Принципы и практика решения задач по общей физике Часть 2. Электромагн
.pdfа интеграл берется по длине / -й стороны (они пронумерова ны цифрами 1, 2, 3 и 4 на рис. 3.2). Так как длина любой сто роны много меньше расстояния до точки Р , то приближенно можно записать
В, = И0
4к rf
Здесь 5, - вектор, имеющий направление тока на i -й стороне
с длиной, равной стороне квадрата а\ rt |
- |
радиус-вектор, |
проведенный из середины г-й стороны |
в |
точку Р (см. |
рис. 3.2). |
|
|
Найдем сначала сумму В, и В3: |
|
|
By + В3=iv [JMl+lMl
|
4 7 1 1 |
г,3 |
г / |
' |
Теперь учтем, что |
- -а, |
и ij=r3 * r |
Тогда |
|
By + В3 |
НоI |
te O S - iQ ] |
|
|
|
471 |
|
г 3 |
|
Кроме того, на рис. 3.2 видно, что г, - г3 = а2 и [а,й2] = |
||||
= а'п . Таким образом, получаем |
|
|
||
В, +В3 |
Ц0/Д П _ НрРт |
|
||
|
4т1г3 |
4яг3 |
|
(мы учли, что 1а2п равно магнитному моменту рт).
Займемся теперь оставшейся суммой В2 и В4:
В2+В4 =M /IMI+IMJ |
(1) |
|
4я { г23 |
г43 |
|
|
|
|
|
а |
. - |
|
а . п |
|
|
|
|
|
Гл~г +—sm0, |
г, ~ г --- sin 8. |
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В->+ Вл = Но7 |
|
• |
[a2hl |
у |
+ 'г |
[“S A] |
|
||
|
|
4яг |
|
„ |
|
\3 |
|
|||
|
|
|
|
1 - — sin© | |
|
1 + — sin0 |
|
|||
|
|
|
|
. |
2г |
J |
1 |
2г |
J |
> |
Или |
с |
|
|
ТОГО, |
ч т о |
|
#4 —~&2» |
|
||
и гл+ г2 ~2 г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б _ |
Ию7 |
г ~ ~ 1 |
ЗЦр/а |
, |
|
(2) |
||
|
|
|
|
|
|
4да4 sin0-[n4r] |
||||
(при |
этом |
мы учли |
приближенные |
формулы |
(1+ JC)3 « |
|||||
«1 + Зх, —-— ~ 1 - х |
для д:«: 1). Так как произведение [54а, ] |
|||||||||
|
1+ * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равно а2п , то первое |
слагаемое |
в |
(2) |
будет равно |
||||||
VoPml4nr' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
__ |
р |
|
|
Введем теперь единичный вектор |
|||||
|
~~ |
т, касательный к окружности радиуса |
||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
г с |
центром в точке О |
и проходящей |
|||||
|
|
\ |
через векторы |
рт и г |
Направление |
|||||
|
|
|
этого вектора привяжем к направлению |
|||||||
|
|
|
отсчета угла 0 (рис. 3.3). С использо |
|||||||
|
Рис. 3.3 |
ванием данного вектора второе слагае |
||||||||
|
мое в (2) можно записать как |
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
Зр0/а2г |
. Q _ |
3йо|[л,г]|- |
|
|
||||
|
|
■ |
—s m 8 x = ----- ------- LT . |
|
|
|||||
|
|
4яг4 |
|
|
г4 |
|
|
|
а |
+ л |
. л ц ь + 2 : I I M LX. |
(3) |
|
2 |
4 |
4пг3 /'и ' |
4пг4 |
|
И в итоге, складывая (1) и (3), получаем |
|
|||
В = В „ + В = - ^ г рт+- |
т, |
(4) |
||
|
" |
т 2яг3 Ит |
4яг4 |
|
где векторы |
и Вт |
представлены на рис. 3.4. Здесь же |
представлена картина линий вектора В . Не правда ли, очень напоминает картину линий вектора Е поля электрического диполя? На самом деле эти картины аб
солютно идентичны. Для того чтобы |
|
||
убедиться в этом перепишем выражение |
|
||
(4) через составляющие поля вдоль на |
|
||
правлений векторов |
рт и г После не |
|
|
сложных преобразований приходим к |
|
||
следующему выражению |
|
||
д _ ЗЦ0 (pmr)r \10рп |
|
||
4пг |
(5) |
|
|
4пг |
|
||
А это полностью совпадает с полу |
Рис. 3.4 |
||
ченным нами ранее |
выражением для |
||
|
вектора Е поля точечного электрического диполя (форму ла (5) в задаче 1.1.5).
И в заключение найдем модуль вектора В. Приме нив теорему косинусов к выражению (4) или (5), нетрудно получить
fi= i % V T 7 w 0 , |
(6) |
4лг |
|
что также полностью совпадает с выражением для модуля
вектора Ё поля точечного электрического диполя. Вот по чему элементарный контур с током называют магнитным ди полем (по аналогии с электрическим'диполем).
3.1.2. Поле плоских контуров. На практике часто при ходится иметь дело с проводниками, находящимися в одной плоскости с заданной точкой поля. В этом случае закон БиоСавара приобретает особенно простой вид. Так как точка на
блюдения находится в плоскости проводника, то вектор dB
от любого линейного элемента тока Idl перпендикулярен
плоскости проводника, и тогда интеграл jdB сводится к ин
тегралу от модуля dB :
р.0/ (гЯвтф
где <р - угол между направлением элемента тока и направле
нием на данную точку пространства Р (рис. 3.5). Очевидно, dl sin ф = rd<p. И тогда для В получаем
B = b L |
О) |
|
4п 1г(ф) ’ |
||
|
/где интегрирование производится по
/ |
dl |
всем |
углам, |
под которыми распола |
|||
гаются выбранные элементы тока по |
|||||||
|
|
||||||
|
|
отношению |
к некоторому фиксиро |
||||
|
|
ванному направлению. Рассмотрим |
|||||
|
|
теперь некоторые |
приложения |
фор |
|||
|
|
мулы (1). |
|
|
|
||
Р |
|
|
1. |
Поле кругового тока в центре. |
|||
|
Для |
всех |
углов |
г(ф) = R, |
где |
||
Рис. 3.5 |
|
|
|
|
|
R - радиус окружности. Тогда
2. Поле в фокусе эллипса, большая и малая полуоси ко торого равны соответственно а и b . Известно, что уравне
ние эллипса в полярной системе координат имеет вид
|
|
' V4v |
lл+ ecoscp » |
|
|
где р =Ь2 /а - фокальный параметр; е = л/а2 - b 21а >1 - экс |
|||||
центриситет. Тогда |
|
|
|
|
|
|
в _ М |
2г 0 + ecos<p)rf(p _ ц0/ |
р0д/ |
||
|
4я |
о |
Р |
2р |
2Ь2 |
3. |
Поле прямолинейного тока на расстоянии Ъ от него |
||||
(рис. 3.6). В данном случае удобно зависимость г(ф) пере |
|||||
вести в зависимость r(a) = fc/cosa. Тогда |
|
||||
|
В =М 7 |
cosa^a _ р0/ |
|
||
|
|
4я J /2 b |
~2пЬ |
|
Рис. 3.6
4.Поле в центре правильного и-угольника, вписанного
вокружность радиуса R (рис. 3.7). Понятно, что нам доста точно найти поле Вх от одной стороны п -угольника и затем
помножить на число сторон. Каждая сторона видна из центра под углом а 0 = 2л / п , причем b = /?cosa0 / 2. Тогда восполь
зовавшись решением предыдущей задачи, получаем
В =2M T c o s a r f a =- ^ t g ^ - =i^ - t g - .
1 |
4лЬ |
0J |
|
|
2nR 6 2 |
2nR |
л |
|
||
И полное поле |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
В =пВ1 |
iV ^ t |
я |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2nR |
л ' |
|
|
|
Очевидно, при |
л —»«> это выражение переходит в вы |
|||||||||
ражение для поля кругового тока ( 1йпл_>оо(л • tg л In) = я ). |
|
|||||||||
—X |
|
5. Поле плоской спирали. Тонкий изолиро- |
||||||||
( и [ ) ] \ \ |
ванный |
провод образует плоскую |
спираль |
из |
||||||
i I \У f S / J |
N |
плотно расположенных витков, по которым |
||||||||
---- ' |
протекает ток / |
Радиусы внутреннего и внеш- |
||||||||
J I |
него |
витков |
равны |
соответственно |
а |
|||||
|
и b (рис. 3.8). Найти индукцию |
В в центре |
||||||||
Рис. 3.8 спирали и магнитный момент. |
|
|
|
|||||||
Уравнение спирали можно представить в виде |
|
|||||||||
|
г(ф) = а + Ъ -а |
|
0<<р<2яУ |
|
|
|||||
|
|
|
|
2лЫ Ф. |
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J - M 7 |
f — - f t g L h i . |
|
|
||||||
|
|
4я |
о |
а +— |
|
Ф 2(Ь~ а) |
а |
|
|
|
|
|
|
|
2nN |
|
|
|
|
||
Разбивая |
спираль на |
|
малые |
секторы |
площадью |
dS = -^г2^ф , ее полный магнитный момент можно записать
в виде |
|
|
/ , 2 . / 2п? |
Ь - а |
ЛN1 ! 2 |
л .J_____ /г\ |
|
3.1.3. Поле полусферы. Деревянный шар радиусом R обмотан тонкой проволокой так, что все витки параллельны между собой. Витки плотно уложены и покрывают половину поверхности шара в один слой (рис. 3.9). По проволоке течет ток / . Найти магнитное поле в центре
шара. Общее число витков N Витки |
|
можно считать кольцами, находящими |
|
ся на равном расстоянии по дуге боль |
|
шого круга, плоскость которого пер |
|
пендикулярна плоскости колец. |
|
Разумно задавать положение л-го |
|
витка через угол ф„, под которым ви |
|
ден край витка из центра сферы относи- |
Рис. 3.9 |
тельно оси симметрии: фп =nn/2N . Опираясь на закон БиоСавара, нетрудно получить значение индукции магнитного
поля в центре |
сферы |
от |
одиночного |
витка с радиусом |
|
Гп = RsinФ„: |
|
|
|
|
|
В |
= |
\dlsin ф |
= -^ -sin 2 ф . |
||
" |
4nR2 1 |
" |
2R |
Тл |
Иполное поле N витков
Я=2 Х = — £ s in2— •
^" 2 R t \ 2N
Входящая сюда сумма является известной:
N |
1 |
N |
cos(N + l)jc-sin№t |
. |
£ |
sin HJC= |
----------2 |
-------7----------- |
|
fiS |
|
2sin JC |
|
Внашем случае х = п/ 2N Тогда окончательно получаем
Д, И./(№ + 1)
4R
3.1.4. Поле треугольной пластины. Определить индук цию магнитного поля в центре однородной металлической пластинки, имеющей форму равностороннего треугольника
со стороной I , если ток I подводится по проводам, присое диненным к двум вершинам треугольника. Магнитным полем подводящих проводов пренебречь.
Понятно, что прямой аналитический расчет представля ет большую проблему. Во-первых, необходимо рассчитать распределение токов по пластине и, во-вторых, по найденно му и, скорей всего, не простому распределению токов опре делить создаваемое ими поле. Нас могут спасти только сооб ражения симметрии. Треугольник - довольно симметричная фигура, и точка О , в которой ищем поле, является центром симметрии. Для того чтобы воспользоваться соображениями симметрии добавим еще один проводник к третьей вершине треугольника. Подведем теперь к точкам А и В одинаковые токи 1/3 (рис. 3.10, а). Тогда из точки С должен выйти ток 2//3.
В силу симметрии картина распределения поверхност ных токов (отображена пунктирными линиями) внутри пла стины должна быть симметричной относительно биссектри сы СС' А это означает, что индукция магнитного поля на
линии СС' обращается в нуль. Подведем теперь к точке А ток 2//3 (рис. 3.10, б). В этом случае через точки В и С должны выйти одинаковые токи 1/3. Опять же в силу сим метрии картина распределения поверхностных токов будет симметричной относительно биссектрисы АА' , и во всех точ ках на ней магнитное поле равно нулю. При наложении обе их рассмотренных картин складываются как токи, так и их поля. При сложении токов к узлу А будет подводиться сум марный ток / , и этот же ток отводится через узел С (именно это и было заложено в условии задачи). К узлу В ничего не поступает и не отводится, т.е. введенный нами искусст венно третий проводник не играет никакой роли. Но при на ложении полей в центре треугольника, который принадлежит одновременно прямым АА' и СС' , складываются поля, рав ные нулю. Значит, в точке О индукция магнитного поля бу дет равна нулю (это касается только центра симметрии!).
3.1.5. Поле токов, распределенных по поверхности. На практике часто встречаются задачи, в которых требуется рассчитать магнитное поле, созданное каким-либо участком плоской поверхности, по которой протекают поверхностные токи. В такой ситуации удобно ввести понятие вектора ли нейной плотности тока i Это вектор, направленный вдоль линий тока, и его модуль равен силе тока, приходящегося на единицу длины, перпендикулярной току (она играет роль «поперечного сечения»). Тогда составляющая вектора маг нитной индукции, параллельная поверхности и перпендику лярная вектору линейной плотности тока i , определяется формулой Вц =р0/£2/4я. Здесь Q - телесный угол, под ко
торым виден участок поверхности из рассматриваемой точки (аналогичное соотношение рассматривалось нами ранее и для электрического поля - см. задачу 1.1.12).
Для доказательства выделим на рассматриваемой по верхности бесконечно малый прямоугольный участок пло
щадью 6S =6а-6b (рис. 3.11). Расстояние от него до рас сматриваемой точки - г , а угол, под которым виден участок 6S по отношению к нормали к поверхности, - 0. По закону Био-Савара участок 6S создает магнитное поле с индукцией
|
p05fc[6af,F] |
р055[Гг] |
||
|
ОВ = ----------:----------------- г |
|||
|
|
4пг |
|
4пг |
|
|
|
Выберем систему координат |
|
2 |
^ ё |
так, |
чтобы ось X совпала с на- |
|
“ 5Вц |
правлением тока, а ось Z совпада |
|||
|
|
ла с нормалью к элементу 6S (см. |
||
|
|
рис. 3.11). В этом случае нас будет |
||
|
Y |
интересовать проекция вектора 6В |
||
|
|
на ось Y (именно это направление |
||
|
|
параллельно плоскости протекания |
||
рис_з. 11 |
тока |
и |
перпендикулярно вектору |
I )
65
4тгг3
В соответствии с правилом раскрытия векторного про
изведения нетрудно показать, что [*т]у =i-z =ir cos0. Тогда
5в p0i 65 cos 9
у4п г2
Входящий сюда множитель 5Scos9/r2 представляет собой по определению телесный угол 5£2, под которым ви ден элемент 6S из рассматриваемой точки пространства. Та ким образом,
6 B = ^ 6 Q .
'471