |
м |
|
∂ |
|
∂ϕ |
м |
|
|
|
|||
|
|
|
µ |
|
м |
+ |
|
|
µ |
|
+ |
|
|
µ |
|
= 0 . |
(2.21) |
||
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
∂ x |
∂ |
|
y |
∂ |
y |
∂ |
z ∂ |
z |
|
|
Решение уравнения с переменными коэффициентами и заданными граничными условиями позволяет рассчитать значения скалярного магнитного потенциала, а затем составляющие напряжённости магнитного поля.
2. Сторонний ток является функцией пространственных коорди-
нат: |
|
ст = f (x, y, z) . |
|
||||||||||||||||||
J |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rot H |
= Jст ; div |
B |
= div(µH |
) = grad µH + µdiv H = 0 . |
(2.22) |
||||||||||||||
Отсюда |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
grad µ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
div H |
H |
. |
(2.23) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
В данном случае заданы источники вихревого и потенциального полей и поэтому магнитное поле может быть представлено их суперпозицией, т.е.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
= Hв + Hп , |
(2.24) |
||||||||
причём |
|
||||||||||
|
|
|
|
п = 0 . |
(2.25) |
||||||
div H |
в = 0 ; rot H |
В этом случае вихревую и потенциальную составляющие поля можно представить в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
в = rot Ам ; Hп = grad ϕ м . |
(2.26) |
Подставляя (2.24) в первое уравнение (2.22) и учитывая (2.25), будем иметь для вихревой составляющей
rot rot |
|
м = grad div |
|
м − ∆ |
|
м= |
|
ст . |
(2.27) |
А |
А |
А |
J |
37
Согласно калибровке Кулона div Ам = 0 . Поэтому в окончательном виде получим
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
м= − |
|
|
ст . |
|
|
|
(2.28) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
J |
|
|
|
||||||||||
Проектируя уравнение на координатные оси, получим систему |
||||||||||||||||||||||
для составляющих векторного потенциала |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
∂ 2Aмi |
|
|
∂ 2Aмi |
∂ 2Aмi |
|
|
|
|
|
|
|
i = x, y, z . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
= −Jст i ; |
(2.29) |
||||||||||||
|
∂ x2 |
|
∂ y 2 |
∂ z 2 |
||||||||||||||||||
Второе выражение в (2.22) с учётом (2.26) может быть записано |
||||||||||||||||||||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
div µ(H |
в + Hп ) = div(µ rot Ам ) + div(µ grad φм ) = 0 . |
(2.30) |
||||||||||||||||||||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
div(µ grad φм ) = −div(µ rot |
|
м ) |
(2.31) |
||||||||||||||||
|
|
|
А |
|||||||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
µ |
∂ φ |
м |
|
+ |
∂ |
|
|
|
|
|
|
|||
∂ |
|
∂ x |
|
|||||
x |
|
|
∂ |
|
|
∂ |
φ |
|
|
∂ |
|
|
∂ |
φ |
|
|
|
|
|
||
м |
|
м |
= −div(µ rot Ам ) . (2.32) |
|||||||||||||
|
µ |
|
|
|
+ |
|
|
µ |
|
|
||||||
|
y |
|
|
|
|
|||||||||||
y |
∂ |
∂ |
z ∂ |
|
z |
|
|
|
Таким образом, решение задачи с известными краевыми условиями сводится к решению системы (2.29), нахождению по полученным значениям Ам правой части (2.32) и решению этого уравнения. Результат решения задачи определяется выражением (2.24).
2.1.3. Однородная проводящая неподвижная среда
Задана плотность стороннего тока, µ = const, γ= const,
Jст = f (x, y, z) .
Уравнение магнитного поля
rot |
1 |
rot |
|
= |
|
+ |
|
ст , |
(2.33) |
|
A |
J |
J |
||||||||
µ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38
где плотность тока проводимости
|
|
= γ(− |
∂ |
A |
|
+ grad φ) . |
(2.34) |
|
J |
||||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
∂ t |
|
Подставляя плотность тока в уравнение магнитного поля и преобразовывая полученное выражение, будем иметь
|
|
|
|
|
|
|
|
+ µγgrad φ+ |
|
ст . |
|
grad div |
|
− ∆ |
|
= − µγ |
∂ |
A |
(2.35) |
||||
A |
A |
|
J |
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
∂ t |
|
При постоянных µγ произведение можно внести под знак grad и ввести калибровку div A = µγφ . Тогда уравнение будет иметь вид
|
|
∂ |
|
|
= − µ |
|
ст . |
|
|
∆ |
|
|
A |
(2.36) |
|||||
A− µγ |
|
J |
|||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
∂ t |
|
Проектируя уравнение на координатные оси, получим систему для трёх проекций вектора A в декартовой системе координат
∂ 2 Аi |
|
∂ 2 Аi |
∂ |
2 Аi |
∂ |
Аi |
|
|
|
i = x, y, z , |
|
||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
+ |
|
|
+∂ |
|
|
− µγ∂ |
|
= −µJст i ; |
(2.37) |
|||
∂ x2 |
|
∂ y2 |
|
z2 |
t |
Решив смешанную краевую задачу, определяем векторный магнитный потенциал A(x, y, z,t) , затем div A , скалярный потенци-
ал φ и grad φ.
2.2.АНИЗОТРОПНЫЕ СРЕДЫ
2.2.1.Однородная непроводящая магнитная среда
Магнитная проницаемость, электропроводность, плотность стороннего тока записываются в виде: µ , γ = 0 , Jст = f (x, y, z) .
Магнитная среда электрических машин чаще всего является ортотропной, которая характеризуется тем, что оси анизотропии совпадают с осями координат, причём проницаемость по двум координа-
39
там имеет одинаковую величину [22]. Если, например, µ X = µZ = µ XZ , а µY ≠ µXZ , то тензор магнитной проницаемости является диагональным и записывается в виде
|
µ xz |
0 |
0 |
|
|
|
µ = |
0 |
µ y |
0 |
|
(2.38) |
|
|
0 |
0 |
µ xz |
|
|
|
Уравнение магнитного поля в этом случае |
|
|||||
rot −1rot |
|
= 0 , |
(2.39) |
|||
A |
где −1 – тензор, обратный тензоруµ,
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
µxz |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ−1 = |
0 |
1 |
0 |
|
(2.40) |
|||
|
|
|
||||||
|
µy |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
µxz |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя в (2.38) выражение векторного магнитного потенциала
A = i Ax + j Ay + k Az ,
выполняя математические операции по правилам векторного анализа ипроектируя векторное уравнение на координатные оси, получим системускалярныхуравненийдлятрёхсоставляющихвекторногопотенциала:
|
1 ∂ 2Ax |
|
|
|
1 |
∂ |
2Ax |
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
1 |
|
|
∂ |
|
Ay |
|
|
|
1 ∂ |
Az |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= −J |
ст x |
; |
(2.41) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
µxz ∂ y |
|
|
|
µy ∂ |
|
z |
|
|
|
∂ |
x |
|
|
µxz ∂ y |
|
|
µ y∂ |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 ∂ 2Ay |
|
+ |
1 ∂ |
|
2Ay |
− |
∂ |
|
|
|
|
1 ∂ Ax |
+ |
|
1 ∂ |
|
Az |
|
= −J |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ст |
y ; |
(2.42) |
|||||||||||
µ |
|
|
|
|
∂ x2 |
|
µ |
|
|
|
|
∂ |
|
z 2 |
|
|
y |
|
µ ∂ |
|
x |
|
µ |
∂ |
|
|
z |
||||||||||||||||||||||||||
xz |
|
|
|
|
|
xz |
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xz |
|
|
|
|
|
|
|
|
xz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40