Дискретно-полевые модели электрических машин Часть 1. Численные метод
.pdf4.Производится минимизация энергетического функционала путем дифференцирования выражения функционала по неиз вестным коэффициентам пробной функции и приравнивания полученного выражения к нулю. В результате для каждого ко нечного элемента получается система алгебраических уравне ний относительно неизвестных коэффициентов аппроксимации.
5.При решении системы алгебраических уравнений для всех элементов исследуемой области рассчитываются коэффициенты аппроксимирующей функции и значения искомой функции для всех конечных элементов исследуемой области.
Рассмотрим эти вопросы более подробно.
Положим, что векторный потенциал конечного элемента яв ляется линейной функцией пространственных координат и опи сывается следующей зависимостью:
А = а, + а 2х + а3у , |
(6.52) |
коэффициенты которой являются функциями координат вершин (узлов) конечного элемента. Поскольку эта зависимость спра ведлива для всех точек, принадлежащих данному элементу, она может быть записана и для узлов этого элемента /, т, п:
А, =а, + а2х, + а2у ,; |
(6.53) |
Ат=Щ+а2хт+а3уп ; |
(6.54) |
Л = а , + а 2хл+азуп. |
(6.55) |
Полученная система позволяет выразить неизвестные коэф фициенты через значения векторного потенциала в узлах. Для этого необходимо решить ее относительно коэффициентов си, С12, а 3:
(6.56)
где определители записываются в виде
1 |
Х1 |
У1 |
|
д = 1 |
Хт |
Ут = (ХтУп ~ ХпУт)+fa:У/ ~ Х1Уп)+ |
|
1 |
Хп |
Уп |
|
|
|
+ ( ^ т - ^ / ) = 2^ - |
(6.57) |
В этом выражении 5^ - площадь треугольника, которая все-
гда отлична от нуля. В ет место.
|
А1 |
Х1• |
У1 |
|
|
л» = |
Ат |
Хт |
Ут = М хтУм-х*Ут)+Ат(х*У1 ~ Х/Уп)+ |
||
|
А |
Хп |
Уп |
|
|
|
|
|
|
+ Ап(Х1Ут~ ХтУ1)> |
(6-58) |
1 |
.4 |
У/ |
|
|
|
д2= 1 |
,А |
Ут = Ai(ymМ ; |
- у « ) + АтЬ>п ~У/)+An(yi -.у » );(6.59) |
||
1 |
.4 |
Уп |
|
|
|
1 |
Х1 |
А, |
|
|
|
д3= 1 |
Хт |
Ат =Al(XnМ |
~ Хт)+Ат(Х1~ Хп)+Ап{Хт~ ^ |
• (6.60) |
|
1 |
Хп |
Ап |
|
|
|
Обозначим коэффициенты при векторных потенциалах в вы ражениях (6.58), (6.59), (6.60):
а1= ХтУп - ХпУт; °т = ХпУ\ ~ ЪУп i °п = Х{Ут ~ хтУ/i |
(6-61) |
||
bt =ym- y „ ; |
Ьт=уп - у ,; |
Ь „ = у , - у п ; |
(6.62) |
с1 =хп ~ хт; |
|
сп =хт- х , . |
(6.63) |
Подставив эти выражения в соответствующие определители, решим систему (6.56):
а , = '( [ M i + Атат+ А„а„]); 25тр
25тр'( M l + Ат Ьт + АпЬп)’ |
(6.64) |
|
а з = 25тр ( M l +AmCn,+M n)-
Тогда выражение векторного потенциала (6.52) в функции пространственных координат записывается в виде
А = 25. |
+ Ат ат + Апап+ (M l + 4 А |
+ М „ )х + |
тр |
|
|
|
+ (M l + AmCm+AnCn)y\- |
(6.65) |
Рассмотрим далее энергетический функционал, соответст вующий уравнению магнитного поля - уравнению Пуассона в прямоугольной области -
д2А д2А |
(6 |
.66) |
|
дх2 + ду2 = - М ст |
|||
|
|
при нулевых граничных условиях.
Магнитная индукция в исследуемой области может быть вы ражена через векторный потенциал:
В = rot А , |
|
||
где |
|
|
|
В, = дА |
В |
= - * . |
(6.67) |
ду |
у |
дх |
|
Подставляя полученные выражения в (6.51), будем иметь |
|||
(д А \ |
дА |
+AJ,. dxdу . |
(6.68) |
F= Я' 2р кдхj |
|
||
РУ. |
|
Для нахождения минимума функционала необходимо при равнять к нулю его производные по значениям векторного по тенциала в узлах конечного элемента.
Рассмотрим отдельные составляющие этого выражения. Из выражения (6.67) следует
|
|
|
|
дА |
|
1 |
(A,b, + АтЬт+ АпЬп)\ |
(6.69) |
||||
|
|
|
|
дх |
2ST„ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
дА |
|
|
(А 1С1 + А |
Ст + А Сп)- |
|
(6.70) |
||
|
|
|
|
дх |
25 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
тр |
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
д |
' д А ? |
|
- ,\ |
|
|
дА' |
|
|
|
|
|
|
= 2 |
дА |
|
|
|
|
|
+4A)fy;(6-7i) |
|||||
дА, |
|
|
|
дА, |
|
- т ^ г^ А Ь +А К |
||||||
|
|
\ d x j |
\д х ) |
45 |
Ф |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
- ,\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
дА |
4 г \ |
| Ч “ т т г Й * ,+ 4 А |
+ А,ь,)ь. ;(6.72) |
|||||
д А |
\ d x j |
|
кд х ; |
дАп \удх) |
452 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
тр |
|
|
|
||||
д |
|
^ |
2 |
ГдАЛ |
|
'ал' = -±S-(Ah+AJ>M+ AJ>,)bn\{6.73) |
||||||
|
|
= |
2 |
|
|
|||||||
дА |
|
\ дх; |
|
\ дх; дА \ S X J |
45, |
|
|
|
||||
|
|
|
тр |
|
|
|
||||||
д_ |
дАЛ |
|
|
|
a 4 ) _ L |
(4 С/ + Длет + Л ея)С/ ;(6-74) |
||||||
|
= 2'&4Л |
|
||||||||||
дА, |
|
J |
\ду |
дА, \ду у |
45■ф |
|
|
|||||
д А |
|
' а л \ |
|
дА |
|
|
дАл =- тг(4е/+Аст+4,ел)ет;(6-75) |
|||||
|
КдУ; |
|
|
д А \ду j |
45ТР |
|
|
|||||
э |
|
^ |
2 |
а£ |
|
|
гал> |
= - т г ( 4 е/ + 4 л , |
|
+ Д.ел)ел '(6-76) |
||
а*, |
|
|
|
дА к.ду |
|
|||||||
|
|
|
45тр |
|
|
|
Поскольку записанные производные не зависят от простран ственных координат, то они могут быть вынесены за знак инте грала. В результате получим
— — |
я |
dxdy = |
2ц дА, |
JJ |
|
|
•Этр |
|
1 [(А,Ь, + АтЬт+ А Р , )Ъ, + {А'С, + Атст+ А„с„)с, ]; {в.11) |
||
4М ^ |
|
|
|
|
|
dxdу = |
1 |
[(АА +АРт+АРп)К + |
|
|
|
|
|
4НЯТР |
|
|
|
|
+ (А1<:1+А<:т+ АСп)СтЪ |
(6.78) |
|||
1 д |
\ 2 |
/ \ 2 |
|
|
|
|
дА ' + |
( дА \ |
<Ыу=x V К М +4 А + 4 А К + |
||||
2ц дАп Я |
дх |
ду, |
4 |
^ |
|
|
|
|
+ (AlCl+AmCm+AC„)Cnl |
(6.79) |
|||
Если принять, что в каждом элементе плотность стороннего |
||||||
тока является постоянной величиной, то |
|
|
||||
|
дА, |
|
|
|
дА |
|
|
дА дАа |
07 д А ’ |
||||
|
|
|
т |
|||
|
|
д |
( ^ А)=А |
дА |
(6.80) |
|
|
|
дА, |
|
|
дА,. |
|
Тогда
J p ^ d x d y = Jcr ЯAdxdy =
* P
=Лт T7 - |
Я к + V |
+ с/^ ) ^ 4 у; |
(6.81) |
|
S TP |
|
|
77- ЯЛтЛ<1*Ф> = JCTJJildxdj; = |
|
||
STP |
|
STP |
|
= Лг ~ ~ |
\farn + |
+ cmxM*dy; |
(6.82) |
|
S^ |
|
|
77" ЯУсг^ЛсФ' = Лг Я ^ Ф = |
|
||
d A ” STP |
|
|
|
= Лг 7 7 - |
Я к + 6я* + c„y)dxdy. |
(6.83) |
|
Z i > J P |
S TP |
|
|
В записанных выражениях функции под знаком интеграла зшнивдпг от пространственных координат. Поэтому вычисление ишшгрши необходимо производить по площади треугольника. ШЬашшшш для простоты вычислений, что рассматривается пряшщгашьный треугольник с вершинами /, т, п.
Рассмотрим вычисление интеграла в выражении (6.83). В давшим случае координата х изменяется в пределах х, <х <х т.
И® координате у рассматриваемый треугольник ограничен пря- m m y —yi снизу и прямой у - у х +к(х - х, ) сверху. Поэтому
*т У1+Цх-*1)
lRa, +b„x + cny)dxdy Jdx= \{an+bnx +cny)dy. (6.84) xl xl
Возьмем интеграл
у, + * (* -* ,)
J k + ^ + O d y . |
(6.85) |
уI
а п = Х!Ут - ХтУ1 = Х1Ут ~ ХтУ1 + Ч У / ~ х № =
= Х1(Ут ~yi) + y,(xi ~ xm) = xi •O + J',{-hx) = -y,hx ;
ЬП=У,-УЯ =0; cn=xm- x t = hx-, к =2 * - ^ - = - ± .
|
|
х „ ~ х , |
Тогда |
|
|
У!+к(х-х,) |
У,+к(х-х,) |
|
j(a„ + b„x+ с„)dy = |
\hx (у - y,)dy = |
|
УI |
Уi |
|
У 1 + к ( х - х { ) |
|
|
- h b = & |
=h |
k2(x~xiY |
|
x |
2 |
У!
_ K k2hl
XI
(6.86)
(6.87)
(6.88)
(6.89)
Подставляя в полученный результат к согласно (6.87) и учи тывая, что площадь прямоугольного треугольника
51Р=^*Л »
в окончательном виде будем иметь
а \\J„Adxdy = |
|
1 |
|
с |
Т |
(6.90) |
|
К hlh3•J г~ - |
|
||||
|
|
|
X п у п х г |
_ ° т р ^ с т |
|
|
адт Sтр |
|
|
2 ~ст |
|
|
|
2 |
тр6 |
hi |
|
|
|
|
|
w rtX |
|
|
|
Остальные интегралы (6.81) и (6.82) вычисляются аналогич но и имеют те же значения.
Таким образом, минимум функционала (6.68) может быть за писан в виде следующей системы уравнений:
1 |
b t +С 1 |
b l bm |
Cl Cm |
b lb n + ClCn |
Ai |
1 |
|
|
b l bm |
Cl Cm |
bm + C2m |
ЬтЬп4" ^m^n X Am |
Vт р cCTr 1 |
.(6.91) |
|||
4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
b l b n + |
ClCm |
Ьт Ьп |
Cm Cn |
b „2 + c l |
A „ |
1 |
|
|
|
|
Эта система уравнений записывается для всех элементов ис следуемой области, а ее решение с учетом известных значений
векторнеге потенциала на границе области позволяет рассчитать некомые значения векторного потенциала во всех узлах иссле дуемой области.
Система алгебраических уравнений (6.91) характеризует поъшлентнов объединение, процедура которого сводится к вы числению матриц для каждого элемента.
Помимо поэлементного объединения возможно объединение т уш т , когда уравнение записывается для каждого узла иссле дуемой области. Система алгебраических уравнений в этом слу чае может быть получена исходя из следующих соображений.
Каждое из уравнений системы (6.91) получено путем мини мизации энергетического функционала (6.68). При этом для по лучения минимума производится дифференцирование функцио нала по значениям векторного потенциала в узлах треугольника, и полученные производные приравниваются к нулю. В иссле дуемой области каждый узел может принадлежать одновремен но нескольким элементам. Система алгебраических уравнений, записанная для каждого элемента этой группы, будет содержать, естественно, производные по значению векторного потенциала рассматриваемого узла. В этом случае можно, просуммировав уравнения рассматриваемого узла для всех элементов, вклю чающих в себя данный узел, получить для него уравнение, кото рое содержит значения векторного потенциала в соседних узлах.
Для примера рассмотрим простейшую краевую задачу для уравнения Пуассона в прямоугольной области с нулевыми грашичыымн условиями. Разобьем рассматриваемую область на прямоугольные ячейки со сторонами величиной hx,hy и верши
вший. совпадающими с узлами сетки. Каждую ячейку области ршздшнм диагональю на два прямоугольных треугольника с ка пелями, равными hx и hy. В результате область оказывается
разбитой на конечное число прямоугольных треугольников -
т ш т т х элементов.
РЪвоймотрим узел 1 этой области, являющийся вершиной элешеишрммхтреугольников, обозначенных цифрами 1-2-3-4-5-6.
®йюг@риый потенциал для вершин каждого из прямоугольrttttfcи р е у тгш ьи и ко в описывается системой уравнений (6.91). Для
ут&И m tem
dF |
|
6 { dF_Л |
, (6.92) |
дЛi |
J |
= z |
|
1=1 |
|
||
|
|
|
где i - номер треугольника с верши ной в узле 1; F - функционал, опре деляемый выражением (6.68).
Производная по А\ в каждом элементе соответствует первой строке системы (6.91). Определим
f dF^
<dAi J, для первого треугольника
Рис. 6.2. К выводу уравне ния векторного потенциала в узле 1
(рис. 6.2). Обозначим его вершины, принимая во внимание, что обход производится против часовой стрелки: / = 1;/и = 3;л = 2. Тогда в соответствии с (6.62), (6.63)
bi=y3 - y 2 =fy bm=y2 - y l =-hy; |
b„=yl - y 3 =hy; |
(6.93) |
ci =x2 - x 3 =hx; c„ = x , - * 2 =0; |
c„=x3 - x l =-hx. |
(6.94) |
Приведем уравнения системы (6.91) к общему знаменателю и определим правые части уравнений:
= (6.95)
Первое из этих уравнений
+ (Ь,Ь„ + с,с„)A2=\I ^ - hi h2y ■ |
(6.96) |
Подставляя в это уравнение значения bl,bm,bn,cl,cm,cn и
выполняя преобразования, получим
aF \ |
J.ст , 2 , 2 |
(6.97) |
|
= h2xAi -h iA 2=\i::r Lhih |
dAj Л
Аналогичные операции проделаем для всех треугольников с вершиной в узле 1. Полученные данные сведем в табл. 6.1.
Таблица 6.1 Коэффициенты конечных элементов для узла 1
Номер |
/ |
т |
/7 |
|
Ья |
Ъп |
Cl |
Cm |
c„ |
треугольника |
|
||||||||
|
|
|
|
|
hy |
|
0 |
-K |
|
1 |
1 |
3 |
2 |
0 |
- Н у |
hx |
|||
2 |
1 |
4 |
3 |
К |
- Н у |
0 |
0 |
hx -hx |
|
3 |
1 |
5 |
4 |
К |
0 |
- Н у |
-hx hx |
0 |
|
4 |
1 |
6 |
5 |
0 |
К -*г -hx |
0 |
hx |
||
5 |
1 |
7 |
6 |
- К |
К |
0 |
0 |
-hx hx |
|
6 |
1 |
2 |
7 |
—Н у |
0 |
hy |
hx |
-hx |
0 |
В результате получим для всех элементов следующие урав нения:
|
— 1 |
|
|
= ^ ~ h l h ] , |
|
(6.98) |
|
v ^ i A |
|
|
|
|
|
| ^ |
j - { t i +кЦЛ,- £ Л , - t > |
4 |
, (6.99) |
|||
|
— |
I |
=*;•<■ |
= i |
|
(6.100) |
|
4^. A |
|
3 |
|
|
|
|
— |
I |
|
— F- |
|
(6.101) |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
. f e + |
^ |
k - r i A |
- 4 4 , |
|
(6.102) |
W |
Л |
|
|
|
|
|
Суммируя леаые и прюые часто это* уравяеянй, подучим
m