Теория определяющих соотношений. Часть 2. Теория пластичности
.pdfK |
|
γ0 |
|
|
τ(k) |
|
n-1 |
(k) |
(k) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
P = |
|
|
|
|
|
|
|
|
M M |
|
. |
(9.19) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
k=1 τ(k)c |
|
|
τ(k)c |
|
|
|
|
|
|
|||
Отметим, что при изменении D в k раз аналогичным образом в |
||||||||||||
соответствии с (9.14)1 |
меняются скорости сдвигов, тогда согла с- |
но (9.17) напряжения сдвига (а следовательно , и тензор напряжений) изменяются в k1 / n раз. Следует подчеркнуть, что из опред е- ления тензора свойств P очевидна нелинейность соотношения
(9.18), поскольку τ(k) определяется по искомому тензору S. Принимается закон изотропного упрочнения . Эволюционное
уравнение для критического напряжения имеет вид закона Воуса
(Voce):
dτc |
dτ(k)c |
= h K |
|
γ(k) |
|
= h |
0 |
1 |
τc |
τ0c |
K |
|
γ(k) |
|
. |
(9.20) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
dt |
dt |
|
|
|
|
|
|
τsc |
τ0c |
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
||||
Здесь h0 – начальная скорость упрочнения, τ0c , |
τsc |
– начальное напряжение течения и на- |
пряжение насыщения. Макроскопический девиатор напряжений определяется осреднением с весами по всем зернам.
Отмечается, что степенной закон (9.17) может рассматриваться лишь как приближенный закон, не имеющий под собой должного физического обоснования. В связи с этим в работе пре д- лагается модифицировать указанный закон для учета скорости деформации в широком диапазоне ее варьирования и влияния те м- пературы. В основу указанной модификаци и положена так называемая модель механического порогового напряжения ( MTS-модель
(the mechanical threshold stress model)), предложенная Фоллансби и Куксом [Д14] . Последняя представляет собой изотропную «ск а- лярную» модель для предсказания напряжения течения в зависим о- сти от скорости деформации, температуры и текущего состо я- ния, описываемого параметром состояния, называемым механич е- ским порогом. При использовании этой модели для поликристаллов эффективное одноосное напряжение заменяется на критическое напряжение сдвига τ(k)c , а эффективная одноосная скорость дефо р-
мации – на суммарную скорость сдвигов по всем системам скол ь- жения. При этом рассматривается только изотропный закон у п- рочнения Тейлора, поскольку учет скоростной чувствительности и упрочнения по каждой системе скольжения весьма сложны.
Для устранения скоростной чувствительности из соотнош е- ния (9.17) (при фиксированном n, обычно принимаемом равным 20) γ0 в нем заменяется на интенсивности скорости деформации De =
(2/3 D:D)1 / 2 , что согласуется с принятой в модели Тейлора гип о- тезой Фойгта. Действительно, в этом случае при изменении D в k раз аналогичным образом в соответствии с (9.14)1 меняются ско-
291
рости сдвигов, тогда согласно (9.17) напряжения сдвига остаются неизменными.
Критическое напряжение сдвига τ(k)c для учета влияния скоро-
сти деформации и температуры масштабируется «механическим порогом» τˆ , представляющим собой сопротивление сдвигу при 0 К: последний разделен на атермическую составляющу ю τˆa и термиче-
скую составляющую τˆlt , так что
τˆ = τˆ |
a |
+ |
τˆl . |
(9.21) |
|
|
t |
|
l
Следует отметить, что использование термина «термическая составляющая» (введенного в
исходной статье [Д14]) для второго члена правой части (9.21) представляется не совсем
корректным, поскольку «пороговое напряжение» τˆ определено как сопротивление сдвигу при нулевой абсолютной температуре, а первый член правой части по определению не за-
висит от температуры θ .
Отмечается, что составляющая τˆa характеризует нечувствительное к скорости взаимодействие дислокаций с дальнодейс т- вующими барьерами (например, границами зерен), а τˆlt – чувстви-
тельные к скорости деформации взаимодействия дислокаций с близкодействующими препятствиями (например, дислокациями л е- са, примесными атомами), которые могут быть преодолены за счет термической активации. При изменяющихся температурах и скоростях деформации соотв етствующий вклад в критическое н а- пряжение сдвига τlt связан со своим исходным аналогом τˆlt мас-
штабирующей функцией Slt (De , θ) , так что τlt = τˆlt Slt (De , θ) .
Критическое напряжение сдвига для всех СС определяется аналогично «механическому порогу»:
τc |
|
τˆa |
|
|
τlt |
|
τˆa |
l |
|
τlt |
|
|
|
|
= |
|
+ |
|
|
= |
|
+ St |
(De , θ) |
|
. |
(9.22) |
|
G |
G |
l G |
G |
G0 |
|||||||||
|
|
|
l |
|
|
|
Здесь G0 – некоторое отсчетное значение модуля сдвига G, определяемого соотношением:
G = G(θ) = G0 |
D0 |
|
|
, |
(9.23) |
|
exp(θ0 |
|
|
|
|||
|
θ |
) |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
D0, θ 0 – экспериментально определяемые константы.
Для описания кинетики взаимодействия на короткодейству ю- щих препятствиях используется соотношение Аррениуса и феном е- нологическое выражение для свободной энергии как функции н а-
пряжений, тогда каждая компонента τl |
может быть записана в виде |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1q |
1 p |
|
|
|
|
τlt |
|
|
|
τˆt |
|
kθ |
|
De0 |
|
τˆt |
|
||||||
|
= Sl |
(D |
, θ) |
= 1 |
ln |
|
|
. (9.24) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
G |
t |
e |
|
G |
|
|
g |
Gb3 |
|
|
D |
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
e |
|
|
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
292
Здесь k – константа Больцмана, b – модуль вектора Бюргерса, g0 – нормализованная энергия активации дислокаций для преодоления препятствий, De 0 константа, p,q – константы, характеризующие
форму препятствий ( 0 p |
|
|
|
1, 1 |
|
q |
|
2 ). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
В стандартной MTS-модели используются два термических |
|||||||||||||||||||||||||||||||
члена, обозначаемые как τˆ1 |
= τˆ |
i |
, τˆ |
2 |
= τˆ |
ε |
, тогда соотношение (9.22) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
перепишется в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
τc |
= |
τˆa |
+ S (D |
, θ) |
τˆi |
|
+ S (D |
, θ) |
τˆε |
, |
(9.25) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
G |
G |
i |
e |
|
|
|
|
|
G0 |
|
|
ε |
|
|
e |
|
|
|
G0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
qi |
1 pi |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kθ |
|
|
|
|
|
|
De0i |
|
|
|
|
||||||||||
Si (De , θ) = 1 |
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
, |
|
|
||||||||||||||||||
|
g |
0i |
Gb3 |
|
D |
e |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 pε |
(9.26) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
qε |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kθ |
|
|
|
|
|
|
De0ε |
|
|
|
|
|
|||||||||
Sε (De , θ) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
g |
0ε |
Gb3 |
D |
e |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этих соотношениях τˆi описывает термическую составля ю-
щую сопротивления деформации (в данной работе этот член не учитывается), а τˆε – взаимодействие подвижных дислокаций с л е-
сом дислокаций (учитывается). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Эволюционное уравнение для |
τˆ ε в скоростной форме анало- |
||||||||||||||||||
гично соотношению (9.20) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
dτˆε |
= h(θ,D |
, τˆ |
ε |
) |
K |
γ(k) |
|
= h |
|
h |
(θ,D |
,τˆ |
ε |
) |
K |
γ(k) |
|
, (9.27) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
0 |
|||||||||||||||||
|
dt |
e |
|
|
|
|
|
|
r |
e |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
где h0 отражает упрочнение, обусловленное накоплением дислокаций (принимается постоянным), а hr описывает скорость динамического возврата. Наиболее употребимыми функциональными формами скорости упрочнения h являются запись через гиперболический тангенс (Фоллансби–Кукс), или в виде степенного закона (Кукс и др.):
|
|
|
tanh |
ατˆ(k)ε |
τˆεs |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
h |
|
|
τˆ(k) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||
h = h |
|
1 |
|
|
|
|
, |
|
= |
|
1- |
ε |
, (9.28) |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
τˆεs |
||||||
|
|
tanh(α) |
|
|
G |
|
G0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где α, –эмпирические константы, τˆεs |
– пороговое напряжение насыщения. В обоих со- |
отношениях h0 описывает начальную скорость упрочнения; скорость упрочнения h с ростом деформации уменьшается и стремится к насыщению. Применение подобных моделей для деформаций, превосходящих единицу, исключено, так что невозможно описать IV стадию упрочнения.
Пороговое напряжение насыщения τˆεs является функцией скорости деформации и температуры:
293
ln |
De |
= |
g0εsGb3 |
ln |
τˆεs |
, |
|
|
|
||||
|
De0ε |
|
kθ |
τˆεs0 |
где De0ε , g0εs , τˆεs0 – эмпирические константы.
Рассматриваемая MTS-модель является, таким образом, н е- значительной модификацией вышеизложенной модели поликр и- сталла. Уравнения (9.17), (9.19) и (9.20) теперь запишутся в виде
|
(k) |
ˆ |
(k) (k) |
|
|
|
|
|
τ(k) |
|
n |
|
(k) |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
γ |
= γ |
|
|
(τ |
|
) = De |
|
|
|
|
|
|
|
sign(τ |
|
) , |
|
(9.29) |
||||||||||
|
τ(k)c |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
τ(k) |
|
n-1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
P = P S = |
|
De |
|
|
(k) |
(k) |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M M |
|
|
|
, |
|
(9.30) |
|||||||||
k=1 |
τ(k)c |
|
|
τ(k)c |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
dτˆε |
|
K |
|
|
γ(k) |
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
τˆε |
K |
|
|
γ(k) |
|
|
|||
= h |
|
|
|
|
= h |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(9.31) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
dt |
k=1 |
|
|
|
|
|
|
0 G0 |
τˆεs |
k=1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где использована степенная зависимость (9.28)2.
Подробно описывается численная процедура; для интегрирования по времени используется неявная разностная схема, система нелинейных уравнений решается методом Нью- тона–Рафсона (Ньютона–Канторовича). Для установления шага по времени решена задача на одноосное сжатие при 10, 20, 40 и 100 постоянных шагах по времени; различие между результатами расчета напряжения сжатия при 10 и 100 шагах не превысило
0.24%.
Верификация предлагаемой модели осуществляется сопоста в- лением полученных с ее помощью результатов ра счета напряжений с результатами стандартной изотропной модели MTS. Скоростная и температурная зависимости определялись в опытах на сжатие алюминиевого сплава Al 5182 при температурах 200 и
300о С при скоростях деформации 0.001 и 1.0 с – 1 . Показано очень хорошее соответствие результатов.
Анализ предсказания моделью формирования текстуры осущ е- ствлен сопоставлением с результатами, полученными Kalidindi
e.a. с использованием модели Тейлора; отмечается хорошее кач е- ственное соответствие результатов.
Отдельный раздел работы посвящен процедуре идентификации модели. С этой целью записывается функция квадратичного о т- клонения определяемых расчетным путем компонент тензора н а- пряжений от экспериментально измеряемых значений . Для регуляризации добавлен штрафной член, представляющий собой квадратичное отклонение искомых параметров модели от первоначально заданных. Решение поставленной задачи минимизации этой фун к- ции осуществлялось градиентным методом. Проведены расчеты для случаев сжатия и кручения образцов из стали HY100 (ОЦК– решетка, в рассмотрение включены все 48 потенциально возмо ж- ных систем скольжения) при различных скоростях деформации и
294
температурах. Полученные результаты позволили с удовлетвор и- тельной точностью описать поведение стали при отсутствии н а- чальной текстуры. Аналогичные результаты получены для начал ь- но текстурированной танталовой пластины.
Представляется целесообразным кратко остановиться на р а- боте [Д5], содержащей значительное количество экспериментал ь- ных данных по лучевым и двухзвенным траекториям деформации листового алюминиевого сплава, пригодным для идентификации и верификации теоретических моделей. Подробно описана методика экспериментальных исследований, включающих как чисто механ и- ческие измерения, так и анализ текстуры и дислокационных су б- структур. Теоретические исследования проведены с использован и- ем вязкопластических моделей со степенным законом, «полностью стесненной» и самосогласованной. Обе модели дают близкие р е- зультаты как по зависимостям напряжений от работы на пластич е- ских деформаций, так и по полюсным фигурам . Отмечается, что полюсные фигуры в теоретических расчетах получаются более четко выраженными, чем в экспериментах.
Г. Упруговязкопластические модели
Одной из первой работ, в кот орой представлены теоретические результаты, удовлетворительно согласующиеся с экспер и- ментальными данными, была статья [Д36] . Модель, предложе н- ная в цитируемой работе, базируется на теории термоактив и- руемого движения дислокаций ( Kroner&Teodosiu (1972), Kratochvil&de Angelis (1971)) и модели Линя.
В предлагаемой модели приняты все гипотезы модели Линя, за исключением соотношений для определения скоростей (или прир а- щений) сдвигов: предполагается, что скорости сдвигов связаны с касательными напряжениями на кристаллографических системах скольжения вязкопластическими соотношениями вида
γ(k ) = γ |
0 |
exp[ |
H |
0 |
/(kθ)] sinh[ν (τ(k ) τ(k ) )], |
|
|||
|
|
|
|
|
c |
(9.32) |
|||
|
|
|
|
|
τ(k ) |
τ(k ) , k = |
|
, |
|
|
|
|
|
|
1, K |
|
|||
|
|
|
|
|
|
c |
|
где γ0 – константа материала, Н0 – величина энергетического барьера (Пайерлса); k – кон-
станта Больцмана; θ – температура (К); ν – константы, относящиеся к объему препятствий (активационный объем); τ(k ) , τ(ck ) – касательное напряжение и критическое напряже-
τ(k )
ние сдвига в k-й системе скольжения, причем c характеризует сопротивление сдвигу
препятствий, не преодолеваемых за счет термической активации и связанное с дальнодействующими полями напряжений; К – число систем скольжения (для рассматриваемых в работе ГЦК-кристаллов принято К = 24, т.е. удвоенное число кристаллографических сис-
тем скольжения). Предлагается эволюционное уравнение для |
τ(k ) |
, представляющее собой |
|
c |
|
модификацию закона упрочнения Тейлора: |
|
|
295
K
τ(ck ) = A γ(i) [B(τ(ck ) τˆc )]m exp[ QD/(kθ)] , k =1, K , (9.33)
i =1
где А, В, m, τˆc – материальные константы, QD – энергия активации диффузии.
В качестве основы конститутивной модели, как и в модели Линя, используется (изотропный) закон Гука, записанный в скор о- стях. Численная процедура реализуется пошагово, задается ист о- рия осредненных скоростей полных деформаций (используется г и- потеза Фойгта).
Предлагаемая модель была апробирована для случая простого и сложного (на двухзвенных траекториях с изломами на углы 30, 60, 90, 120, 150 и 180о ) нагружения поликристаллического алюм и- ния при изотермическом деформировании при температуре 200 о С и скоростях деформирования от 3х10 - 5 до 3х10- 3 . Результаты расчетов находятся в удовлетворительном соответствии с экспериме н- тальными данными; в частности, хорошо описывается эффект «нырка» (резкого падения интенсивности напряжений в окрестн о- сти точки излома траектории деформации).
К рассмотренной выше работе вплотную примыкает стат ья [Д37], в которой более детально рассматривается процедура орие н- тационного осреднения тензора напряжений. Рассмотрена также модификация модели для реализации процесса нагружения в пр о- странстве напряжений. Отмечается возможность использования вместо гипотезы Фойгта самосогласованной модели Кренера.
Обзор работ по физическим теориям пластичности, вязко - и упруговязкопластичности, выполненных до 1985 года, содержится в статье [Д2]. Предлагаемая в работе модель ориентирована на описание образования текстуры при больших пластических дефо р- мациях и с этой точки зрения представляется целесообразным её достаточно полное изложение.
В качестве исходного кинематического соотношения также используется вариант мультипликативного разложения
F = F* Fp , |
(9.34) |
где тензор F* описывает как упругое деформирование, так и кв а- зижесткие повороты, тогда как Fр полностью определяется сдвигами по кристаллографическим системам скольжения (СС).
Рассмотрим разложение (9.34) в терминах конфигураций и базисных векторов. Наряду с отс четной К0 и актуальной Кt конфигурациями в разложении участвует промежуточная конфигурация К*, получаемая из К 0 преобразованием Fр . Векторы основного (сопряженного) базисов в этих конфигурациях обозначим соответственно
o o
как ei ei , eˆi eˆi , ei ei . В терминах базисных векторов входящие в
296
разложение (9.34) тензоры можно представить следующим образом
[57]:
oб o |
|
|
o |
oб |
|
|
|
|
oб o |
T |
|
o |
|
F = rT = eˆ |
i |
ei , F = |
rT = eˆ |
i |
ei , Fp = |
r |
= e |
ei . |
(9.35) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
||
Из (9.35) легко подтвердить справедливость (9.34). |
|
||||||||||||
Единичные ортогональные векторы нормали к |
k-й СС и на- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o (k ) |
o (k ) |
правления скольжения в отсчетной конфигурации n |
, b преобра- |
||||||||||||
зуются соответственно |
в векторы nˆ |
(k ) |
ˆ (k ) |
в актуальной конфигура- |
|||||||||
|
, b |
||||||||||||
ции согласно соотношениям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(k ) |
|
o (k ) |
ˆ (k ) |
|
|
|
o (k ) |
|
|
|
|
|
nˆ |
= F |
n |
|
= F |
b |
, |
|
|
(9.36) |
||||
|
|
, b |
|
|
|
||||||||
причем полагается, |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
что векторы nˆ , b также остаются единичны- |
ми и ортогональными, т.е. влиянием упругих искажений решетки пренебрегается. Тогда пластическая составляющая градиента
скорости перемещений ˆ vT = F F-1 выражается через скорости сдвигов следующим образом:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
(k ) ˆ |
|
|
|
|
|
F F |
-1 |
- F |
F |
-1 |
= d |
p |
+ W |
p |
= |
ˆ |
(k ) |
γ |
(k ) |
. |
(9.37) |
||
|
|
|
|
n |
b |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
Вместо диады |
nˆ |
(k ) ˆ (k ) |
в качестве ориентационного тензора в |
||||||||||||||
|
b |
моделях физической теории пластичности принято использовать её симметричную часть M((S)k ) , вводя разложение
nˆ |
(k ) ˆ |
(k ) |
|
|
(k ) |
(k ) |
|
|
|
|
||
b |
|
|
= M(S) + M(A) , |
|
|
|
|
|||||
|
(k ) |
|
1 |
nˆ |
(k ) ˆ (k ) |
ˆ |
(k ) |
nˆ |
(k ) |
, |
(9.38) |
|
M(S) = |
2 |
b |
+ b |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(k ) |
|
1 |
nˆ |
(k ) ˆ (k ) |
ˆ |
(k ) |
nˆ |
(k ) |
, |
|
|
M(A) = |
|
2 |
b |
b |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где M((A)k ) – антисимметричная составляющая диады. С использов а-
нием разложения (9.38) входящие в (9.37) пластические составляющие девиатора деформации скорости и спина можно записать в виде
K |
K |
|
|
dp = M(k ) γ(k ) , Wp = |
M(k ) |
γ(k ) . |
(9.39) |
(S) |
(A) |
|
|
k =1 |
k =1 |
|
|
С использованием (9.34)–(9.35) можно получить следующие соотношения:
L |
ˆ |
v |
T |
= F F |
-1 |
ˆ ˆi |
-1 |
+F * F |
p |
F |
p-1 |
-1 |
, (9.40) |
|
|
|
= eie = F * F * |
|
|
F * |
297
Le |
F * F *-1 = eˆieˆi + ei e j |
eˆieˆ j , |
|
|
(9.41) |
Lp |
F * Fp Fp-1 F *-1 = ei e j eˆieˆ j = -ei e j eˆieˆ j . |
Из (9.41)2 следует, что «пластическая составляющая» в разлож е- нии (9.40) представляет собой скорость изменения компонент метрического тензора в конфигурации К*, отнесенных к диадному базису актуальной конфигурации.
Остановимся на геометрическом смысле приведенных выше тензоров градиентов скоростей перемещений. Рассмотрим две бе с-
конечно близкие частицы r и r |
+ dr, dr = dξieˆi = dξieˆi , где |
ξi – |
ла- |
||||||
гранжевы |
координаты |
[57]. |
Тогда |
нетрудно |
видеть, |
что |
|||
об |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L dr = dr = dvK |
, т.е. скорость частицы r + dr в конфигурации Кt от- |
||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
носительно |
частицы r. |
Далее, |
Lp dr = ei |
dξ j e j eˆi = ei |
dv |
K |
eˆi , |
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этот член представляет собой относительную скорость той же ча с- тицы в конфигурации К*, компоненты которой отнесены к базису актуальной конфигурации Кt . Наконец, аналогично показывается,
что Le dr = dvKt ei dvK* eˆi , т.е. эта составляющая представляет с о-
бой разность скоростей той же частицы в конфигурации К t и в конфигурации К* (приведенную к базису актуальной конфигур а- ции).
Введенные соотношениями градиенты скоростей перемещений представляются разложением на симметричную (тензоры деформ а- ции скорости) и антисимметричную (тензоры вихря) составля ю- щие:
L = D + W, D = 1 |
(L + LT ), W = 1 |
(L - LT ) , |
(9.42) |
|
2 |
2 |
|
|
|
Le = De + We , De = 1 |
(Le + LeT ), We = 1 |
(Le - LeT ) , |
(9.43) |
|
2 |
|
2 |
|
|
Lp = Dp + Wp , Dp = 1 |
(Lp + LpT ), Wp = 1 |
(Lp - LpT ) . |
(9.44) |
|
2 |
|
2 |
|
|
Следует отметить, что обе составляющие De и We содержат скорости упругих искажений решетки и вращения тела как целого, тогда как Wр описывает скорость вращения решетки за счет пластич е- ских сдвигов («полностью стесненная модель Тейлора»).
Введем меру Коши–Грина G* и тензор деформаций Коши– Грина C* [57] при использовании в качестве отсчетной конфигур а- ции К* (в анализируемой статье последний назван «решеточным тензором Грина):
298
G = F T F = ei eˆ |
i |
eˆ |
j |
e j = gˆ |
ij |
ei e j , |
(9.45) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = 1 |
G - g , |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где g – метрический (единичный) тензор, gˆ ij – его компоненты в ба-
зисе актуальной конфигурации. С использованием (9.41)1 , (9.43) и (9.45) нетрудно показать, что справедлива следующая связь:
De = F -T C F -1, C = F T De F , |
(9.46) |
которая потребуется в дальнейшем.
В геометрически нелинейной теории пластичности наряду с тензором напряжений Коши σ часто используется тензор напряже-
o
ний Кирхгоффа (или «взвешенный тензор Кирхгоффа») K = ρ ρˆ σ
o
(см. п.1.1.2), где ρ, ρˆ – плотность в отсчетной и актуальной конф и-
гурации соответственно. Заметим, что свертки K : D и σ : D определяют мощность напряжений на единицу объема соответственно в отсчетной и актуальной конфигурациях.
В работе полагается, что свободная энергия (Гельмгольца)
не зависит от пластических сдвигов и является функцией только С*. Мощность работы напряжений определяется соотношением
|
N = K : De + K : Dp = K : De + K (k ) γ(k ) , |
(9.47) |
|
|
|
k |
|
где |
K (k ) = K : M(k ) |
– сдвиговое напряжение на k-й системе скольже- |
|
|
(A) |
|
|
ния. Первый член правой ча сти характеризует скорость изменения свободной энергии Гельмгольца и может быть выражен через как
C : C , тогда с учетом (9.46) можно записать
K : De = F -1 K F -T |
: C = |
C : C , |
(9.48) |
|
откуда следует |
|
|
|
|
K = F |
C |
F T . |
|
(9.49) |
|
|
|
|
|
Заметим, что если известно выражение свободной энергии |
как функции С*, то (9.49) можно трактовать как закон гиперупр у- гости (закон Гука с заменой линейной меры деформаций на нел и- нейную).
Далее вводится коротационная производная K r [57] тензора
Кирхгоффа K , ассоциированная с решеточным упругим спином
Wе :
K r = K - We K + K We . |
(9.50) |
299
Дифференцируя (9.49) по времени и подставляя в (9.50), с использованием (9.46)2 получаем
|
2 |
|
|
|
|
K r = F |
|
: F T De F |
F T + De |
K + K De . (9.51) |
|
C 2 |
|||||
В цитируемой статье первый член правой части представляе т- |
|||||
ся в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
F F |
|
F T F T |
: De , |
|
|
C 2 |
|||
|
|
|
|
|
т.е., по сути, осуществляется переход к гипоупругому закону. К сожалению, авторам не удалось доказать правомочность такого п е- рехода, вероятно, он неверен (возможно, использовалось известное в тензорном анализе «цепное правило», справедливое только для сверток тензоров второго ранга, тогда как в данном соотношении фигурирует тензор четвертого ранга). Заметим, что запись первого члена правой части (9.51) в компонентах не меняет закона гипоупругости, имеет место просто усложнение записи.
В дальнейшем, заменой в (9.50) Wе =W–Wр и переходом к ко-
ротационной производной K r , ассоциированной с тензором (материального) вихря W, определяющее соотношение преобразуется к виду
|
2 |
|
K r = F |
|
: F T De F F T + De K + K De |
C 2 |
||
|
(9.52) |
K M((A)k ) M((A)k ) K γ(k ).
k
Наконец, заменяя Dе = D – Dр , а Dр выражая через скорости сдвигов, получаем ОС упруговязкопластичности, связывающее корот а-
ционную производную K r |
с тензором полной деформации скор о- |
сти и скоростями сдвигов. |
Теперь, чтобы использовать получен- |
ные ОС для решения кон кретных задач, следует определить закон для скоростей сдвигов, в качестве которого используется вязкопл а- стический закон (степенная зависимость скорости сдвига от сдв и- гового напряжения на каждой СС)
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
(k ) |
|
(k ) K |
(k ) |
K |
(k ) |
m |
(k ) |
|
(k ) |
|
|
|
γ |
= a |
|
|
|
, K |
= K : M |
, |
(9.53) |
|||||
|
g(k ) |
g(k ) |
|
|
(A) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где а( k ) – так называемая «отсчетная скорость» (сдвига) (нетрудно видеть, что она равна ско рости сдвига при K (k ) = g(k ) ); g(k ) – функ-
ция упрочнения, зависящая от суммарного сдвига, накопленного на всех системах скольжения; m – показатель скоростной чувствительности монокристалла. Из (9.53) следует однозначная определенность скорости сдвига по любой СС, причем скорость сдвига
300