Аэродинамические источники шума
..pdfПусть величины Pj и Р&, содержащиеся в (2.50), рассматрива ются соответственно в моменты времени х\ и тг так, что t 2—х\ = х. Тогда имеем
|
|
dPj (Ti) |
(т2) _ |
dpJ(Ti) |
dPk (хг + т) _ |
|
|
|||
|
|
dt! |
дХ2 |
|
дх1 |
дх |
|
|
|
|
|
1 |
\ dPj(?\) |
dPk(xx+г) |
|
1;„ 1 |
д |
i |
|
X |
|
= Нш— |
\ |
атз |
|
d x ^ M m — |
— |
\ - |
^Ti |
|||
г-**» |
2Т |
J |
|
|
г-*™ 2Т |
дх |
J |
|
||
|
|
-т |
|
|
|
|
|
-Г |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—Т |
|
|
|
|
|
|
|
- Р , М дРм,1 + х)- )ч ь . |
|
|
|
(2. 52) |
Первый интеграл в правой части (2.52) равен нулю, поскольку Pj и Ph являются ограниченными величинами, а интервал времени Т может быть выбран сколь угодно большим
1- |
1 |
Г |
д |
T D г ) n / |
I |
М , |
|
p ;(Ti)pfc(Ti + т>1Т,=Г |
= 0. |
||||
оо |
ZJ |
J |
ОХ\ |
|
|
|
|
|
Т-+0О |
2Т |
Л.—г |
|
|
|
|
—т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При вычислении второго интеграла в (2.52) учтем, что |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
dPk(ti 4- т) |
_ |
а я ^ |
+ т) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
dxi |
|
|
дх |
|
|
|
|
|
Тогда в результате получаем |
|
|
|
|
|
|||||||
|
др}(х1> |
ая*(т2) = |
lim |
1 |
^ |
|
|
|
|
||||
|
|
^Ti |
|
dt2 |
|
Г-voo |
2Г |
dt2 |
- Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
dpy(Ti) |
дЯ*(та) |
|
|
d 2 P y ( T i ) P ft(Ti |
+ Т) |
|
(2. 53) |
|||
|
|
dtj |
|
<ЭТ2 |
|
|
|
(?Т2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Аналогично рассмотрим производные по времени |
от величин |
|||||||||||
Ilij и П/(;, содержащихся в выражении |
(2.51). Используя соотноше |
||||||||||||
ние (2.53), имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
с^Ц/уРч) dmkl\ x 2)_ |
^ i j ( xi) |
dmj(xl + т) _ |
|
|
||||||
|
|
|
|
ат^ |
dxi |
|
|
arj |
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
аз |
p |
дД<у (Ti) |
|
|
|
|
|
|
|
|
— lim — |
атз- |
J |
|
dxi |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
T-+oo |
2Г |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
-г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ ^ г № Л т ,)п м (т! + |
, ) ] - п |7(т1)е Ь И 1 ± Д |
X |
|||||||
|
|
|
|
-T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X dx,= |
i |
a4 |
dx'= ~!-Lm. w |
) “ 'И*') “ « < * '+ * > "'• |
—T
При последнем преобразовании в (2.54) учтено равенство нулю
.первого интеграла в фигурных скобках вследствие ограниченности величин n 2-j, Пы, а также равенство
дЩ/ (Т! 4- т )__дЛы (t! -f- т)
|
|
дхл |
дх |
|
|
Из выражения (2.54) следует, что |
|
|
|||
|
д2Пи (тО d2ukl (т2) _ ^ 4п/у (Ti) llkl (?i + т-) |
(2. 55) |
|||
|
дх\ |
дх\ |
дх4 |
||
|
|
||||
Подставив выражения (2.33) для производных Рц и П^- в (2.50) |
|||||
и (2.51), получим с учетом соотношений |
(2.53) и (2.55) |
интенсив |
|||
ность «сдвигового» |
и «собственного» шумов соответственно |
||||
/ = - |
|
XiXi |
diu'jft, |
0)u'k(r) + |, т) |
|
^4(1 — Мк COS 0)3 \ \ |
dV{x\) X |
||||
4л2д0с^ |
дх* |
|
|||
|
|
|
V |
|
|
|
|
X |
диг |
|
(2. 56) |
6с |
X j X j X k X t |
Г |
0)д#(ч + £, t) ^ |
I |
|
16я2еоС5 |
JC6 ( I — MKcos 0)5 |
J I J |
dx4 |
W |
|
|
|
|
XrfK(ti). |
|
(2.57) |
Введем обозначения для пространственно-временных корреляци
онных функций /?^=и}(ч , 0 )ий(т1+ | 1x)HR* = UiUj(*\, 0) UkUi (л + 1 ’г)* В результате выражения для интенсивности «сдвигового» и «собст венного» шумов будут иметь вид
xixi_____ Г v ^ н и Л ( ^ 2а у . |
(2. 58) |
4л2д0Со х* ( 1 — Мк cos 0)3
(2. 59)
16n2Q0Co JC6(1 — мк COS 0)5
При оценке интенсивностей составляющих шума струи будем считать, что распределение пульсационных скоростей в зоне сме шения подчиняется нормальному закону распределения. С наиболь шей строгостью это подтверждается вблизи центральной области смешения, данные о структуре потока в. которой являются исход ными при оценке шума турбулентной струи.
Для дозвуковых турбулентных струй корреляционная функция R, учитывающая распад турбулентных вихрей в пространстве и во времени и соответствующая нормальному закону распределения, представляется в виде [105]
где L — характерный пространственный масштаб пульсаций ско рости; со = 1/j} — характерная частота в системе координат, движу щейся со скоростью конвекции турбулентных вихрей; р — интег ральный масштаб времени пульсаций скорости, практически совпа дающий для различных составляющих пульсаций.
Вычисление интегралов от производных корреляционных функ ций, содержащихся в (2.58) и (2.59), проводится в движущейся системе координат, где интервал времени для принятой модели двухмерного потока согласно (2.49) определяется
_ х х c o s 6 + х 2 sin 6 |
Q \ ) |
CQ (1 — М к c o s 0) |
|
Сдвиговый шум. При расчете интенсивности «сдвигового» шума |
|
учтем, что лульсационные скорости щ' и ик |
содержащиеся в вы |
ражениях (2.56) или (2.58), представляют собой поперечную пуль-
сационную скорость и2 = v \ |
а |
координаты |
Х{ и xt — расстояние |
вдоль оси струи Xi = xcos0, |
а |
величина L, |
введенная в (2.60), |
представляет характерный пространственный масштаб поперечных
пульсаций скорости L(u2) = Lv. |
|
|
|
функ |
|
Выполняя в (2.58) дифференцирование корреляционной |
|||||
ции, получаем |
|
|
|
|
|
дЩ : 2wfи>2 (2ш2т2 - |
1) ехр[- -р - { х \ + х \ + л§) - |
со2т2] . |
|||
дт2 |
|
|
|
|
|
Осуществим поворот осей координат х\, |
х2 на угол 0 и перейдем |
||||
к переменным у и z так, что |
|
|
|
|
|
Jocose+ .*2 sin В=у, |
|
|
^2 62^ |
||
—- JCj sin 0 -|-^С2 cos 0 |
|
|
|
||
Принимая во внимание значения интегралов |
|
|
|||
^ ХР ( ~ ^ ) Л = ^ |
И^ |
еХР( ~ |
^ ) Л = ^ |
' |
(2.63) |
получаем |
|
|
|
|
|
д2R dV = |
2(1 — Мк cos0)3и. о)2L3a |
|
(2.64) |
||
|
|
0 )2 L2 - 3/2 * |
|
||
дх2 |
(1 — Мк cos 0)2 - f |
|
|
||
|
TICn |
|
|
||
После подстановки результата |
интегрирования (2.64) в |
(2.58) |
можно получить интенсивность «сдвигового» шума единицы объема струи
|
>2( <>UX\2 ,3 |
|
df |
cos2 ве>21» \ дх2 |
) |
|
2n2QCcJjc2 (1 — M K COS 6 ) 2 |
+ |
|
|
nc\ |
Следовательно,. интенсивность «сдвигового» |
шума |
пропорцио |
|||
нальна |
квадрату |
характерной частоты со, поперечной |
пульсацион- |
||
и |
|
/ |
и |
dU1 |
а также ха- |
нои скорости v |
|
и градиенту средней скорости |
----- , |
||
|
|
|
|
дХ2 |
пульсации- |
рактерному пространственному масштабу поперечных |
скорости Lv в третьей степени.
Собственный шум. Для возможности проведения оценки интен сивности «собственного» шума (2.59) необходимо ввести дополни тельное упрощающее приближение о структуре турбулентного по тока. Так, реальная неоднородная турбулентность в зоне смешения струи заменяется в пределах каждого турбулентного вихря мо делью однородной изотропной турбулентности. При этом предпола гается, что статистические величины, характеризующие структуру турбулентного'потока, могут изменяться по мере перемещения от
одного вихря к другому. |
|
|
х ^ ' / х , со |
В соответствии с принятым допущением величины |
|||
держащиеся в (2.57) или (2.59), являются |
компонентами скорости |
||
в направлении лги могут быть записаны |
как их . При |
введенной |
|
модели турбулентного потока величина |
их |
не зависит |
от выбора |
направлениялг. Если в качестве этого направления взять направле ние истечения или ось струи, то их' будет представлять продольную пульсационную скорость и\=и'. Отметим, что выбор продольной пульсационной скорости в качестве характерной скорости предпо лагает оценку «собственного» шума струи с «запасом», поскольку,, как будет показано далее, продольные пульсации скорости явля ются максимальными.
Корреляционная функция /?*, соответствующая нормальному за
кону распределения, в этом случае определяется |
|
^ = (^?2)2_)_2/?2. |
(2.66.) |
В результате дифференцирования имеем |
|
- ^ - = 32 (й7>(м<(3-24со2т2+ 16coV)exp[- 2 л ( х \ - \ - x 2+ xt)/Ll —
д" -2 .W ],
где Lu= L(u\ ) — характерный пространственный масштаб про дольных пульсаций скорости.
Интегрируя выражение (2.59) при времени задержки т в дви жущейся системе координат (2.61), осуществляя поворот осей ко ординат на угол 0 с переходом к переменным у и z и учитывая»
значения интегралов |
(2.63) |
и |
|
|
оо |
|
л£2 |
\ |
|
|
ехр |
|||
о |
ч |
) |
||
|
||||
имеем |
|
|
|
|
d*R* |
‘И |
/ 2 ( 1 — МкСО5 0)5(о4(а'>/.„ |
||
дх* |
|
(I — М-к c o s 6)2 + ----г |
||
Iоо |
|
п с о
При подстановке результата интегрирования (2.67) в (2.59) ин тенсивность «собственного» шума единицы объема струи представ ляется в виде
(и |
;з / 2 |
е У (а ’ У 4 |
|
~ dV |
~ |
|
S , |
|
|
||
|
2 я 2 д 0<фс2 ( 1 — |
Мк COS 0)2 -f- |
9 |
|
|
|
я с 0 |
(2. 68)
5/2
Если корреляционную функцию R (2.60) взять в виде, учиты вающем анизотропность среды,
л х л |
ЯЛГо |
|
nxt |
|
||
Н = и \ ехр |
/ 2 |
|
|
|
- (о2Т2 |
|
L1 |
|
|
|
|
||
то в результате интегрирования получим |
|
|
|
|||
3 / 2 Q ^ 4 |
( а ,3)2 L 1L 2L 3 |
|
|
|
||
/ ' = ----------- |
0)2L\COS2 0 |
/ |
Z| |
’ 5/2 ‘ |
||
2я2д0с^2 (1 — Мк COS 0 )2 Н |
||||||
- ---------- 2---------- |
\ |
1 + - 7 2 |
- ^ 2 0 |
|||
|
|
яс0 |
Ll |
|
(2.69)
(2. 70)
При LI = L2 = LZ= L выражения (2.68) и (2.70) совпадают. Таким образом, видно, что интенсивность «собственного» шума
единицы объема турбулентной струи пропорциональна четвертой степени характерной частоты со и пульсационной скорости и', а так же кубу характерного пространственного масштаба пульсаций ско рости Lu.
Обратимся к сравнению факторов направленности в выражени ях для интенсивностей «сдвигового» (2.50) и «собственного» (2.51) шумов, полученных без учета распада источников шума турбулент ного потока, и факторов направленности в выражениях (2.65) и (2.68), полученных с учетом изменения размеров источников шума во время их перемещения.
Видно, что при условии учета распада |
турбулентных |
вихрей |
||
факторы |
направленности в |
(2.65) и |
(2.68) имеют вид |
|
1(1.— MKcos 0)2+ш2/ 2/ясо]-'г/2, |
где п = 3,5, вместо (1—MKcosO)~n в |
|||
(2.50) и |
(2.51). Видоизменение факторов |
направленности |
означа |
ет помимо изменения интенсивности суммарного акустического из лучения еще и факт исчезновения особенностей звукового поля. С физической точки зрения полученный результат отражает про цесс диссипации энергии турбулентного движения во времени и пространстве.
Графически преобразование фактора направленности в зависи мости от скорости конвекции турбулентных вихрей удобно проде монстрировать в координатах t и у с помощью кривых постоянной корреляции, характеризующих размеры турбулентных вихрей (рис.
2.8), Пусть размер неподвижного турбулентного |
вихря |
(Мк=0) |
||||
равен L, разность |
моментов излучения от |
концов |
вихря |
равна 7\ |
||
а изменение |
вихря |
во времени |
характеризуется |
интегральным |
||
масштабом |
времени (3=^1/со (рис. |
2.8, а). |
Определим фактор на- |
Рис. 2.8. Влияние конвекции на эффективный размер излучающего объема и ин тервал времени излучения
правленности для трех характерных случаев движения турбулент ного вихря.
Если скорость конвекции в направлении расположения наблю дателя coMKcos0 мала по сравнению со скоростью распространения звука MKcos0<Cl, то увеличение излучающего объема и разности времени излучения практически представляется, как было показа но из рассмотрения рис. 2.5, коэффициентом (1—MKcos0)-1 (см. рис. 2.8, б).
В случае конвекции турбулентного вихря в направлении под углом 0. к направлению движения со скоростью звука Мн cos 0 = 1 разность моментов излучения от концов вихря становится равной интегральному масштабу времени р=1/(о, т. е. изменяется относи тельно неподвижного вихря пропорционально множителю с0/coL (см. рис. 2.8, в). Аналогично изменяется эффективный объем тур булентного вихря. Следовательно, при 0 = arccos (Мк-1) фактор на
правленности изменяется пропорционально |
с0/а)Ь, ч т о также |
сле |
|
дует из общего выражения |
[(1 — MKcos 0)2 —со2Z.2/тсСо]—1/2 |
|
|
Если скорость конвекции |
в направлении, |
образующем угол |
0 с |
направлением движения турбулентного вихря, намного больше ско рости распространения звука MKcos03>l, то величина эффектив ного объема и интервал времени излучения изменяются пропорци онально множителю (MKcos 0 —I)-1 (см. рис. 2.8, г ) .
Теперь непосредственно перейдем к определению интенсивности акустического излучения турбулентной струи. Из выражений для интенсивности «сдвигового» (2.65) и «собственного» (2.68) шумов видно, что акустическое поле струи определяется распределением средних и пульсациоиных скоростей в зоне смешения и простран ственно-временными характеристиками турбулентности. Поэтому необходимо обратиться к результатам экспериментальных исследо ваний турбулентных характеристик струи.
Исследований) структуры потока в зоне смешения турбулент ной струн посвящено множество работ. Однако не все полученные экспериментальные данные представляют практический интерес с точки зрения оценки шума струи. В этом разделе приведены ре зультаты исследований структуры турбулентного потока, которые позволяют представить в основных чертах картину образования аэродинамического шума и провести оценку звукового поля струи на основе полученных ранее зависихмостей между шумом, и турбу лентностью.
Турбулентный поток в зоне смешения струи может рассматри ваться как сложная совокупность движущихся турбулентных вих* рей. Взаимодействие этих нестационарных объемов жидкости обус ловливает возникновение акустического излучения, интенсивность которого определяется величиной пульсирующих напряжений. Рас сматриваемые далее характеристики турбулентности дают возмож ность оценить размер, интенсивность и пространственное распреде ление таких аэродинамических источников шума.
Информация о турбулентных характеристиках обычно получа ется в результате экспериментальных исследований с помощью не подвижных датчиков и часто обрабатывается таким образом, что бы определить изменение турбулентной структуры при ее переме щении в пространстве. При этом изхмерения в какой-либо точке турбулентного потока рассматриваются как случайные в статисти ческом смысле. Полученная в результате такого статистического подхода информация дает достаточно полное представление о мик роструктуре турбулентного потока, основных закономерностях ее изменения в пространстве и времени.
Схема истечения турбулентной струи приведена на рис. 2.9, где х — расстояние вдоль оси струи, отсчитываемое от среза сопла; у — расстояние от оси в направлении, перпендикулярном направ лению истечения. Зона смешения может быть представлена в виде совокупности трех участков. Область струи, содержащая ядро по
стоянной скорости |
Uс протяженностью х„ = 5Д где D — диаметр |
|||
среза сопла, |
называется начальным участком. В этой части струи |
|||
при удалении от среза сопла |
||||
происходит |
сужение ядра |
по |
||
стоянной скорости |
и интенсив |
|||
ное нарастание |
толщины |
по |
||
граничного |
слоя. |
Область |
||
струи, в которой |
заканчивает |
|||
ся исчезновение следа ядра по |
||||
стоянной скорости |
и начина |
|||
ется интенсивное |
падение |
ско |
рости на оси, называется пе реходным участком. При даль нейшем удалении от среза сопла наряду с уменьшением
осевой скорости продолжается также увеличение ширины струи. Эта область струи, расположенная вслед за переходным участком, в которой пограничный слой заполняет все поперечные сечения, на зывается основным участком.
Изменение средней скорости U в пограничном слое турбулент ной струи подчиняется свойству автомодельности и описывается с помощью обобщенных аналитических зависимостей. Так, одна из
хорошо известных формул имеет следующий вид [9]: |
|
£//£/„ = 1 -6 т |1 + 8т11-Зль |
(2.71) |
где Um — скорость на оси струи; r)i = (у—f/i)/6; у\ — ордината гра ницы ядра постоянной скорости, в начальном участке — */i = = 0,5D—x tg a \ytgai = 0,l, в переходном и основном участках у i = 0; 6= у2—У\ — ширина пограничного слоя; y2 = 0y5D-\-xtg<i2 — орди
ната внешней границы струи, |
tg a 2 = 0,17. Осевая скорость в |
на |
||
чальном участке равна скорости истечения UCy а |
в переходном и |
|||
основном участках приблизительно подчиняется |
зависимости |
[31] |
||
U J U e= ---- -----. |
(2.72) |
|||
т' |
с |
x/D + 3, |
V |
' |
2.3.1. Пульсационные скорости
Распределение пульсаций скорости в поперечных сечениях на чального и переходного участков струи имеет вид кривой с мак симумом на линии, проходящей через кромку сопла параллельно оси (рис. 2.10). В обобщенном виде изменение пульсационных ско ростей представляется с помощью зависимости интенсивности тур булентности, определяемой как отношение среднеквадратичной
пульсационной скорости к скорости истечения |
и\ /Uc, от относи |
тельного радиального расстояния г\= (у—0,5D)/x |
(рис. 2.11). |
Так, например, для продольных пульсаций скорости в началь ном участке струи эта зависимость имеет вид [6, 19]
(2. 73)
U,
где величина максимальной интенсивности турбулентности, в том числе и в переходном участке, составляет (]/"а'7^с)тах — 0,15,
афункция /(т]) изменяется в пределах от 0 до 1.
Восновном участке при удалении от среза сопла профили пуль саций скорости становятся все более пологими (рис. 2.12), а вели чина максимальной интенсивности турбулентности уменьшается
пропорционально У x j x , где хп = 6D — абсцисса конца переходно го участка. Обобщенное представление пульсаций скорости в ос новном участке также возможно с помощью зависимости интенсив ности турбулентности от относительного радиального расстояния.
Аналитически изменение пульсаций скорости в зоне смешения струи можно представить, используя распределение средней скоро-
Рис. |
2.10. |
Распределение |
продольных |
Рис. 2.11. Обобщенное представление |
|
пульсационных скоростей в |
начальном |
распределения продольных пульсаци |
|||
|
|
участке струи |
|
онных |
скоростей |
ста |
(2.71) |
и исходя из |
полуэмпирической теории |
турбулентности |
|
|
|
|
v |
ду |
|
Прандтля, согласно которой предполагается, что |
|
||||
|
|
|
tli -- 1иJ dU |
(2. 74) |
|
где |
/и — путь смешения. |
|
|
Величина пути смешения практически постоянна в каждом по перечном сечении струи и растет с увеличением осевого расстоя ния х. В пределах десяти калибров среза сопла путь смешения ли нейно возрастает с увеличением расстояния х (рис.. 2.13). Напри мер, для продольных пульсаций скорости /„ =0,027х, и соотноше ние (2.74) принимает следующий вид:
|/F = 0 ,0 2 7 JC^ |
(2.75) |
|
' |
ду |
|
Получим аналитическое представление функции /(г)),, характе ризующей распределение продольных пульсаций скорости в струе. Максимальная величина пульсаций скорости, а следовательно, ч функции / (г|), должна наблюдаться при оптимальном значении градиента средней скорости (dU/dy)0pt. Исходя из формулы (2.71), получаем
dU |
1 |
dU |
— & tli(l — Tli)2, |
ду |
Ъ |
дт\\ |
4* |
9Э |
0,2 |
дольных |
пульсационных ско |
о-Л =30м м |
ростей в |
основном участке |
•-В =60м м |
// |
струи |
|
||
Uс=50 м /с |
|
|
0,1 |
Формула(2.75) |
|
|
|
Л
л
Рис. 2.13. Зависимость пути
смешения от |
осевого расстоя |
х/д |
ния |
Оптимальная величина -^-определяется из условия равенства
нулю производной |
|
|
|
|
|
|
|
jML= J . J L |
( |
= |
и i t |
(3% _ |
1, (1 _ |
|
|
д у 2 |
ь д-гц |
\ |
д у ) |
5 2 |
11 |
'*■ |
11 |
д Ю |
=0 при т)1 |
= 1/3 и г)1= 1. |
Последнее значение |
||||
Видно, что др |
соответствует внешней границе струи, где градиент средней скоро сти минимален. Поэтому, принимая во внимание значение rjt = 1 /3,
находим
I |
д и |
\ |
_ ___ 16 |
ц е |
\ |
д у |
) opt |
9 |
6 |
Тогда распределение пульсаций скорости в начальном участке
струи представляется |
|
|
|
|
|
V и ' |
dU |
I / ди |
\ |
27 |
ч2 /п тс\ |
|
^ 7 |
( т |
) |
, |
(2.76, |