Ряды (110
..pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
РЯДЫ
Учебно-методическое пособие для вузов
Составители: Ф.В. Голованёва, Е.В. Петрова
Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета
2011
Утверждено научно-методическим советом математического факультета 17 февраля 2011 г., протокол № 0500-02
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. С.П. Зубова
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета Воронежского госуниверситета.
Рекомендуется для студентов 1–2-го курсов очной формы обучения химического факультета.
Для специальностей: 020101 – Химия; 020900 – Химия, физика и механика материалов
1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Определение. Пусть дана числовая последовательность a1, a2 , a3 , …, an , … Выражение вида
∞ |
|
a1 + a2 + a3 +…+ an +…= ∑an |
(1) |
n=1
называется числовым рядом.
Определение. Числа a1, a2 , a3 ,…, an ,… называют членами ряда, an –
общим членом ряда.
Определение. Суммы конечного числа первых членов ряда
S1 = a1, S2 = a1 + a2 , S3 = a1 + a2 + a3 , …, Sn = a1 + a2 + a3 +…+ an ,…
называют частичными суммами ряда (1). Sn – n -ая частичная сумма. Частичные суммы ряда образуют числовую последовательность час-
тичных сумм {Sn}∞n=1 .
Определение. Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится к какому-нибудь конечному числу S, которое называется суммой ряда (1). Символически это записывается так:
∞
S = a1 + a2 + a3 +…+ an +… или S = ∑an. Другими словами, ряд (1) сходит-
n=1
ся, если существует и конечен lim Sn = S.
n→∞
Определение. Ряд (1) называется расходящимся, если lim Sn не суще-
n→∞
ствует или lim Sn = ∞.
n→∞
Такой ряд не имеет суммы.
Рассмотрим некоторые свойства числовых рядов.
Свойство 1. Если сходится ряд a1 + a2 + a3 +…, то сходится и ряд am+1 + am+2 + am+3 +…, получаемый из данного ряда отбрасыванием первых
|
∞ |
|
|
m членов. Ряд ∑ an называется m -м остатком ряда (1). |
|
||
|
n=m+1 |
|
|
Свойство 2. Если сходится ряд (1) и суммой его является число S, то |
|||
|
∞ |
|
|
сходится и ряд ∑uan , где u – произвольное число, причем сумма послед- |
|||
|
n=1 |
|
|
него ряда равна uS. |
u1 +u2 +u3 +… и v1 +v2 +v3 +…, |
||
Свойство 3. Если сходятся ряды |
|||
имеющие |
соответственно суммы S1 |
и S2 , то сходится и |
ряд |
(u1 ±v1 )+ |
(u2 ±v2 )+(u3 ± v3 )+…, причем |
сумма последнего ряда |
равна |
S1 ± S2 .
3
Необходимый признак сходимости числовых рядов
∞
Теорема. Если ряд ∑an сходится, то его общий член an
n=1
нулю, т. е. lim an = 0.
n→∞
Следствие (достаточное условие расходимости ряда).
|
∞ |
Если lim an ≠ 0 или этот предел не существует, то ряд ∑an |
|
n→∞ |
n=1 |
|
стремится к
расходится.
Определение. Ряды с неотрицательными членами называются знакоположительными.
Замечание. Знакоотрицательные ряды ( an ≤ 0 (n N )) переходят в знакоположительные, если их умножить на (−1), что, согласно свойству 2,
не влияет на сходимость ряда. Гармонический ряд расходится.
Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов Первый признак сравнения. Пусть даны два знакоположительных
ряда
∞ |
|
∑un |
(2) |
n=1 |
|
и |
|
∞ |
|
∑vn . |
(3) |
n=1
Кроме того, каждый член ряда (2) не превосходит соответствующий ему член из ряда (3), т. е. un ≤ vn (n N ). Тогда: если сходится ряд (3), то
сходится и ряд (2); если расходится ряд (2), то расходится и ряд (3). Замечание. Этот признак остается в силе, если неравенство un ≤ vn
выполняется не при всех n N , а лишь начиная с некоторого номера n = n0
(согласно свойству 1).
Второй признак сравнения. Пусть даны ряды (2) и (3). Если сущест-
вует конечный и отличный от нуля предел lim |
|
|
= k |
(k ≠ 0, k < ∞), то |
un |
||||
n→∞ |
|
v |
|
|
|
n |
|
|
|
оба ряда (2) и (3) одновременно сходятся или одновременно расходятся. |
||||
Признак Коши. Пусть дан ряд (2) (un ≥ 0 |
|
(n N )). Если сущест- |
вует lim n un =C , то этот ряд сходится при C <1 и расходится при C >1.
n→∞
Замечание. Если C =1, то ряд (2) может быть как сходящимся, так и расходящимся.
4
Признак Д’Аламбера. Пусть дан ряд (2) (un ≥ 0 (n N )). Если су-
ществует lim |
|
|
и расходится при D >1. |
un+1 |
= D , то ряд сходится при D <1 |
||
n→∞ |
un |
|
|
Замечание. Если D =1, то ряд (2) может быть как сходящимся, так и |
|||
расходящимся. |
|
|
|
Интегральный признак. Если f (x) при x ≥1 – непрерывная, поло- |
|||
жительная и монотонно убывающая функция и |
f (n)=un (n N ), то |
∞
знакоположительный ряд ∑un сходится или расходится в зависимости от
n=1
того, сходится или расходится интеграл ∞∫ f (x)dx (N ≥1).
N
Знакочередующиеся ряды
Рассмотрим ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, т. е.
∞
ряды вида ∑(−1)n−1 un =u1 −u2 +u3 −u4 +... +(−1)n−1 un +..., где un > 0
n=1
n N.
Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбни-
ца). Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его чле-
нов представляют собой монотонно убывающую последовательность, а общий член un стремится к нулю, т. е. если выполняются следующие два усло-
вия: 1) u1 >u2 >u3 >…>un >… и 2) limun = 0.
n→∞
Возьмем n -ю частичную сумму сходящегося знакочередующегося
ряда, для которого выполняется признак Лейбница:
Sn =u1 −u2 +u3 −u4 +... +(−1)n−1 un .
Пусть Rn −n -й остаток ряда. Его можно записать как разность между
суммой ряда S и n -й частичной суммой Sn , т. е. Rn = S − Sn . Нетрудно видеть, что
Rn =(−1)n (un+1 −un+2 +un+3 −un+4 +...).
Величина Rn оценивается с помощью неравенства Rn <un+1 . А сумма
∞
ряда S = ∑(−1)n−1 un удовлетворяет неравенствам 0 < S <u1 .
n=1
Остановимся теперь на некоторых свойствах знакопеременных рядов
(т. е. рядов, содержащих бесконечно много и отрицательных, и положи-
тельных членов).
Знакопеременный ряд u1 +u2 +u3 +... +un +... сходится, если сходится ряд u1 + u2 + u3 +... + un +...
5
∞
В этом случае исходный ряд ∑un называется абсолютно сходящимся.
n=1
∞
Сходящийся ряд ∑un называется условно сходящимся, если ряд
n=1
∞
∑ un расходится.
n=1
∞
Если ряд ∑un абсолютно сходится, то ряд, полученный из него после
n=1
любой перестановки его членов, абсолютно сходится и имеет ту же сумму,
что и первоначальный ряд.
∞
Если ряд ∑un условно сходится, то при перестановке бесконечного
n=1
множества его членов сумма ряда может измениться. В частности, при соответствующей перестановке членов условно сходящегося ряда можно пре-
вратить его в расходящийся ряд.
Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S1 и S2 можно почленно складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся
ряд, сумма которого S = S1 + S2 (S = S1 − S2 ). |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Если ряды u1 +u2 +u3 +... +un +... |
|
и |
|
|
v1 +v2 +v3 +... +vn +... |
сходятся |
||||||||||
абсолютно и имеют соответственно суммы S1 и S2 , то сходится абсолютно |
||||||||||||||||
и ряд u1v1 +(u1v2 +v1u2 )+(u1v3 +u2v2 +u3v1 )+... +(u1vn +u2vn−1 +... +unv1 )+... |
||||||||||||||||
Этот ряд называется произведением двух абсолютно сходящихся ря- |
||||||||||||||||
дов с суммами S1 и S2. Он абсолютно сходится, и его сумма равна S1S2 . |
||||||||||||||||
Пример 1. Дан общий член ряда u |
n |
= |
|
|
n |
|
. Написать первые четыре |
|||||||||
10n +1 |
||||||||||||||||
члена ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
Если n =1, то u = |
; если n = 2, то u |
2 |
= |
|
; если n =3 , то u = |
; |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
11 |
|
|
|
101 |
3 |
1001 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
если n = 4, то u4 =100014 ; … Ряд можно записать в виде
111 +1012 +10013 +100014 +...
Пример 2. Найти общий член ряда 12 + 232 + 253 + 274 +...
Решение.
Числители образуют арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7, …; n -й член прогрессии находим по формуле an = a1 + d (n −1). Здесь a1 =1, d = 2 ,
6
поэтому |
an = 2n −1. Знаменатели образуют |
геометрическую прогрессию |
||||
2, 22 , |
23, |
|
...; n -й член этой прогрессии b |
= 2n . Следовательно, общий |
||
|
|
|
|
2n −1 |
n |
|
член ряда u |
n |
= |
. |
|
||
|
|
|||||
|
|
|
2n |
|
Вообще нужно иметь в виду, что несколько первых членов ряда полностью ряд не определяют.
Пример 3. Исследовать сходимость ряда
2 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
1 n−1 |
|||
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
|
+... + |
|
|
|
+... |
|
3 |
3 |
6 |
12 |
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
Решение.
Данный ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометриче-
ской прогрессии и поэтому сходится. Найдем его сумму. Здесь b1 = 23 , q = 12
(знаменатель прогрессии). Следовательно,
S =1−b1q =1−2132 = 43 .
∞ |
1 |
|
|
Пример 4. Исследовать сходимость ряда ∑ |
, α (обобщенный |
||
α |
|||
n=1 |
n |
гармонический ряд).
Решение.
Воспользуемся интегральным признаком сходимости знакоположительных рядов.
Исследуем на сходимость несобственный интеграл.
+∞ 1 |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
ln |
|
x |
|
|
|
b , |
еслиα =1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx = lim |
|
|
dx = lim |
−α+1 |
|
|
|
|
= |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
α |
|
α |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∫1 |
|
x |
|
|
|
|
b→+∞ ∫1 |
x |
|
|
b→+∞ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
, еслиα ≠1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −α |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
+∞, |
|
еслиα =1 |
|
+∞, |
|
|
|
|
|
еслиα ≤1 |
|||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
если1−α > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
+∞, |
|
|
= 1 |
|
|
|
, |
|
|
еслиα >1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, |
если1−α < 0 |
α |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
α −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак: ∫1 |
|
dx сходится, если α >1; расходится, если α ≤1. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
xα |
||||||||||||||||||||||||||||
Согласно интегральному признаку сходимости, знакоположительный |
|||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ряд ∑ |
|
|
(α |
) сходится при α >1 и расходится при α ≤1. |
|||||||||||||||||||||||||
|
α |
|
|||||||||||||||||||||||||||
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
∞ |
|
имеет специальное название – |
Если α =1, расходящийся ряд ∑1 |
||
n=1 |
n |
|
гармонический.
Пример 5. Исследовать сходимость ряда
0,6 + 0,51 + 0,501 +... + 0,5 +(0,1)n +...
Решение.
Здесь lim un =0,5 ≠ 0 и ряд расходится.
n→∞
|
|
|
Пример 6. Исследовать сходимость ряда 1 + |
1 |
+ 1 +... + |
|
1 |
|
+... |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
5 |
|
3n −1 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
8 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравним |
ряд |
с расходящимся |
гармоническим рядом, у которого |
||||||||||||||||||
v |
= |
1 |
: lim un = lim |
|
n |
|
|
= 1 . Следовательно, исходный ряд расходится (по |
||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n |
|
n→∞ v |
n→∞ 3n −1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
признаку сравнения). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Пример 7. Исследовать сходимость ряда |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 2 |
|
3 3 |
n |
+... . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
3 |
+ |
|
|
|
+ |
+ |
... + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
5 |
|
7 |
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
Здесь удобно применить признак Коши, |
поскольку |
n un = |
, а |
||||||||||||||||||
|
|
|
2n +1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
предел последней дроби находится просто:
un+1 un
|
|
|
|
|
|
|
C = lim n |
un |
= lim |
|
n |
|
|
= lim |
|
1 |
|
|
= 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
n→∞ |
2n +1 |
n→∞ 2 + 1n |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Так как C = |
1 <1, то данный ряд сходится (по признаку Коши). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Пример 8. Исследовать сходимость ряда |
+ |
2 |
+ |
|
2 |
+... |
+ |
|
2 |
+... |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
10 |
10 |
|
10 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
2n+1 |
|
||||||||
|
Применим |
признак |
Д’Аламбера; |
имеем |
|
u |
|
= |
|
, |
u |
|
|
= |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
n10 |
n+1 |
(n + |
1)10 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
|
|
2n10 |
|
; значит, |
D = lim |
|
2n10 |
|
= lim |
|
|
2 |
|
|
|
= 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
( |
) |
|
(n |
+ |
1) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
n +1 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
1 + |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Так как D = 2 >1, то исходный ряд расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 9. Исследовать сходимость ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
+... + |
|
+... |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2ln 2 |
3ln 3 |
|
4ln 4 |
|
(n +1)ln (n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
Применим интегральный признак Коши:
un = |
1 |
, |
f (x)= |
1 |
, |
(n +1)ln (n +1) |
(x +1)ln (x +1) |
f |
( |
x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
+∞ |
) |
. |
|
|
– непрерывна, положительна и монотонно убывает при x 1; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=∞ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
= ln ln (x +1) |
|
1∞ |
= ∞. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫1 (x +1)ln (x +1) |
|
|
∫1 ln (x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ряд. |
|
Несобственный интеграл расходится, поэтому расходится и исходный |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 10. Исследовать сходимость ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
+ |
|
3 |
|
|
− |
|
|
|
|
4 |
|
|
+... +(−1)n+1 |
|
|
|
+... |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
+1 |
|
n |
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 3 +1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Это знакочередующийся ряд. Применим признак Лейбница. Так как |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
= |
|
|
2 |
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
u |
|
= |
|
|
|
3 |
|
|
= |
1 |
|
, |
|
u |
|
|
= |
|
|
4 |
|
|
|
= |
1 |
|
, …, |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
22 +1 |
|
|
|
|
2 + |
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
32 |
+1 |
|
|
3 |
+ |
1 |
|
|
|
4 |
|
|
42 +1 |
4 + |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||
то |
1 |
> |
|
2 |
|
|
|
> |
|
3 |
|
|
> |
|
|
4 |
|
|
|
|
>... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
2 |
+1 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Следовательно, выполнено первое условие признака Лейбница. Далее, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
так |
|
как |
limu |
|
= lim |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
= lim |
|
1 |
|
|
|
= 0, |
|
то |
выполнено |
и второе |
условие. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
n→∞ n2 +1 |
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значит, данный ряд сходится по признаку Лейбница.
Пример 11. Исследовать сходимость ряда 1 −1 +1 −... +(−1)n−1 +...
Решение.
Общий член ряда не стремится к нулю, поэтому ряд расходится.
Пример 12. Исследовать сходимость ряда 1 − |
1 − |
1 |
+ |
1 |
− |
|
1 |
− |
1 |
+... |
|||||||||||
22 |
23 |
24 |
25 |
||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
Составим ряд из абсолютных величин: 1 + |
+ |
+ |
+ |
|
+ |
+... |
|||||||||||||||
2 |
22 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
23 |
|
24 |
|
25 |
|
|
|
Этот ряд есть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и, следовательно, сходится. Значит, и данный ряд сходится, причем абсолютно.
Пример 13. Найти произведение абсолютно сходящихся рядов
1 + |
|
2 |
+ |
22 |
+ |
23 |
+ |
24 |
+... + |
2n |
+... |
и 1 + |
|
3 |
+ |
32 |
+ |
33 |
+ |
34 |
+... + |
3n |
+... |
|
1! |
2! |
3! |
4! |
n! |
1! |
2! |
3! |
4! |
n! |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
Решение.
Произведение рядов есть ряд
2 |
|
3 |
|
|
|
22 |
|
2 |
|
|
3 |
|
32 |
|
23 |
|
22 |
|
3 |
|
2 |
|
|
32 |
|
33 |
|
|
||||||||
1 + |
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
1! |
2! |
1! |
1! |
2! |
3! |
2! |
1! |
1! |
2! |
3! |
|||||||||||||||||||||||||
1! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+... + |
|
2n |
+ |
2n−1 |
|
|
3 |
+ |
|
2n−2 |
|
32 |
+... |
+ |
3n |
+..., |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(n −1)! |
1! |
(n −2)! |
2! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
или 1 +1!1 (2 +3)+ |
1 |
(22 + 2 2 3 +32 ) |
+ |
1 |
(23 +3 22 3 +3 2 32 +33 )+... + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2! |
3! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
n−2 |
|
2 |
|
n |
|
|
|||
+ |
|
|
2 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 + |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
+... |
+3 |
|
+... |
|
|||||||||
|
|
|
|
(n −1)! 1! |
|
(n − 2)!2! |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Так как |
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
=Cnk |
(k =1, 2, ...), то ряд можно переписать в виде |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
(n − k )!k! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
2 +3 |
+ |
(2 + |
3)2 |
+ |
(2 |
+3)3 |
+... + |
(2 |
+3)n |
..., |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
2! |
|
|
|
|
3! |
|
|
|
n! |
+ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52 + |
53 |
|
|
|
|
|
|
|
5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
или 1 + |
|
5 |
|
+ |
|
|
+... + |
+... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1! |
3! |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задания для самостоятельного решения
Исследовать на сходимость ряд:
∞ |
|
|
2 |
n |
n |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. ∑sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n=1 |
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
|
|
|
arctg n |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
3. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||||
|
(n +1)(n + |
2) |
|
||||||||||||||||
n=1 n |
|
|
|
||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
5. ∑ n 1 |
−cos |
|
|
|
; |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|||||||
∞ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. ∑ln |
n +5 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n=1 |
|
n |
|
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9. ∑ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n=2 2 |
|
(n −1)! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
11. ∑∞ |
2n+1 (n3 +1) |
; |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∞ |
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
−n2 |
|
|
|
|||||||
13. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n=1 3 |
|
|
n + |
1 |
|
|
|
|
|
10
∞ |
|
|
|
|
|
|
2 |
n ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. ∑arctg3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n=1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. ∑ |
ln n |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n=1 |
3 n7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
6. ∑ |
|
|
|
|
|
tg |
|
|
; |
|
|
|
|
|||||
n + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
8. ∑ |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
; |
||||||||
|
n + |
4 |
n +1 |
|||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∞ |
|
4 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10. ∑ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(n!) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
|
|
3 |
n! ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
12. ∑10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n=1 |
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
n |
|
|
|
|||
14. ∑n4 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n=1 |
|
3n +5 |
|
|
|
|