Математическая обработка результатов эксперимента
..pdfm |
m |
m |
m |
|
|
∑yi −a0m−a1 ∑xi1 −...−a j ∑xij −...−an ∑xin =0; |
|
|
|||
i=1 |
i=1 |
i=1 |
i=1 |
|
|
m |
m |
m |
m |
m |
|
∑yi xi1 −a0 |
∑xi1 −a1 ∑xi1xi1 −...−a j ∑xij xi1 −...−an ∑xin xi1 =0; |
|
|||
i=1 |
i=1 |
i=1 |
i=1 |
i=1 |
|
m |
m |
m |
m |
m |
|
∑yi xi2 −a0 ∑xi2 −a1 ∑xi1xi2 −...−a j ∑xij xi2 −...−an ∑xin xi2 =0; |
|
||||
|
i=1 |
i=1 |
i=1 |
i=1 |
(5.5) |
i=1 |
|||||
............................................................................................................ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
m |
m |
m |
m |
m |
|
∑yi xij −a0 |
∑xij −a1 |
∑xi1xij −...−a j ∑xij xij −...−an ∑xin xij =0; |
|
||
i=1 |
i=1 |
i=1 |
i=1 |
i=1 |
|
............................................................................................................ |
|
||||
|
m |
m |
m |
m |
|
m |
|
||||
∑yi xin −a0 |
∑xin −a1 ∑xi1xin −...−a j ∑xij xin −...−an ∑xin xin =0. |
|
|||
i=1 |
i=1 |
i=1 |
i=1 |
i=1 |
|
Решив систему (5.5), получаем искомые значения коэффициентов a0, a1, …, an и подставляем их в уравнение регрессии (5.4).
После того, как формально уравнение регрессии построено, требуется дать ответ на самый важный вопрос: насколько можно ему доверять?
Уравнением регрессии нельзя пользоваться до тех пор, пока не будут выполнены три процедуры:
1)проверка значимости коэффициентов линейного уравнения множественной регрессии;
2)проверка значимости линейного уравнения множественной регрессии в целом;
3)оценка точности линейного уравнения множественной рег-
рессии.
5.2.1. Проверка значимости коэффициентов линейного уравнения множественной регрессии
Проверка значимости отдельных коэффициентов уравнения (5.4) означает, что если коэффициент при некоторой переменной незначим, то доверять влиянию этой переменной на значения результи-
71
рующей функции y нельзя. Незначимый коэффициент следует положить равным нулю, т.е. соответствующую переменную следует исключить из дальнейшего рассмотрения.
Для проверки значимости каждого из коэффициентов a0, a1, …, an используется t-статистика Стьюдента, опытное значение которой вычисляется по формуле:
|
|
оп |
|
ai |
, (i |
= 0,1, ..., n), |
|
|
|||||||
|
|
tai |
= |
|
|
(5.6) |
|||||||||
|
|
mai |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где ai – коэффициент при переменной xi, |
mai – среднеквадратическая |
||||||||||||||
ошибка этого коэффициента, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ma |
|
= |
σy |
1−Ryx2 1...xn |
|
|
1 |
, |
(5.7) |
||||||
i |
σx |
i |
1−Rx2 x |
...x |
n |
m−n−1 |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
1 |
|
|
|
|
где σy – среднее квадратичное отклонение для значений переменной y; σxi – среднее квадратичное отклонение для значений xi; Ryx2 1...xn – коэффициент множественной детерминации [18] для уравнения рег-
рессии в целом; Rx2 x ...x |
– коэффициент множественной детермина- |
i 1 |
n |
ции, характеризующий зависимость между фактором xi и остальными факторами (x1, x2, …, xi-1, xi+1, …, xn) уравнения регрессии.
Каждое из опытных значений статистики taоп сравнивают с кри-
i
тическим значением taкр =t(α;k) (i = 1, 2, …, n), которое ищется по
i
таблице распределения Стьюдента при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы k, равном k = m − n − 1. Тогда, если
a> taкр , то гипотеза о значимости коэффициента ai не отвергается,
ii
исоответствующая переменная xi остается в уравнении. В противном случае коэффициент ai считается незначимым и соответствующую ему переменную следует исключить из уравнения регрессии.
72
5.2.2. Проверка значимости линейного уравнения множественной регрессии в целом
Необходимо также проверить значимость уравнения в целом. Если окажется, что при заданном уровне значимости α уравнение незначимо, то пользоваться им нельзя, а найденной зависимостью следует пренебречь.
Для проверки значимости уравнения регрессии в целом используют опытную F-статистику Фишера:
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
∑[ f (xi1,xi2 |
,...,xin )−y]2 |
|
(m−n−1) |
|
|
F |
= |
i=1 |
|
|
, |
(5.8) |
|
|
|
|
|||||
оп |
m |
|
|
n |
|
||
|
|
∑[ yi − f (xi1,xi2 ,...,xin )]2 |
|
|
|
|
i=1
где m – объем выборки; n – число переменных в уравнении множественной регрессии; f(xi1, xi2, …, xin) – i-е расчетное значение переменнойy; y – среднее опытных значений случайной величины Y.
Полученное опытное значение Fоп критерия Фишера сравнивается с критическим (табличным) значением Fкр = F(α;k1;k2). Уровень значимости α снова выбирается исследователем. На этот раз число степеней свободы k1 = m − n − 1, а число k2 = n.
Если Fоп < Fкр, то следует сделать вывод о том, что с вероятностью α уравнение в целом незначимо, и, следовательно, им нельзя пользоваться как основанием для принятия решений.
В противном случае, если выполняется неравенство
Fоп > Fкр,
то с вероятностью α мы поступим неверно, если отвергнем гипотезу
означимости уравнения регрессии (5.4) в целом. Так как гипотеза
означимости уравнения не отвергается, мы получаем определенные основания доверять построенному уравнению регрессии.
73
5.2.3. Оценка точности линейного уравнения множественной регрессии
Заключительная статистическая процедура – оценка точности построенного уравнения регрессии.
Оценка близости опытных значений yi случайной величины Y и ее расчетных значений f(xi), получаемых с помощью уравнения (5.4) линейной регрессии, выполняется с помощью среднеквадратической погрешности σ по следующей формуле:
σ= |
1 |
m |
|
|
2 |
. |
(5.9) |
m−1 |
|
|
|||||
∑ yi −(a0 |
+a1xi1 +...+a j xij +...+an xin ) |
|
|||||
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
В случае парной регрессионной зависимости эту оценку можно проиллюстрировать графически (рис. 5.1).
Рис. 5.1. Оценка точности линейного уравнения парной регрессии:
– опытные точки с координатами (xi;yi);
– расчетные точки с координатами (xi;f(xi))
Строим на плоскости xy график регрессионной функции y = ax + b и наносим на плоскость xy точки с координатами (xi;yi), определяемые опытными значениями xi и yi (i = 1, 2, …, m) случайных величин X и Y. На построенной прямой отмечаем также расчетные точки с координатами (xi;f(xi)).
74
Контрольные вопросы
1.Что такое корреляционно-регрессионный анализ?
2.Что такое парная регрессия?
3.В чем состоит метод наименьших квадратов?
4.Запишите систему уравнений для нахождения коэффициентов парной линейной регрессии.
5.Приведите примеры линеаризуемых нелинейных зависимостей. В каждом примере укажите ту замену переменной, с помощью которой каждую их этих нелинейных зависимостей можно свести к линейной.
6.Что такое множественная регрессия?
7.Зачем нужно проверять значимость коэффициентов регрессии? Как это сделать?
8. Как и зачем проверяется значимость уравнения регрессии
вцелом?
9.Как оценить точность уравнения регрессии? Поясните с помощью графика на рис. 5.1, как подсчитать сумму квадратов откло-
m
нений θ(a,b) = ∑[yi −(axi +b)]2 .
i=1
75
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Основной
1.Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика в задачах и упражнениях. – М.: ЮНИТИ, 2001. – 270 с.
2.Ашмарин И.П., Васильев Н.Н., Амбросов В.А. Быстрые методы статистической обработки и планирования эксперимента. – Л.:
Изд-во ЛГУ, 1971. – 78 с.
3.Каримов Р.Н. Обработка экспериментальной информации. – Саратов: Изд-во СарГУ, 2001. – Ч.4. – 103 с.
4.Колесниченко В.И. Обработка и представление результатов эксперимента / Перм. гос. техн. ун-т. – Пермь, 2000. – 74 с.
5.Маркин Н.С. Основы теории обработки результатов измерений. – М.: Изд-во стандартов, 1991. – 173 с.
6.Постников В.С., Белова С.А. Эмпирическое моделирование. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2007. – 47 с.
Дополнительной
7.Бердышев О.В. Методы статистического анализа: практ. руководство по дисциплине «Математическая статистика» / Перм. обл. ин-т повышения квалификации работников образования. – Пермь, 2005. – 36 с.
8.Борисов А.И., Алексеев А.В. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений. – М.: Радио и связь, 1989. – 124 с.
9. Винарский М.С., Лурье М.В. Планирование эксперимента
втехнологических исследованиях. – Киев: Технiка, 1975. – 168 с.
10.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие. – М.: Высшее образование, 2007. – 479 с.
11.Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие. – М.: Высшая школа, 1982. – 256 с.
76
12.Лялькина Г.Б. Надежность технических систем и техногенный риск. Ч.1. Надежность технических систем: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2011. – 90 с.
13.Лялькина Г.Б. Математические основы теории принятия решений: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн.
ун-та, 2012. – 90 с.
14.Острейковский В.А. Теория надежности: учеб. для вузов. – М.: Высшая школа, 2003. – 463 с.
15.Первичная обработка одномерной статистической совокупности / сост. В.П. Карандашов, В.Н. Кетиков, И.Ф. Саврасов; Перм. политехн. ин-т. – Пермь, 1979. – 28 с.
16.Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 496 с.
17.Саутин С.Н. Планирование эксперимента в химии и химической технологии. – Л.: Химия, 1975. – 48 с.
18.Эконометрика: учеб. / под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 344 с.
77
Учебное издание
ЛЯЛЬКИНА Галина Борисовна, БЕРДЫШЕВ Олег Вячеславович
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА
Учебное пособие
Редактор и корректор Е.В. Копытина
Подписано в печать 15.05.13. Формат 60×90/16. Усл. печ. л. 5,0. Тираж 100 экз. Заказ № 105/2013.
Издательство Пермского национального исследовательского
политехнического университета.
Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, к. 113.
Тел. (342) 219-80-33.