Учебники 80281
.pdfE |
2 |
|
n2 2 |
2 2 |
n2 |
, n 1, 2,3,... |
|
2m |
r2 |
2mr2 |
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
Пример 3. Нормировочный коэффициент А должен быть
одинаков (по своему смыслу из формулы) для n . Найдем его при n = 1.
Решение.
Для n = 1 |
|
|
|
и из условия |
r0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 получаем |
|||||||||||
k |
|
|
|
2 |
|
4 |
r2dr |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r0 |
sin2 ( |
r / r ) |
2 |
|
|
2 |
r0 |
|
2 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A |
|
|
|
|
|
|
4 r |
dr |
4 A |
|
sin |
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
||||
|
|
r2 |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r0 |
|
|
r |
|
r |
|
|
|
1 |
|
r |
|
|
1 sin |
2 |
|
r |
|
r0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4A2r |
sin2 |
d |
4A2r |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
r |
|
r |
|
|
0 |
2 r |
|
|
4 |
|
|
r |
|
|
0 |
||||||
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||
4A2r |
1 |
1 |
|
|
2 r A2 |
|
1 |
|
|
|
|
A |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
r |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
sin kr . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
r0 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. Частица массы m находится в сферически симметричной потенциальной яме, где U(r) = 0 при r < r0, U = U0 при r ≥ r0. Найти уравнение, определяющее собственные значения энергии в s – состояниях при E < U0.
41
Решение.
Для функции уравнение Шредингера в областях 1 и 2 будет иметь вид:
1) r r : |
d2 |
|
|
|
2mE |
0 |
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
0 |
dr2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
Asin(k |
r ); k2 |
|
2mE |
; |
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2) r r : |
d2 |
2 |
|
|
2m |
(E U |
) |
|
0 |
|
||||||
dr2 |
|
2 |
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
2 |
B ek2r C e k2r; k22 |
2m |
(U0 E). |
2 |
|||
|
|
|
|
Из требования конечности функций 1 и 2 вытекает,
что:
1)при r 0 0;
2)при r B 0.
Отсюда следует
|
sink r |
|
|
e k2r0 |
||||||||
1 A |
1 |
; |
2 C |
|
|
|
. |
|||||
r |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
||||||
Проведем сшивку при |
r r0 : |
|||||||||||
(r0 ) (r0 ); |
d 1 |
|
|
|
d 2 |
|
. |
|||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|||||||||||
1 |
2 |
|
dr |
|
r r |
dr |
r r |
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
42
1) A |
sin k r |
|
|
|
|
e k2r0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k r |
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
Asin k1r |
Ce |
2 0 |
; |
|
|
|||||||||
|
|
r0 |
|
|
|
r0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) |
d |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
A |
|
|
|
|
sin k1r |
r k1 cos k1r |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
dr |
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
d |
2 |
|
|
Ce k2r0 |
|
|
|
1 |
|
|
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
dr |
|
|
|
|
|
r2 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A |
1 |
sin k r |
|
|
|
k cos k r |
|
|
Ce k2r0 |
|
1 |
k |
|
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||
r0 |
|
|
|
r0 |
|
|
1 0 |
|
|
|
1 |
|
1 |
0 |
|
|
r0 |
|
|
|
r0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ce k2r0 |
Asin k r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
sin k r |
k cos k r |
|
1 |
sin k r |
k |
|
sin k r |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
r0 |
|
|
1 0 |
|
1 |
|
|
|
1 |
0 |
|
1 0 |
|
|
|
|
1 0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
k1 cos k1 r0 |
|
k2 sin k1r0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
tg k |
r |
|
k1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
0 |
|
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание. Это уравнение типично для потенциальных ям конечной глубины, если в ходе решения не делать в том или ином месте переход к яме бесконечной глубины.
Практическое занятие № 8. Спин и тождественные частицы
Пример 1. До открытия нейтронов предполагалось, что атомы состоят из протонов и электронов. Покажите, что в та-
43
ком случае атом азота (масса ядра которого примерно в 14 раз больше массы протона) был бы бозе - частицей.
Эксперимент же показал, что атом азота является фермичастицей: «азотная катастрофа» - исторически первое свидетельство о возможности существования новой ядерной частицы с массой, близкой к протону, электрически нейтральной и имеющей спин 1/2. Как понятие нейтрона решило эту проблему?
Ответ. До открытия нейтронов считали, что ядро атома состоит из протонов и электронов. Тогда ядро атома азота (заряд +7е, масса 14 mp) – это 14 протонов и 7 электронов – 21 фермион. На атомных орбиталях еще 7 электронов. Всего 28. Результирующий спин – целочисленный: следовательно, этот атом является бозе-частицей.
Эксперимент показал, что он, в действительности, фермион. Имеем 7 электронов на орбитах, 7 протонов в ядре. Отсюда следует, что должно быть еще нечетное количество фермионов. Ядро по массе может включать еще 7 масс, близких к протонной. Допустим наличие еще 7 фермионов в ядре, каждый с массой ≈ mp, нулевым зарядом – гипотеза о нейтроне.
Пример 2. Допустим, что если спин электрона обусловлен вращением шарика с массой mе и радиуса r0 (масса и классический радиус электрона). Оценить линейную скорость вращения «поверхности» электрона. mе = 9,1∙10-31 кг; r0 = 10-15 м.
Решение. |
|
|
|
Механический момент M = Jω, где J |
2 m r2 |
- момент |
|
|
5 |
e 0 |
|
|
|
|
|
инерции, ω – угловая частота. Искомая скорость |
|
r0 , то- |
|
тогда |
|
|
|
44
M |
r |
|
|
/ 2 |
r |
5 |
5 1,05 10 34 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
J |
0 2 |
5 |
m r2 |
0 4mer0 |
4 9,1 10 31 10 15 |
|
||||||
|
|
|
e 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5, 25 |
1012 |
1, 44 1011. |
|
|
|
|
|
|
||||
36, 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Размерность |
Дж с |
|
Н м с |
Н с |
кг м с |
м . |
||||||
|
|
|
|
м кг |
|
м кг |
кг |
с2 кг |
с |
Скорость света 2,99∙108 м/с.
Пример 3. Спин - орбитальное взаимодействие включает в себя воздействие на спиновый магнитный момент электрона магнитного поля, создаваемого протоном (атом водорода) в системе отсчета, связанной с электроном.
Оценить для основного состояния атома волорода дополнительную энергию ∆Е, возникающую при учете спин – орбитального взаимодействия.
Решение.
В системе электрона протон движется по круговой орбите радиуса r со скоростью , создавая при этом магнитное по-
ле H e / cr2 . В магнитном поле электрон приобретает дополнительную энергию E Pms H , где Pms - спиновый
магнитный момент электрона, который может быть ориентирован по полю Н или против него.
|
Для оценки величин |
знак несущественен. |
Pms есть |
|||||
|
e / 2mec |
- магнетон Бора. |
Тогда |
E Б |
e |
. |
Примем, |
|
Б |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
cr |
|
|
что |
электрон |
находится |
на |
первом |
боровском |
радиусе |
45
r |
2 / m e2 , скорость на первой боровской орбите |
1 |
e2 / . |
||||||||||||||||||||
a |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
e (e2 / ) |
|
|
e2 2 m e4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m c c ( 4 / m2e4 ) |
c |
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
RJ |
|
|
13,6 эВ |
0,7 10 3 эВ. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
137 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Пример 4. Найти собственные функции и собственные |
||||||||||||||||||||||
значения |
операторов |
ˆ x и ˆ y , |
где |
sˆx |
|
|
ˆ x |
и sˆy |
|
|
ˆ y ; |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
||||
ˆ x |
0 |
1 |
и |
ˆ y |
|
0 |
i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
i |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Собственные |
|
значения |
|
операторов |
sˆi и ˆ i |
отличаются |
||||||||||||||||
только на |
/ 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Найдем собственные значения и функции именно для |
||||||||||||||||||||||
операторов |
ˆ x |
|
и ˆ y . Представим искомую функцию в виде |
||||||||||||||||||||
|
a , тогда для первого оператора имеем |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ x |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
a |
|
a |
|
b |
a |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
b |
|
b |
|
a |
b |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
b |
2b |
|
|
|
|
2 |
1; |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46
Подставляя 1 1, получим a = b и собственную функ-
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
цию 1 |
a |
1 |
|
. Для 2 |
1 |
имеем |
2 a |
|
1 . |
|
|
|
|||||||||||||||
Из нормировки получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
* |
|
|
a |
|
2 |
1 1 |
1 |
(1 |
1) |
|
a |
|
2 |
2 |
|
a |
|
2 |
1 |
a |
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2ei 1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пренебрегая фазовыми множителями получим |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Для второго оператора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ˆ y |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
i |
|
|
a |
|
|
a |
|
ib |
|
a |
|||||||
|
|
|
|
|
|
i |
0 |
|
|
b |
|
|
b |
|
ia |
|
b |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Из первого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
i a |
|
|
ia |
b |
|
|
b |
|
|
ia |
|
|
2b |
|
2 1; |
|
1. |
Для
для
1
2
1 получим a |
ib |
b ia |
1 a |
1 |
: |
||
i |
|||||||
1 |
получим b |
|
|
a |
1 |
|
|
|
ia |
2 |
|
i . |
|
|
47
Из нормировки получим
* |
|
|
a |
|
2 |
1 |
i |
1 |
|
|
|
(1 ( i)2 ) |
|
a |
|
2 |
2 |
|
a |
|
2 |
|
a |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
i : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример |
|
|
5. |
Доказать, |
что |
|
ˆ x |
ˆ y |
|
|
iˆ z ; ˆ y ˆ z |
iˆ x ; |
|||||||||||||||||
ˆ z ˆ x |
iˆ y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ˆ x |
|
0 1 ; ˆ y |
0 |
|
|
|
i |
; ˆ z |
|
1 0 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
0 |
|
|
i |
0 |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ˆ x |
ˆ y |
|
|
0 1 0 |
|
i |
|
|
i 0 |
|
|
|
i |
1 0 |
|
i ˆ z ; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
0 |
i |
0 |
|
|
|
0 |
i |
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||
ˆ y |
ˆ z |
|
|
0 |
i 1 0 |
|
|
0 i |
|
|
|
i |
0 1 |
|
i ˆ x ; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
0 |
0 |
1 |
|
i |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||
ˆ x |
ˆ z |
|
|
0 1 1 0 |
|
|
|
|
0 1 |
|
|
|
|
1 0 1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
48
i2 |
0 |
1 |
i |
0 |
i |
i ˆ |
y |
|
|
1 |
0 |
|
i |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 6. Доказать, что ˆ 2x |
ˆ 2y ˆ z2. |
|||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
||
ˆ 2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
; |
|
x |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||
ˆ 2 |
0 |
i |
0 |
|
i |
1 |
0 |
; |
y |
i |
0 |
i |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
||||||
ˆ 2 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 . |
|
z |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
49
2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДЛЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ ЗАНЯТИЙ
Задача 1. Закон сохранения вероятности
Вероятностная интерпретация условия нормировки * d3x 1, при которой выражение * d3x отождествляет-
ся с вероятностью обнаружить рассматриваемую частицу в
элементе объема d3x , с необходимостью приводит к закону сохранения.
Найдите этот закон и обсудите возможную интерпретацию полученного результата с точки зрения классических представлений.
Решение.
Искомый закон сохранения должен иметь вид уравнения непрерывности
divs 0,
t
где |
* |
- плотность вероятности, s – плотность тока |
|
вероятности.
Поскольку |
билинейная форма относительно * и , |
уравнение непрерывности можно получить лишь в результате комбинации двух уравнений Шредингера
*
H |
|
|
|
, H |
* |
|
|
|
i |
|
t |
|
i t |
с одним и тем же гамильтонианом
50