Решение геометрических и физических задач с помощью определенного ин
..pdfВариант 29
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:
y = x2 + x; y = x +1.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:
x = |
|
|
3t |
; |
y = |
3t2 |
. |
|
1 |
+t3 |
1+t3 |
||||||
|
|
|
|
3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярных координатах уравнением
ρ= 2 +cos ϕ.
4.Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением
y = ln |
( |
x |
2 |
) |
1 ≤ x ≤ 2. |
|
|
+1 ; |
5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически: x =5(sin t −t cost); y =5(cost −t sin t); 0 ≤t ≤ 2π.
6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением
3ϕ= r + |
1 |
; |
1 ≤ r ≤ 2. |
|
r |
|
|
51
7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:
4x2 +9 y2 −36z2 =36; z = 0; z =3.
8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:
y2 = x −2; y = x3; y = 0; y =1.
9.Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох петли кривой 9x2 = x(3 − x)2.
10.Найти центр тяжести тела, образованного вращением во-
круг оси Оу фигуры, ограниченной гиперболой x2 − y2 =1 и пря- 1 1
мыми y = 0 и y =1.
11. Треугольная пластинка, основание которой a, а высота h, вращается вокруг основания с постоянной угловой скоростью ω. Найти кинетическую энергию пластинки, если толщина ее равна d, а плотность материала, из которого она изготовлена, равна γ. Кинетическая энергия тела вращения вокруг неподвижной оси равна 0,5Jω2 , где ω – угловая скорость, а J – момент инерции относительно оси вращения.
Вариант 30
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, заданных в прямоугольных координатах:
y = x2 −4; x − y +2 = 0.
52
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими параметрическими уравнениями:
x =3(2cost −cos 2t); y =3(2sin t −sin 2t).
3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярных координатах уравнением
ρ=3(1+cos ϕ).
4.Вычислить длину дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах уравнением
y = −e−x ; ln 3 ≤ x ≤ ln 8.
5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:
x =sin3 t; y =cos3 t; 0 ≤t ≤ π.
6.Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением
ρ=sec ϕ; 0 ≤ϕ≤ π4 .
7.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями, заданными уравнениями:
x2 |
+ y2 − z2 =1; z = 0; z =3. |
|
4 |
||
|
8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох областей, ограниченных графиками заданных функций:
y = x3; y = x2.
53
9.Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох петли кривой 8y2 = x2 −4x4.
10.Найти центр тяжести плоского тела, ограниченного лежащей в первом квадранте четвертью эллипса, заданного уравнением
x2 + y2 =1. 22 32
11. Идеальный газ, заключенный в цилиндрический сосуд, закрытый подвижным поршнем, расширяясь, увеличивается в объеме, передвигая при этом поршень. Найти работу, совершаемую силой давления газа, если объем увеличивается от ν0 до ν1, а темпе-
ратура не изменяется.
54
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.Высшая математика в упражнениях и задачах с решениями: учеб. пособие для вузов: в 2 ч. / П.Е. Данко [и др.]. – 6-е изд. – М.: Оникс: Мир и Образование, 2006. – Ч. 1. – 304 с.
2.Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов: учеб. пособие для втузов / Г.С. Бараненков [и др.]; под ред. Б.П. Демидовича. – М.: Астрель: АСТ, 2010. – 495 с.
3.Шипачев В.С. Высшая математика: учеб. для вузов. – 9-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2008. – 479 с.
4.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие. – 22-е изд., перераб. – СПб.: Профессия, 2001. – 432 с.
5.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие для втузов: в 2 т. – М.: Интеграл-Пресс, 2010. – Т. 1. – 415 с.
6.Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика: учеб. пособие для вузов. – 3-е изд., испр. – М.: Физмат-
лит, 2006. – 368 с.
55
ПРИЛОЖЕНИЕ
Вариант решения контрольных заданий
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y = 2 − x2 и кривой y3 = x2 (рис. 1).
Рис. 1
Решение.
Решая совместно систему уравнений
|
у = 2 − х |
2 |
, |
|
|
||
|
у3 = х2 , |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
находим пределы интегрирования: |
|
|
|
а = х1 = −1, b = х2 =1. |
|||
Вычисляем площадь: |
|
|
|
|
b |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
x |
3 |
|
3x |
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||
S = |
f |
|
( x) − f |
( x) dx = |
∫ |
2 |
− x2 |
− x3 dx = |
2x − |
|
− |
|
|
|
|
= |
||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∫ |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
а |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=2 − 13 − 53 − −2 + 13 + 53 = 2152 .
2.Найти площадь эллипса, используя его параметрические
уравнения (рис. 2): х = 4cos t, y =6sin t.
Рис. 2
Решение.
Ввиду симметрии достаточно вычислить площадь одной чет-
верти, |
а |
затем |
|
учетверить |
|
результат. |
Полагая |
в уравнении |
|||||||
х = 4cos t сначала |
|
х = 0, |
а затем х = 4, |
получим пределы интегри- |
|||||||||||
рования: t |
= π и t |
2 |
= 0. |
Отсюда: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
1 S |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
= ∫ y (t ) x′(t )dt = ∫ 6sin t 4(−sin t)dt = 24∫ sin2 tdt = |
|||||||||||||||
4 |
t1 |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
2 |
1−cos 2t |
|
|
|
1 |
|
=12 |
π |
− |
1 |
|
|
|||
= 24∫ |
|
2 |
dt =12 t − |
2 |
sin 2t |
2 |
|
2 |
sin π−0 = 6π, |
||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
S = 6π 4 = 24π.
57
3. Найти площадь фигуры, заключенной внутри лемнискаты Бернулли ρ2 = a2 cos 2ϕ (рис. 3).
Рис. 3
Решение.
В силу симметрии кривой определяем сначала одну четверть искомой площади. Найдем пределы интегрирования по ϕ. При
ρ = а ϕ = 0; при ρ = 0 |
ϕ |
2 |
= π. Отсюда: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ2 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
1 S = |
1 |
(ϕ)dϕ= |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 sin 2ϕ |
= |
|||||
∫ ρ2 |
∫ a2 cos 2ϕdϕ= a |
|
4 |
||||||||||||||||
4 |
2 |
ϕ1 |
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
= |
a2 |
|
|
|
π |
−sin 0 |
|
а2 |
, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
4 |
sin |
2 |
= |
4 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
S = 4 |
a2 |
= a2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4. Найти длину астроиды x3 + y 3 |
= a3 в прямоугольных коор- |
динатах (рис. 4).
58
Рис. 4
Решение.
Дифференцируя уравнение астроиды, получим:
|
|
− |
1 |
1 |
|
2 |
|
||
y′= |
x |
|
3 |
= − |
x3 |
, |
( y′)2 = |
y 3 |
. |
|
− |
1 |
1 |
2 |
|||||
|
y |
3 |
|
y3 |
|
|
x3 |
||
|
|
|
|
|
Поэтому для длины одной четверти астроиды имеем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
a |
|
|
2 |
|
a |
|
|
y 3 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a3 |
− x |
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
l |
= ∫ 1+( y′) |
dx = ∫ |
1+ |
|
|
dx = ∫ 1+ |
dx |
= |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
( |
|
2 |
|
|
) |
|
|
|
a |
|
x3 |
+a3 − x3 |
|
a |
a3 |
|
|
3 |
|
|
|
a |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||
= ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
= ∫ |
1 |
dx = |
|
a |
|
x |
|
|
= |
|
a |
|
|
a |
|
−0 |
|
= |
|
a. |
|||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
x3 |
|
|
|
0 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 a = 6a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда длина всей астроиды l = 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Найти длину дуги кривой, заданной параметрически: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x = cos5 t, |
y =sin5 t, в пределах от t |
= 0 до t |
2 |
= π. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
59 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
Найдем производные по параметру t: x′(t ) = −5cos4 t sin t, y′(t ) =5sin4 t cost.
Отсюда:
t2 |
|
π |
|
(x′(t ))2 |
2 |
(−5cos4 t sin t )2 +(5sin4 t cos t )2 dt = |
|
l = ∫ |
+( y′(t ))2 dt = ∫ |
||
t1 |
|
0 |
|
π
2
=5∫ cos t sin t sin6 t +cos6 tdt.
0
Преобразуем выражение под корнем:
sin6 t +cos6 t =(1−cos2 t )3 +cos6 t =
=1−3cos2 t +3cos4 t −cos6 t +cos6 t =
=1−3cos2 t +3cos4 t =1+3cos2 t (cos2 t −1) =
=1−3cos2 t sin2 t =1− 34 sin2 2t =
=1− 34 (1−cos2 2t ) = 14 + 34 cos2 2t.
Получим:
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
l = |
5 |
2 |
|
1 |
+ |
3 cos2 |
|
= − |
5 |
2 |
+3cos2 2td (cos 2t ) = |
||||||
|
∫ sin 2t |
2tdt |
∫ 1 |
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
0 |
|
4 |
|
4 |
|
|
8 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
|
|
cos 2t |
1+3cos2 2t + |
1 ln ( |
3 cos 2t + |
1+3cos2 |
2t ) |
|
2 = |
|||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
8 3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|