3 сем Крупин / отчет лаба 4 v5
.docx
Лабораторная работа №3
По математическим методам моделирования физических процессов
Горьков И.А.
ТФ-10-20
Крупин Г.В.
Вариант №19
Заполним последние два столбца таблицы.
N |
Страна |
1950 |
1960 |
1970 |
1980 |
1990 |
2000 |
2010 |
2020 |
4.1.0 |
Весь мир |
2507 |
3050 |
3700 |
4400 |
5235 |
6082 |
6922 |
7753 |
4.1.12 |
Чили |
6 |
7.5 |
9.5 |
11 |
13 |
16 |
|
|
Так как данные в таблице не совпадают с реальными, что приводит к сильной погрешности, заменим их.
4.1.12 |
Чили |
6.6 |
8.1 |
9.8 |
11.4 |
13.3 |
15.3 |
17.1 |
19.1 |
Зададим исходные данные: векторы x и y, число точек (n+1), степени многочленов (m).
Напишем подпрограмму, вычисляющую вектор а коэффициентов а0, …, аm многочлена степени m по методу наименьших квадратов.
Полином степени m в точке t вычисляем следующим образом:
Среднеквадратичное отклонение полинома степени m определяем следующим образом:
Определим среднеквадратичное отклонение многочленов степени m = 0...7.
Как видно из вектора, наилучшим приближением обладает многочлен степени 6. С помощью него определим значение численности населения в 2019 году.
Сравним полученное значение с актуальным, которое равно 18.952.
Построим график полинома 6 степени (с точками исходных данных).
Вывод: Население в Чили получилось равным 18.898, что близко к значению, взятому из интернета – 18.952.
Задача 4.2. Функция f(x) является кусочно-гладкой функцией. Приблизить функцию многочленами Лагранжа 2, 6,10 степеней. Для каждого случая построить график погрешности. Предложить и реализовать способ интерполяции, при котором величина погрешности не будет превышать величины
Погрешность:
Погрешность:
Погрешность:
Реализация квадратичного сплайна:
И збавимся от излома разделив отрезок на 2 отрезка [-1.5;0] и [0;1.5]
Для второго отрезка
Вывод: точность достигнута
Задача 4.3 Постановка задачи: зависимость между величинами x и y описывается функцией y=f(x, a, b), где a и b – неизвестные параметры. Найти эти параметры, сведя исходную задачу к линейной задаче метода наименьших квадратов.
Сведем исходную задачу к линейной задаче метода наименьших квадратов, для этого произведем замену:
Тогда уравнение будет иметь вид: .
Теперь решаем линейную задачу метода наименьших квадратов.
Выражение должно стремиться к минимуму. Взяв производные по a и b, придем к системе:
Решив данную систему, получим корни уравнения: a= 5.5; b= -1.9.
Отсюда следует:
Листинг программы:
Сравним полученную функцию с исходными данными.