Книги и конспекты / Шпоры / 1-3
.pdf1.Множества и подмножества. Булевы операции. Алгебраические законы с доказательствами.
Система элементов а1,а2,…,аn называется алгебраической, если на ней определены операции сложения и умножения, не выводящие за рамки этого множества.
S U если из x S => x U.
Множества называются равными, если S=T S T => S подмножество множества T. Аксиомы:
1.S S для любого S
2.S T, T U => S U (транзитивность)
P(U) – множество всех подмножеств множества U. Например U={a,b,c}, его подмножества:
{ },{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}.
Булева Алгебра
Бинарной операцией, заданной на множестве S - называется правило, по которому паре (a,b), где a,b S, ставится в соответствии c S.
Унарная операция – правило f, которая элементу a множества S ставит в соответствии элемент b S. f(a)=b. A B и A B – бинарные.
A - унарная операция. ( A - операция дополнения. A - Это множество все элементов, которые A )
Законы булевых операций (Для всех подмножеств множества U выполняются):
1.A B = B A A B = B A
2.S S = S
S S = S (закон идемпотентности)
3.A (B C) = (A B) C
|
A (B C) = (A B) C (закон ассоциативности) |
4. |
S (S T) = S (S T) = S (закон поглощения) |
5. |
R T R (S T ) (R S) T (модулярный закон) |
6. |
R (S T ) (R S) (R T ) |
|
R (S T ) (R S) (R T ) (Дистрибутивность) |
7.
R R
R
R U U
R U R
8.1-ый закон Де Моргана: S T S T
2-ой закон Де Моргана: S T S T
9.(S) S (двойное отрицание)
Док-во:
Докажем закон дистрибутивности. R (S T ) (R S) (R T ) .
Пусть x R (S T ) => x R и x (S T ) => ( x R и x S) или (x R и x T) => => x (R S) (R T ) .
Докажем в обратную сторону, пусть x (R S) (R T ) => (x R и x S) или (x R и x T) => => x R и (x S или x T)=> x R (S T ) ,=> (R S) (R T ) R (S T ) и
R (S T ) (R S) (R T ) => R (S T ) (R S) (R T ) .
2.Функция. Тождественная функция. Левая и правая декомпозиция. Лемма о композиции. Инъекция, сюръекция, биекция, характеристическая функция.
Пусть S,T множества. Функцией f (отображением, преобраз.) называется правило, которое любому элементу s S ставит элемент t T. Будем говорить что f является функцией из S в T и обозначается f: S->T.
Образом (образующей) Im f отображения f:S->T называется множество f(S) всех значений f(s), которое оно принимает при все s S. Образ f явл-ся подмножеством T.
Пример. S={a,b,c}, T={a,b,c,d}. f: a->a, b->c, c->d, тогда Im f = {a,c,d}.
Опр. Две функции f и g, такие что, f : s->T, g : s1->T1, равны, если: s=s1 и T=T1 f(x)=g(x), x S=S1.
Если S такое, что из 1S: S -> S => 1S (S)=S, то говорят, что 1S - тождественная функция.
Композиция двух функций: f:S->T, g:T->U.
g f - левая композиция, которая отображает множество S в мно-во U.
Условие g f (x) =g(f(x)): Множество значений f(x) входит в область определения g. f◊g = g◦f
правая левая
Лемма: (h◦g)◦f = h◦(g◦f) = f◊(g◊h) = (f◊g)◊h. f:S->T, g:T->U, h:U->K.
Док-во:
((h◦g)◦f) = f◊(g◊h) = (h◦g)(f(x)) = h(g(f(x))) = h(g◦f(x)) = (h◦(g◦f))(x)= (f◊g)◊h
Лемма: пусть 1S и 1T тождественные функции. Тогда f◦1S = 1T ◦f = f
Док-во:
1T :T->T, 1S :S->S, f:S->T. (f◦1S )(x)=f(1S (x))=f(x)
(1T ◦f)(x)= 1T (f(x))=f(x)
Функция f:S->T называется инъективной (или инъекцией), если s1 s2выполн. f (s1 ) f (s2 )
Функция g:S->T называется сюрьективной (или сюръекцией) если t T |
s S : g(s)=t, Im f =T. |
|
Функция называется биективной (или биекцией), если она и инъективна и сюръективна. |
||
Пример: n -> -n – биекция, n -> 2n – инъекция, но не сюръекция, n-> n2 |
- не то, и не то. |
|
Пусть S U, lS : U->{0,1}, такая что lS = 1 при s S, |
lS =0 при s S |
|
тогда функция lS называется характеристической функцией.
Пример: U={1,2,3}.
{0, 0, 0}
{1} -> {1,0,0} ; {2} -> {0,1,0}; {3} -> {0,0,1}; {1,2} -> {1,1,0} и.т.д.
3.Обратные функции. Две теоремы об обратимости функции. Функции из S в S.
f: S-> T, g:T->S.
Если g◦f=1S , то g – левая обратная функция функции f, а f правая обратная функция функции g.
Если f◦g=1S и f◦g=1T , то говорят что g- двусторонняя обратная функция функции f. Функция, имеющая двустороннюю образующую, называется обратимой.
Теорема. Чтобы f была обратима справа, необходимо и достаточно, чтобы она была сюръекцией. Чтобы f была обратима слева, необходимо и достаточно, что она была инъекцией.
Док-во.
Инъекция. Необходимость: Пусть f – обратимая слева, s S и f(s)=f(s1).
s=1S (s) = (g◦f)(s) = g(f(s)) = g(f(s1)) = (g◦f)(s1) = 1S (s1) = s1. Таким образом, из предположения, что f(s)=f(s1) мы
вывели, что s=s1, это означает инъективность.
Достаточность. Пусть f – инъекция. s1 S, g1: T -> S такое, что g1(t) = s, если t=f(s) для некоторого s S. g1(t) = s1, в противном случае.
(g1◦f)(s)=g1(f(s))=g1(t)=s=1S (s) ч.т.д.
Сюръекция. Необходимость. Пусть f- обратимая справа.
(f◦h)(t)= 1T ; t=1T (t) = (f◦h)(t) = f(h(t)) t T, h(s)=s S : f(s)=t
Достаточность. Пусть f – сюръективна. t=f(s), Im f = T. Фиксируем s, находим t, обозначаем s=h(t). Тогда h :T -> S, f(h(t))=f(s)=t для всех t T, т.е. f◦h=1T ч.т.д.
Следствие: если функция биективна, значит она обратима и слева, и справа. (Необходимое и достаточное условие).
Теорема. Пусть f-биекция, а g его левая обратная функция, h –правая.
Тогда g=h= f 1 |
и f 1 явл-ся биекцией => |
( f 1 ) 1 f |
||
Док-во. g = g◦1 |
= g◦(f◦h) = (g◦f)◦h =1 |
S |
◦h = h = |
f 1 ч.т.д. |
T |
|
|
|
Функции из S в S
f : S -> S
композиции f◦g и f◊g = g◦h всегда существуют.
Обе эти операции удовлетворяют закону ассоциативности: f◦(g◦h)=(f◦g)◦h, f◊(g◊h)=(f◊g)◊h для всех f,g.
При этом 1S ◦f = f◦1S =f.
Если f f= f 2 = f, то функцию f называют идемпотентной.