Прикладная теория колебаний
..pdf∆xII |
|
|
= − |
∆xст |
(1−sin ωT1 ) = ∆xIII |
|
, |
|
|
|
|||||||
|
||||||||
|
|
t=T1 |
|
T1 |
|
t=0 |
где ∆xII , ∆xIII – динамические перемещения на втором и третьем участках нагружения.
Тогда
A3 = ∆xст sin ωT1 ,
ωT1
B3 = − ∆xст (1−cosωT1 ). ωT1
Уравнение движения на третьем участке имеет вид
∆x = |
∆xст |
|
sin ωT cos ωt −(1−cosωT )sin ωt |
= |
||||||
ωT |
||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
∆xст |
sin (ωT |
+ωt ) −sin ωt . |
|
(4.11) |
|||
|
|
ωT |
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Коэффициент динамичности Kд = ∆x ,
∆xст
(K III ) |
|
|
T |
|
sin |
πT1 |
|
|
|
= |
= |
T |
, |
(4.12) |
|||
|
πT |
|
|
|||||
д |
max |
|
|
πT1 |
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
T
где T – период собственных колебаний конструкции. Максимальное динамическое перемещение x1 д определя-
ется величиной (Kд )max :
x1 д =(Kд )max x1ст. |
(4.13) |
Аналогично решается задача при возрастании P(t) и при других произвольных изменениях сил.
81
Стр. 81 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
4.2.Импульсное нагружение тонкостенной оболочки
сзаполнителем
Рассмотрим возможность определения динамических характеристик конструкции на примере плоской модели, состоящей из комбинированной тонкостенной оболочки и вязкоупругого заполнителя, прочно скрепленного с ней. Расчет ведем только для радиальных осесимметричных колебаний при начальных условиях u(rk) = u0, t = 0, где u0 – начальное радиальное перемещение внутреннего канала заполнителя; rk – радиус внутреннего канала.
Такие условия можно интерпретировать как быстрый сброс внутреннего давления, который приводит представленную механическую систему в колебательный режим. В общем виде решение для функции радиального перемещения запишем в форме
u(r, t) =
где
u(r) = c1J1 ω1
a
u(r)e−ξt+ jωt ,
r |
+c2 N1 ω1 |
|
a |
|
|
(4.14) |
r |
, |
(4.15) |
|
|
|
здесь ω1 = |
ω2 −ξ2 , |
|
упругости; |
J1 ω1 |
r |
|
a |
|
ξ – коэффициент затухания; a – параметр
|
, |
N1 |
ω1 |
r |
– функции Бесселя и Нейма- |
|
|
|
a |
|
|
на соответствующего порядка.
С учетом граничных, начальных условий и условия совместимости деформаций заполнителя и оболочки и при условии, что радиус оболочки R равен наружному радиусу заполнителя r, можно найти решения для перемещений u(r), радиальных εr и окружных εo деформаций и радиальных σr и окружных σо напряжений в заполнителе и оболочке. Ввиду малости колебаний используем линейную зависимость между напряжениями и деформациями. Таким образом,
82
Стр. 82 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
u(r) |
= |
|
|
|
[−J1(r) B + N1(r)A] |
|
e−ξt+ jωt , |
|
|||||||||||||||||||
u |
0 |
|
|
−B J1 (rk ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ AN1 (rk ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
εr (r) = |
|
|
|
[−J1′(r) B + N1′(r)A] |
|
e−ξt+ jωt , |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
u |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
−B J1 (rk ) |
+ AN1 (rk ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
εo (r) |
= |
|
|
|
[−J1(r) B + N1(r)A] |
|
|
e−ξt+ jωt , |
|
||||||||||||||||||
u |
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
−B |
J1 (rk ) + AN1 (rk ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
σr (r) |
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|||||||
|
|
|
|
u |
0 |
|
−J |
(r |
)B + N |
|
(r |
) A |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
k |
|
|
|
1 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
J1 |
|
|
|
|
+ |
|
|||
|
|
|
−B (λ+2G)J1′(r) + |
2 |
(r) |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
+ A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
−ξt+ j(ωt+η) |
, |
|||||||
(λ+ 2G)N1′(r) + |
2 |
N1(r) e |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
σо(r) = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|||||||
|
|
|
|
−J |
(r |
)B + N |
|
(r |
) |
A |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
u |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
k |
|
|
|
1 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
(r) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
× −B (λ+2G) |
1 |
|
+λJ1′(r) |
+ |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
+ A |
(λ +2G) |
N1(r) |
+λN′(r) |
e−ξt+ j(ωt+η) , |
|||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.16)
(4.17)
(4.18)
(4.19)
(4.20)
где штрихами обозначены производные от функций Бесселя и Неймана; λ – коэффициент Ляме; G – модуль второго рода; η – коэффициент потерь материала заполнителя.
Виброускорения найдем по формуле
|
|
|
u |
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
u |
0 |
−J |
(r |
)B + N |
(r |
) A |
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
k |
|
1 |
k |
|
|
|
|
||
× |
−J |
(r )B + N |
(r)A |
(−n + jω)2 |
e−ξt+ jωt . |
(4.21) |
||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
83 |
Стр. 83 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
На рис. 4.3–4.7 приведены расчетные значения параметров динамического состояния системы.
Рис. 4.3. Расчетные значения |
Рис. 4.4. Расчетные значения |
радиальных напряжений |
окружных напряжений |
Рис. 4.5. Расчетные значения |
Рис. 4.6. Расчетные значения |
радиальных деформаций оболочки |
виброперегрузок оболочки |
Рис. 4.7. Расчетные значения окружных деформаций оболочки
84
Стр. 84 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
При принятых исходных данных определяется амплитуда виброперемещений или параметры напряженно-деформиро- ванного состояния в заполнителе и в оболочке. Кроме того, можно определить время переходного процесса и величину виброперегрузок как в заполнителе, так и в оболочке. Если расчетные значения не удовлетворяют техническому заданию, то следует задать новые исходные параметры механической системы и расчеты повторить. Такой перебор вариантов с учетом критериев существенно ограничивает область возможных и целесообразных проектных параметров.
4.3. Удар
При ударе скорость элемента конструкции изменяется на конечную величину за короткий промежуток времени, а усилие определяется выражением
P (t) = Q j(t), |
(4.22) |
д g
где Рд – динамическая нагрузка (сила инерции в момент соприкосновения с телом); Q – вес падающего груза; j – ускорение динамического процесса.
К основным параметрам удара относятся следующие: 1. Коэффициент динамичности
δ
Kд = δд , δд = Kдδст, (4.23)
ст
где δд, δст – динамическое и статическое перемещения. 2. Напряжения (динамическое и статическое):
σд = Kдσст, |
σст = |
Q |
, |
(4.24) |
|
|
F |
|
|
где F – площадь взаимодействия тел.
85
Стр. 85 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
3. Перемещения (динамические и статические):
δст = Pcст ; δд = Pcд ,
встатике статическая нагрузка Pст = Q.
4.Кинетическая энергия
K = Q(H +δд ),
где Н – высота подъема груза.
5. Потенциальная энергия упругого тела при ударе
|
1 |
|
|
|
сδ2 |
|
W = |
|
P δ |
|
= |
д |
. |
2 |
|
2 |
||||
д |
д |
д |
|
|
(4.25)
(4.26)
(4.27)
Определим значение коэффициента динамичности при условии, что K = Wд.
С учетом (4.26) и (4.27) запишем:
|
|
|
|
|
|
|
|
cδд2 |
= Q(H +δд ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как c = |
|
Q |
, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
δcт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Qδд2 |
|
=Q(H +δд ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
δcт 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δд2 −2δдδcт −2δcтH = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отсюда δ |
|
= δ |
|
|
± δ2 |
+ 2δ |
|
H , или δ |
|
= δ |
|
+ |
1 |
+ |
2H |
||||||
д |
cт |
ст |
д |
1 |
δ |
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
cт |
|
|
|
|
cт |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ст |
|
86
Стр. 86 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
Тогда
Kд =1+ |
1+ |
|
2H |
. |
|
(4.28) |
||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δст |
|
||||
С учетом того, что H = |
|
v2 |
, где v – скорость падения гру- |
|||||||||||
|
2g |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
за, коэффициент динамичности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Kд =1+ |
1+ |
|
|
v2 |
|
|||||||||
|
|
|
. |
(4.29) |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
gδст |
|
|||||
Кроме того, можно записать: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2H = |
|
|
|
HQ |
= |
K |
. |
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
δст |
Qδcт |
|
|
Wст |
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, коэффициент динамичности
Kд =1+ 1+ K ,
Wст
= Q2 = Q2l Wст 2c 2EF ,
где l – это длина стойки (стержня). Находим напряжения при ударе:
σ |
|
= K |
σ |
|
= σ |
|
+ 1+ |
2H |
(4.31) |
||
д |
ст |
1 |
δ |
|
. |
||||||
|
д |
|
|
ст |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ст |
|
|
Схема удара груза Q по стержню с жесткостью EF приведена на рис. 4.8.
Усилие при ударе
P |
= σ |
F = P |
|
+ 1+ |
2H |
(4.32) |
|
1 |
σ |
. |
|||||
д |
д |
ст |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ст |
|
(4.30)
Рис. 4.8. Расчетная схема удара
87
Стр. 87 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
Область применения линейной гипотезы колебаний:
2H ≤100, |
σд = f (F, l, E). |
(4.33) |
||||
σст |
|
|
|
|
|
|
Условие прочности: |
|
|
|
σт |
|
|
(σд )max |
|
|
= |
, |
(4.34) |
|
≤ σд |
nт |
|||||
|
|
|
|
|
|
где σт – характеристика материала стойки (предел текучести); nт – запас прочности, nт =1,4...1,6.
Пример 1. Груз Q весом 50 Н, прикрепленный к стальной проволоке диаметром 3 мм, свободно падает от точки А с ускорением g.
Определить напряжение в проволоке, когда верхний конец внезапно остановлен. Массой проволоки пренебречь.
Напряжения в проволоке определим по формуле
σд |
= |
Q |
+ |
2QHE . |
|
|
F |
|
Fl |
Следовательно, при длине проволоки l = Н имеем:
|
4 5 |
|
2 5 4 2,1 106 |
σд = |
|
+ |
3,14 0,3 0,3 =1731 МПа. |
3,14 0,3 0,3 |
Пример 2. Определить напряжение σ в канате, поднимающем груз Q со скоростью v, при внезапном торможении. С учетом равенства работ потенциальной и кинетической энергии запишем:
EFδд2 |
− |
EFδст2 |
= |
Qv2 |
+Q(δд −δст ), |
так как Q = EF |
δст |
. |
2l |
2l |
2g |
|
|||||
|
|
|
|
l |
Кинетическая энергия полностью превращается в потенциальную.
88
Стр. 88 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
Отсюда
|
|
|
|
|
EF |
(δд −δст )2 = Qv2 |
, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2l |
|
|
|
2g |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
δд |
= δст |
+ |
Qv2l |
, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
EF g |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
δд |
=1+ |
v |
|
Ql |
|
=1+ |
v |
|
, т.е. |
Kд =1+ |
v |
. |
|
|
|
δст |
|
EFg |
|
|
|
|||||||
|
δст |
|
|
δстg |
|
|
δстg |
Пример 3. Определить напряжение в стальном канате, опускающем груз (Q = 45 кН) со скоростью v = 1 м/с, в случае внезапной остановки в момент, когда груз опустился на 18 м. Сечение каната 16 см2, модуль упругости E = 1,05 · 105 МПа.
Определим статическую деформацию каната:
δст = EFQl = 0,48 10−2 м = 0,482 см.
Коэффициент динамичности
Kд =1+ |
v |
= 5,6. |
|
δстg |
|||
|
|
Напряжение в канате
σд = Kдσст =157,5 МПа.
Определим напряжения от удара при изгибе на примере балки на двух опорах:
K |
|
=1+ 1+ 2H |
, |
( f |
|
) |
|
= |
Ql3 |
. |
д |
cт |
max |
|
|||||||
|
fcт |
|
|
|
|
48EJ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Для балки на двух опорах
(σ |
|
) |
|
= |
Ql |
; ( f |
|
) |
|
= |
Ql3 |
. |
|
cт |
|
max |
|
4Mсопр |
|
cт |
|
max |
|
3EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
89
Стр. 89 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
Для балки-консоли
(σcт )max = MQl ;
сопр
σд = Kд (σcт )max ,
где Мсопр – момент сопротивления сечения балки.
4.4.Удар движущегося объекта
отупиковые ограждения
Рассмотрим случай удара движущейся с небольшой скоростью СДМ о жесткую преграду (рис. 4.9).
Рис. 4.9. Схема взаимодействия СДМ и преграды
По теореме об изменении кинетической энергии системы работа
A = K2 − K1, |
|
(4.35) |
|||
K = |
mv2 |
= |
Gv2 |
, |
(4.36) |
1 |
2 |
|
2g |
|
|
|
|
|
|
где G – вес машины.
90
Стр. 90 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |