![](/user_photo/_userpic.png)
Надежность систем автоматизации
..pdf![](/html/65386/197/html_3b1z9NUaPF.1ma4/htmlconvd-rAiHPF141x1.jpg)
Был академиком Императорской Санкт-Петербургской академии наук. Отец А.А. Маркова-младшего – выдающегося советского математика (рис. 5.2).
Нормальный алгорифм Маркова – один из стандартизованных вариантов представления об алгорифме (алгоритме). Понятие нормального алгорифма введено А.А. Марковыммладшим в конце 1940-х гг. Марковские процессы принадлежат А.А. Маркову-старшему.
Рассмотрим пример 5.1 [6]. Пусть некоторая фирма может быть в двух состояниях: 1-е – спрос на продукцию есть, 2-е – спроса нет. С течением времени рынок изменяется так, что имеется вероятность 4/5, что фирма останется в состоянии 1. Если фирма оказывается в состоянии 2, то она принимает меры к улучшению продукции и с вероятностью 3/5 к концу года перейдет в состояние 1. Тогда матрица переходов имеет вид
41
55 ,
32
55
ацепь Маркова или граф Марковской цепи имеет вид, представленный на рис. 5.3.
Рис. 5.3. Граф Марковской цепи
141
Обозначим вероятность нахождения системы на i-м шаге в состоянии j – πij , а вероятность перехода из j-го состояния в k-е – p jk . Тогда для 1-го шага Марковского процесса, если начальное состояние 1(шаг 0),
π11 = π10 p11 +π02 p21 =1 54 +0 53 = 0,8; π12 = π10 p12 +π02 p22 =1 15 +0 52 = 0,2.
Для 2-го шага
π12 = π11 p11 +π12 p21 = 0,8 54 +0,2 53 = 0,74;
π22 = π11 p12 +π12 p22 = 0,8 15 +0,2 52 = 0,24.
Продолжим расчеты и получим таблицы вероятностей состояний при начальном состоянии 1 и 0 соответственно
(табл. 5.1, 5.2).
Таблица 5.1
n |
|
|
Начальное состояние 1 |
|
|
|||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
– |
||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π1n |
1 |
0,8 |
0,76 |
0,752 |
0,7504 |
0,750 08 |
– |
|
πn2 |
0 |
0,2 |
0,24 |
0,248 |
0,2498 |
0,249 92 |
– |
Таблица 5.2
n |
|
|
Начальное состояние 2 |
|
|
|||
0 |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
– |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π1n |
0 |
0,6 |
0,72 |
|
0,744 |
0,7488 |
0,749 76 |
– |
πn2 |
1 |
0,4 |
0,28 |
|
0,256 |
0,2512 |
0,250 24 |
– |
|
|
|
|
142 |
|
|
|
![](/html/65386/197/html_3b1z9NUaPF.1ma4/htmlconvd-rAiHPF143x1.jpg)
Если в Марковской цепи существует предельное распределение вероятностей при n →∞ и не зависящее от начального состояния, то это определяет установившийся режим системы. Такая система называется статически устойчивой, а Марковский процесс – эргодическим. Переход к эргодическому процессу – переходный процесс.
5.2.Надежность систем с восстановлением
Вобщем случае функционирование восстанавливаемого объекта представляет собой с точки зрения надежности последовательность чередующихся интервалов работоспособности tр и восстановления tв [4] (рис. 5.4).
|
tp1 |
t |
tp2 |
t |
. . . . . . . |
tpi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.4. Процессы работоспособности и восстановления
Конец интервала работоспособности определяется случайным событием – отказом. Поэтому отрезок работоспособности tр – величина случайная. Время восстановления, определяясь многими факторами: временем поиска дефектов, квалификацией обслуживающего персонала, запасом инструментов и принадлежностей и т.д., также является случайной величиной.
Важной характеристикой восстанавливаемых систем является параметр потока отказов ω(t):
ω(t) = nN(∆∆tt) ,
где n(∆t) – число изделий, отказавших за момент времени ∆t.
143
Параметр потока отказов ω(t), определяемый как отно-
шение числа изделий, отказавших в единицу времени, к числу испытываемых изделий, представляет собой интенсивность, или плотность потока. Интенсивность же отказов λ(t)
является условной плотностью вероятности отказа в момент t при условии, что до момента t объект работал исправно, т.е. это частота отказов изделий, имеющих наработку t
(табл. 5.3).
|
|
Таблица 5.3 |
|
|
|
|
|
№ |
Понятие |
Определение |
|
п/п |
|||
|
|
||
1 |
Интенсивность |
Условная плотность вероятности возникно- |
|
|
отказов |
вения отказа объекта, определяемая при ус- |
|
|
(failure rate) |
ловии, что до рассматриваемого момента |
|
|
|
времени отказ не возник |
|
2 |
Параметр по- |
Отношение математического ожидания чис- |
|
|
тока отказов |
ла отказов восстанавливаемого объекта за |
|
|
(failure |
достаточно малую его наработку к значению |
|
|
intensity) |
этой наработки |
|
|
|
|
Между λ(t) и ω(t) могут быть установлены следующие
соотношения [4]:
1. Если λ(t) увеличивается, то λ(t) > ω(t). 2. Если λ(t) уменьшается, то λ(t) < ω(t). 3. Если λ(t) = const, то λ(t) = ω(t).
3-е соотношение описывает важный частный случай, характерный для периода нормальной работы, когда λ(t) =
= const.
144
![](/html/65386/197/html_3b1z9NUaPF.1ma4/htmlconvd-rAiHPF145x1.jpg)
5.3. Комплексные показатели надежности
Поток восстановления может характеризоваться параметром потока восстановления µ(t), представляющим ин-
тенсивность потока. Физический смысл µ(t) – вероятность
восстановления в течение достаточно малого отрезка времени. Если поток восстановлений простейший ординарный, стационарный поток без последствий, то µ(t) является вели-
чиной, обратной среднему времени восстановления Тв:
µ(t) = 1 .
Tв
Потоки отказов и восстановлений описывают процесс функционирования объекта с двух сторон независимо друг от друга. Для связи потока вводятся комплексные показатели, в качестве которых используются обычно коэффициент го-
товности |
Kг(t) и |
коэффициент |
оперативной готовности |
|
Kо.г(t,τ) |
(табл. 5.4). |
|
||
|
|
|
|
Таблица 5.4 |
|
|
|
|
|
№ |
Понятие |
|
Определение |
|
п/п |
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
Коэффициент |
Вероятность того, что объект окажется в ра- |
||
|
готовности |
ботоспособном |
состоянии в произвольный |
|
|
(instantaneous, |
момент времени, кроме планируемых перио- |
||
|
availability |
дов, в течение которых применение объекта |
||
|
function) |
по назначению не предусматривается |
||
|
|
|
||
2 |
Коэффициент |
Вероятность того, что объект окажется в ра- |
||
|
оперативной |
ботоспособном |
состоянии в произвольный |
|
|
готовности |
момент времени, кроме планируемых перио- |
||
|
(оperational |
дов, в течение которых применение объекта |
||
|
availability |
по назначению не предусматривается, и на- |
||
|
function) |
чиная с этого момента будет работать безот- |
||
|
|
|
казно в течение заданного интервала времени |
|
|
|
|
145 |
|
![](/html/65386/197/html_3b1z9NUaPF.1ma4/htmlconvd-rAiHPF146x1.jpg)
Коэффициент готовности – это вероятность застать объект исправным в произвольно выбранный момент времени t. Для простейших потоков
Kг = T0T+0 Tв .
Коэффициент оперативной готовности – это вероят-
ность того, что объект, будучи исправным в момент t, проработает безотказно в течение времени τ. Kо.г(t,τ) вычисляют как произведение вероятности застать объект исправным
вмомент t(Kг) на вероятность безотказной работы Рост(τ)
втечение оставшегося интервала времени:
Kо.г(t,τ) = KгPост(τ) .
Если время безотказной работы имеет экспоненциальное распределение, то Рост(τ) = e−ωt , отсюда
Kо.г(t,τ) = Kгe−ωt .
Пример 5.2 [18]. Интенсивности отказов и восстановле-
ний подсистем следующие:
ПдС1: λ = 14·10–5 1/ч, µ = 0,5 1/ч; ПдС2: λ = 14·10–5 1/ч;
µ = 0,4 1/ч; ПдС3: λ = 14·10–5 1/ч, µ = 0,6 1/ч; ПдС4: λ = 11·10–5 1/ч,
µ = 0,3 1/ч; ПдС5: λ = 19·10–5 1/ч, µ = 0,5 1/ч; ПдС6: λ = 60·10–5 1/ч,
µ = 0,5 1/ч; ПдС7: λ = 50·10–5 1/ч, µ = 0,5 1/ч; ПдС8: λ = 40·10–5 1/ч,
µ = 0,5 1/ч; ПдС9: λ = 20·10–5 1/ч, µ = 0,5 1/ч.
Время t = 2 ч.
146
![](/html/65386/197/html_3b1z9NUaPF.1ma4/htmlconvd-rAiHPF147x1.jpg)
Решение. Интенсивность отказов СА можно найти по
n
формуле λCA = ∑λi , где λi – интенсивность восстановления
i=1
каждого элемента, n – число элементов системы; а среднее
время безотказной работы Tср = 1
λCA
λCA = (14 + 14 + 14 + 11 + 19 + 60 + 50 + 40 + 20)0,000 01 =
=0,002 42 (1/ч),
Tср = 1/0,002 42 = 413,22 (ч).
Среднее время восстановления СА найдем по следую-
щей формуле: Tв =Tср∑n λi , где λi и µi – интенсивность от-
i=1 µi
казов и интенсивность восстановления каждой подсистемы соответственно.
Tв = 413,22(0,000 14/0,5 + 0,000 14/0,4 + 0,000 14/0,6 + + 0,000 11/0,3 + 0,000 19/0,5 + 0,0017/0,5) = 2,066 (ч).
Найдем коэффициент готовности системы автоматиза-
ции по формуле K |
г |
= |
|
Tср |
|
, а коэффициент оперативной |
||
T |
|
+T |
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
ср |
|
в |
|
|
готовности – по формуле |
Kо.г = KгP(t) = Kгe−λt , где P(t) – |
|||||||
ВБР системы в течение времени t. |
||||||||
Kг = 413,22/(413,22 + 2,066) = 0,995, |
||||||||
K |
о.г |
= 0,995 e−0,00242 2 = 0,99. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
147
![](/html/65386/197/html_3b1z9NUaPF.1ma4/htmlconvd-rAiHPF148x1.jpg)
5.4.Расчет показателей надежности
сиспользованием Марковских цепей
Марковская цепь – ориентированный граф, нагруженный вероятностями или интенсивностями переходов из состояния в состояние.
Пусть необходимо определить показатели надежности изделия, не имеющего резервирования, с заданными интенсивностями переходов – параметром потока отказов ω = const и интенсивностью восстановления µ. Состояние 1 – состояние работоспособности, состояние 2 – состояние отказа
(рис. 5.5).
ω
1 2
µ
Рис. 5.5. Пример Марковской цепи
Получим систему алгебраических уравнений для установившегося режима путем анализа входящих и исходящих дуг – если дуга исходит из вершины, то произведение вероятности нахождения в этой вершине на соответствующую интенсивность берется с минусом, иначе – с плюсом:
0= −P1(t)ω+ P2 (t)µ; 1 = P1(t) + P2 (t).
Очевидно, что достаточно уравнения для одной вершины, например Р1, и уравнения сумм вероятностей нахождения во всех состояниях. Решаем систему уравнений:
0= −(1− P2 (t))ω+ P2 (t)µ;
ω= P2 (t)[ω+µ];
148
|
P (t) = |
ω |
; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
ω+µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (t) =1− |
ω |
= ω+µ−ω |
= |
µ |
= |
|
1 |
. |
|||
|
|
|
|
||||||||
1 |
ω+µ |
|
ω+µ |
|
ω+µ |
1 |
+ |
ω |
|||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ |
|
По определению, коэффициент готовности – это вероятность нахождения в состоянии 1:
P (t) = |
µ |
= |
1/Tв |
= |
То |
= К |
, |
|
|
|
|||||
1 |
ω+µ 1/Tв +1/Tо |
|
|
г |
|
||
|
|
Tо +T в |
|
где То – время наработки на отказ, Тв – среднее время восстановления. Время восстановления определяется следующим образом:
Тв = Тобн + Тлок + Тзам,
где Тобн – время обнаружения; Тлок – время локализации; Тзам – время замены.
Таким образом, чем меньше отношение интенсивности отказов к интенсивности восстановления, тем более коэффициент готовности приближается к 1.
Граф Марковской цепи может быть довольно сложным, система может быть резервированной, без контроля, с контролем, с разными возможностями восстановления и т.п. Удобным инструментом для решения таких задач может быть программа расчета Марковских цепей, разработанная студентом механико-математического факультета ПГНИУ Н.В. Мельковым (рис. 5.6).
Рассмотрим Марковскую модель, где одна из трех вершин представляет собой состояние отказа, т.е. вводится дополнительное работоспособное состояние (рис. 5.7).
149
![](/html/65386/197/html_3b1z9NUaPF.1ma4/htmlconvd-rAiHPF150x1.jpg)
Рис. 5.6. Экранная форма программы расчета Марковской цепи
3 Р3
δφ
Исходное |
|
|
λ |
|
|
Отказ |
|
|
µ |
2 |
|
||
1 |
|
|
||||
состояние |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р1 |
|
Р2 |
|
Рис. 5.7. Граф Марковского процесса для одного дополнительного состояния готовности Р3
Решение соответствующей системы алгебраических уравнений Колмогорова для установившегося режима может быть получено аналитически:
150