Математическое моделирование химико-технологических систем
..pdfПонятие параметричности связи (потока), т.е. количества парамет ров, характеризующих поток в конкретном рассмотрении, является обоб щающим и связано как со свойствами потока, так и с алгоритмом расчета модулей, откуда интересующая связь выходит и куда направлена. При по иске оптимального множества разрываемых связей необходимо учитывать правило: суммарная параметричностъ разрываемых связей комплекса должна быть минимальна. Рассмотрим понятие параметричности на при мере.
В качестве примера возьмем схе
му движения материальных потоков в |
пар |
||||
|
|||||
радиантной части котла с естествен |
|
||||
ной циркуляцией (рис. 4.3). |
|
||||
В соответствии |
с |
технологиче |
|
||
ской схемой питательная вода из ба |
|
||||
рабана котла (4) по опускным трубам |
|
||||
(7) подается в коллектор (2), а затем |
|
||||
распределяется по |
испарительным |
|
|||
трубам (3). Образовавшаяся в испари |
|
||||
тельных трубах паровая фаза за счет |
|
||||
разности |
плотностей |
поднимается |
|
||
вместе с жидкостью вверх, в барабан. |
|
||||
В барабане котла сухой насыщенный |
|
||||
пар сепарируется от жидкости и пода-^ |
|
||||
ется потребителю. Расход пара ком |
Рис. 4.3. Принципиальная |
||||
пенсируется подачей |
питательной во |
||||
технологическая схема котла |
|||||
ды таким |
образом, |
чтобы уровень в |
|
барабане котла оставался постоянным. Операторная схема и граф указан ной технологической схемы представлены на рис. 4.4.
Граф на рис. 4.4 имеет один комплекс, включающий в себя потоки 1, 2 и 3, входящие в один контур. Перед тем как определить количество пара метров, которыми можно охарактеризовать состояние потоков, входящих в комплекс, рассмотрим фазовое состояние потоков: 1 - жидкость; 2 - пар + + жидкость; 3 - жидкость. Для того чтобы охарактеризовать состояние жидких потоков (7 и 3), состоящих из воды, необходимо знать их общий расход и температуру. А для того чтобы охарактеризовать параметры па рожидкостного потока (2), необходимо знать общий расход, температуру и долю паровой фазы (степень сухости). Кроме того, так как в системе есть барабан, т.е. модуль, где достигается парожидкостное равновесие, то необ ходимо знать давление каждого потока. Однако можно допустить, что в котле (т.е. для всех потоков) происходит изобарный процесс, поэтому дав ление из параметров потоков можно исключить.
1
Рис. 4.4. Операторная схема (а) и граф схемы (б) котла
Таким образом, параметричность потоков (количество характеризую щих их параметров) будет следующая:
поток |
1 |
2 |
3 |
параметричность |
2 |
3 |
2 |
По правилу выбора разрываемых потоков «суммарная параметрич ность разрываемых связей комплекса должна быть минимальна» можно заключить, что для перевода комплекса из замкнутого в разомкнутое со стояние можно разорвать поток 1 или 3.
При разрыве потока 1 входными в данную ХТС потоками будут пото ки 5 и Г, а выходными - 4 и 7, причем при достижении решения расход и температура потоков 7 и Г должны быть одинаковые. Для обеспечения возможности расчета ХТС на месте разрыва будет установлен итерацион ный блок ИБ (рис. 4.5), основными функциями которого будут: определе ние суммарной погрешности по изменяющимся в процессе расчета пара метрам (расходу и температуре) потоков 7 и 7' и определение параметров потока 7' при известных параметрах потока 7 в соответствии с выбранным математическим методом сходимости.
Рис.4.5. Операторная схема с итерационным блоком
Так как параметричность характеризует количество параметров, кото рые могут изменяться, то решение ХТС декомпозиционным методом будет происходить до тех пор, пока величина суммарной погрешности (Err), с
учетом заданных весовых коэффициентов (WQ, WT и т.д.), не будет меньше или равна заданной точности расчета (Eps):
Величины весовых коэффициентов обычно выбираются таким обра зом, чтобы уравнять вклад различных по абсолютной величине значений параметров в ошибку.
Следует отметить, что в случае разрыва потока 2, имеющего большую параметричность, точность расчета комплекса необходимо будет опре делять не по двум параметрам (G и Т), а по трем (G, Т и X), что значи тельно сложнее. Кроме того, необходимо учесть, что всегда существуют математические проблемы сходимости расчета систем вне зависимости от способа их расчета.
При расчете более сложных ХТС достаточно часто встречаются слу
чаи, когда комплекс имеет больше одно |
|
го контура, а один из потоков является |
|
общим (рис. 4.6). |
|
Для разрыва контура 2-3-4-2 (по |
|
вершинам), в зависимости от парамет- |
|
ричности потоков, можно разорвать лю |
|
бой из потоков: 4, 5 или 7. Для разрыва |
Рис. 4.6. Схема комплекса, |
контура 3-4-3 (по вершинам), в зависи |
|
мости от параметричности потоков, |
имеющего два контура |
можно разорвать поток 5 или б. Таким |
|
образом, поток 5 является общим, следовательно, при его разрыве одно временно будут разорваны оба контура. При этом можно утверждать, что параметричность одного потока всегда будет меньше суммарной параметричности двух потоков, которые необходимо было бы разорвать при разрыве двух контуров. В случае более сложной структуры комплекса (три и более контура комплекса имеют один общий поток) последнее ут верждение уже не будет вызывать сомнений.
Таким образом, можно сформулировать следующие правила перевода комплекса из замкнутого вида в разомкнутый (разрыва потоков):
1.В комплексе всегда разрывается множество потоков, имеющих наименьшую суммарную параметричность.
2.Если в комплексе имеются потоки, одновременно входящие в не сколько контуров комплекса, то эти потоки могут быть разорваны без до полнительного анализа величины их параметричности.
После определения оптимального множества разрываемых конту ров, суммарная -параметричность которых минимальна, появляется воз можность определить окончательную последовательность расчета всей ХТС с учетом разрываемых потоков, т.е. с учетом выходящих из итера ционных блоков потоков, которые для ХТС, переведенной из замкнутого
вразомкнутый вид, также будут входными. Далее окончательная после
довательность расчета ХТС передается в координирующее программное обеспечение, которое позволяет составить из модулей базы данных ХТС заданного вида и произвести ее расчет.
4.3.Детерминированные и статистические модели элементов ХТС
Ранее было отмечено, что наиболее распространен декомпозиционный метод расчета ХТС, т.к. обладает большей наглядностью, требует меньше го количества вычислений и имеет ограниченное количество модулей, ал горитмы расчета которых хорошо известны.
Ввиду сложности технологических процессов при разработке их ма тематических моделей обычно вводят ряд упрощающих допущений. На пример, для описания структуры потока в аппарате часто используют два предельных режима: идеального вытеснения и идеального смешения. В качестве допущений может приниматься постоянство температуры или давления в определенной зоне аппарата, постоянство скорости потока или скорости химической реакции и т.д. При этом структура и степень детали зации математического описания для одноименных модулей могут быть различными и зависят от целей их использования, объема информации, положенной в основу модели, и других факторов.
Когда процесс достаточно сложен, его рассматривают как «черный ящик», т.е. анализируют только взаимосвязь входных и выходных пара метров, не рассматривая физико-химические закономерности самого про цесса. В этих случаях на основании экспериментальных данных с помо щью статистических методов строят регрессионную модель процесса (за висимости выходных параметров от входных), адекватно описывающую реальный технологический объект на некотором интервале изменения его параметров. Таким образом, различают два типа моделей: детерминиро ванные и статистические.
Детерминированные, или физико-химические, математические моде ли отражают закономерности процессов, протекающих в элементах ХТС. При разработке таких моделей используют законы сохранения массы и энергии, законы переноса вещества, энергии и импульса, закономерности кинетики протекающих химических реакций, гидродинамику потоков и т.д. При составлении математических моделей процессов используется блочный принцип построения моделей, согласно которому математическое описание объекта в целом получают как совокупность описаний отдель ных элементарных процессов, протекающих в рассматриваемом объекте.
Построенную математическую модель проверяют на адекватность экспериментальным данным и, в случае необходимости, корректируют ее параметры. Затем разрабатывают алгоритм решения уравнений и форми руют модуль в виде соответствующей программы для компьютера.
В настоящее время существует специализированное программное обеспечение, содержащее в своих базах данных адекватные математиче ские модели различных процессов. Более подробно такие программные продукты будут рассмотрены в следующих главах.
Статистические модели элементов ХТС не предполагают детального описания закономерностей процессов, происходящих в моделируемых объектах. Обычно математическое описание элемента строится в виде рег рессионных зависимостей выходных параметров объекта от входных пе ременных и представляет собой адекватные линейные и нелинейные поли номиальные уравнения. Коэффициенты этих уравнений находят путем об работки данных полного факторного или пассивного эксперимента, что позволяет значительно сократить трудоемкость составления модели и все расчетные процедуры.
Рассмотрим способы построения детерминированных и статистиче ских моделей элементов ХТС более подробно.
4.4. Основы построения детерминированных математических моделей элементов ХТС
Как было сказано выше, детерминированные, или физико-химические, математические модели отражают теоретические закономерности процес сов, протекающих в элементах ХТС. При разработке таких моделей ис пользуют законы сохранения массы и энергии, законы переноса вещества, энергии и импульса, закономерности кинетики протекающих химических реакций, гидродинамику потоков и др. В связи со сложностью реальных технологических процессов при разработке их математических моделей обычно вводят ряд допущений, упрощающих описание реального процесса и позволяющих применить блочный принцип построения моделей, соглас но которому математическое описание объекта в целом получают как со вокупность описаний отдельных элементарных процессов, протекающих в рассматриваемом объекте. Рассмотрим основы построения детерминиро ванных математических моделей процессов на некоторых примерах.
Модуль смесителя
Модуль смесителя является одним из наиболее простых модулей. В соответствии с исходной задачей, два потока вещества, имеющие расходы G| и G2 (моль/с), температуры Т\ и Г2 (К), составы Х \/ и -(мольные доли), теплоту Q1и (?2 (Вт), подаются в смеситель, откуда выходит один поток с расходом (73, температурой 7з, составом Aj/ и теплотой £>з (рис. 4.7).
Gi , T\yX\i, Qi
|
GiyT-b,Xii,Qi ь |
|
Gb Tb X2ly Q2 |
—■■■ |
■■■■» |
|
|
Рис.4.7. Схема модуля смесителя
Физико-химическая модель смесителя предназначена для расчета мате риального и теплового балансов процесса смешения двух потоков вещества. Существуют модули для смешения нескольких потоков вещества, но они яв ляются расширенной модификацией смесителя для смешения двух потоков.
Обычно при составлении упрощенной детерминированной модели принимаются некоторые допущения. Для смесителя допущения будут сле дующие:
1.Структура потока в аппарате соответствует режиму идеального смешения.
Впротивном случае поток на выходе смесителя будет не полностью перемешан ный и необходимо будет либо усложнять модель с учетом коэффициента переме шивания, либо усложнять модель с учетом гидродинамики потоков в аппарате. Это может быть неоправданно по удельным затратам времени на разработку мо дели, а при неполном учете в модели всех физико-химических явлений приводит к значительным ошибкам.
2.Процесс смешения - адиабатический, не учитывается теплота сме
шения.
Впротивном случае необходимо учитывать процессы подвода и отвода теплоты, а также теплоту смешения, выделяющуюся при смешении веществ (в особых слу чаях в тепловом балансе смесителя требуется учитывать теплоту смешения).
3.Все потоки имеют одно фазовое состояние.
Впротивном случае модель нужно будет значительно усложнить, т.к. необходимо использовать смеситель, имеющий 2 или 3 выходных потока (газ, жидкость и твердое), потому что одним потоком невозможно одновременно выразить различ ные фазовые состояния, и нужно будет учитывать фазовое равновесие в системе твердое - жидкость - газ, условия его установления и тепловой баланс процессов установления этого равновесия.
4.Давление входных и выходных потоков - одинаковое.
При изменении давления могут возникнуть условия, приводящие к изменению фазового состояния (см. п.З).
С учетом всех указанных выше допущений рассмотрим уравнения, входящие в основу математического описания модели смесителя.
Общее уравнение материального баланса примет вид
G3 = G] + G2 • |
(4.2) |
С использованием уравнения материального баланса для вещества можно рассчитать состав выходного потока:
X y G\ + Х 21 G2 |
, |
(4.3) |
Х ц = — — ------ —- , |
при /= !...£ . |
При составлении материального баланса особое внимание требуется обратить на единицы измерения расходов и составов. Обычно рекоменду ется использовать мольный расход (моль/с) и состав (мольн. %), или мас совый расход (кг/с) и состав (мае. %), или при смешении газовых потоков объемный расход при нормальных термодинамических условиях (О °С и 1 атм), т.е. (нм3/с), и объемный состав (об. %).
Следует отметить, что при расчетах состав потока обычно использу ется не в процентах, а в долях (сумма равна 1), а использование различных единиц измерения для расхода и состава недопустимо.
Общее уравнение теплового баланса примет вид: |
|
Q i= Q \+ Q i- |
(4.4) |
При неизвестной теплоте потока она может быть рассчитана на осно |
|
вании материального баланса по уравнению |
|
Q = GCP T , |
(4.5) |
где Ср - удельная изобарная теплоемкость потока (смеси веществ), которая рассчитывается по правилу аддитивности:
СР = i c Pi Х {, |
(4.6) |
/=1 |
|
где Сpi - изобарная теплоемкость /-го компонента потока, которая может быть рассчитана по уравнению
C p ^ a j+ b j- T + Cj T2 + dr T3, |
(4.7) |
коэффициенты а, Ь, с u d для /-го вещества берутся из справочника. Температура выходного потока рассчитывается методом итераций:
Т’з = 7^ - > |
где |
Ся з = /(7 з ) . |
(4.8) |
° 3 С РЪ
Модуль делителя
Модуль делителя является одним из наиболее простых модулей. В со ответствии с исходной задачей, поток вещества, имеющий расход G\ (моль/с), т^мпературу Т\ (К), составы Хц (мольные доли) и теплоту Q\
(Вт), подается в делитель, откуда выходят два потока с расходами G2 и G3, температурами Т2 и Г3, составами X2l и Хуги теплотой Q2 и £?з (рис. 4.8).
G2, Т2,Х2/, 02
Gu Т\,Х\ь Q\
Рис. 4.8. Схема модуля делителя
Физико-химическая модель делителя предназначена для расчета мате риального и теплового балансов процесса деления одного потока вещества на два потока. Существуют модули для деления потока на большее коли чество потоков, но они являются расширенной модификацией делителя на два потока.
Для делителя допущения будут следующие:
1.Состав, температура и давление выходных потоков равны составу, температуре и давлению входного потока.
2.Все потоки имеют одно фазовое состояние.
Известно два способа деления потока. Для ПЕРВОГО способа требу ется знать расход первого выходящего потока, а для ВТОРОГО - коэффи циент деления потока. В зависимости от типа связанного с делителем обо рудования применяться могут оба способа, однако ПЕРВЫЙ способ имеет ограничения, которые заключаются в том, что используются абсолютные значения, а не относительные. Например, при расчете расход входящего потока будет меньше заданного расхода первого выходящего потока, т.е. второй выходящий поток будет иметь отрицательный расход, что невоз можно. ВТОРОЙ способ более стабильный в расчетах, т.к. используются относительные значения,однако в зависимости от типа связанного с дели телем оборудования использование фиксированного коэффициента деле ния может не соответствовать реальной ХТС.
Для реализации ПЕРВОГО способа необходимо знать: расход Gj (моль/с), температуру Т\ (К), состав X Vl (мольные доли) и теплоту Q\ (Вт), а также расход первого выходящего потока G2.
Основное уравнение материального баланса примет вид |
|
G3 =G1- G 2. |
(4.9) |
Исходя из допущения состав выходных потоков будет равен составу |
|
входного потока: |
|
x 3i= x 2 i= x U> ПРИ *= !•••£• |
(4.10) |
Теплоты выходящих потоков могут быть рассчитаны пропорциональ но расходам выходящих потоков (температура и состав выходящих пото ков равны входящему) или рассчитаны на основании материального ба ланса по уравнению
Q -G C p Т , |
(4.11) |
где Ср - удельная изобарная теплоемкость потока (смеси веществ), которая рассчитывается по правилу аддитивности:
C p ^ i c p t X i , |
(4.12) |
/=1 |
|
где Ср; - изобарная теплоемкость /-го компонента потока, которая может быть рассчитана по уравнению
СPi = a; + ЬГ Т +Cl ■Т2 + di ■Т3, |
(4.13) |
коэффициенты а, Ь, с и d которого для /-го вещества берутся из справоч ника.
Для реализации ВТОРОГО способа расчета должны быть известны: расход G^ (моль/с), температура Т\ (К), состав Хц (мольные доли) и тепло та Q\ (Вт), а также задан коэффициент деления входящего потока K f (в со ответствии с обозначениями на рис. 4.8, Kf= G2/G 1).
В данном случае расходы выходящих из делителя потоков могут быть рассчитаны по формулам
G2 =G] K f , |
(4.14) |
G3 =Gr ( l - K f) . |
(4.15) |
Далее алгоритм расчета не отличается от алгоритма ПЕРВОГО спосо ба расчета, приведенного выше.
Модуль теплообменника
В отличие от модулей смесителя и делителя, модуль теплообменника не является столь простым, т.к. при изменении температуры потоков воз можно изменение их фазового состояния, а следовательно, при расчете не обходимо учитывать такие изменения. В связи с этим, например, только для систем газ - газ, жидкость - жидкость и газ - жидкость различают сле дующие виды теплообменников:
1)теплообменник газ - газ или жидкость - жидкость без фазовых пе реходов (нагреватели и холодильники);
2)теплообменник газ - газ или жидкость - жидкость с фазовым пе
реходом (для системы газ - газ он называется конденсатор, а для системы жидкость - жидкость - испаритель, также существует более сложный ва риант, когда тепло от конденсирующегося газа используется для испаре ния жидкости).
Кроме того, т.к. на процесс расчета теплообменника оказывает влия ние его конструкция, то для каждого указанного выше типа теплообменни ков различают следующие модели:
1) противоточный («холодный» и «горячий» агенты идут навстречу друг другу, т.е. противотоком);
2)прямоточный («холодный» и «горячий» агенты идут параллельно, т.е. прямотоком);
3)перекрестно-точный (промежуточный вариант между указанными
выше);
4)одноходовой или многоходовой теплообменники (в многоходовых теплообменниках часть труб работает в режиме противотока, а часть - в режиме прямотока, или в многоходовом перекрестно-точном теплообмен нике жидкость или газ по трубам может двигаться по ходу или против хода потока в межтрубном пространстве);
5)варианты, когда один из агентов (или оба агента) движется за счет естественной конвекции, которые по интенсивности перемешивания пото ка за счет естественной конвекции в свою очередь делятся на горизонталь ные и вертикальные;
6)теплообменники смешения («холодный» и «горячий» агенты не посредственно контактируют друг с другом, например, в аппарате с насад кой).
И, наконец, по режиму работы теплообменники делятся на периоди ческие и непрерывные.
Следует отметить, что согласно исходной задаче для модуля ХТС требуется рассчитать параметры выходных потоков при известных па раметрах входных потоков и параметрах элемента ХТС (в случае тепло обменника при известной площади теплообмена и коэффициенте тепло передачи), что соответствует проверочному расчету теплообменника. Однако иногда возникает необходимость рассчитать размеры теплооб менника, входящего в ХТС. В таком случае необходимо использовать проектный расчет теплообменника.
Вкачестве примера рассмотрим проверочный расчет теплообменникаподогревателя для системы газ - газ, жидкость - жидкость или газ - жидкость с учетом следующих допущений:
1. Используется одноходовой кожухотрубный теплообменник в ста ционарном режиме.
2. Теплопередача не сопровождается изменением агрегатного состоя
ния.