Учебное пособие 2049
.pdfСледующий шаг МКЭ-процедуры связан с формированием глобальной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). В алгоритмическом плане на этом этапе организуется цикл по всем конечным элементам, на каждом шаге которого строится локальная система линейных алгебраических уравнений, т.е. вычисляются матричные элементы матрицы жесткости и вектора правых частей, относящиеся к отдельному конечному элементу. Одновременно эти матричные элементы добавляются в глобальную систему, относящуюся ко всей ко- нечно-элементной сетке и задаче в целом (т.н. процесс ансамблирования).
Сформируем СЛАУ для трех конечных элементов на рис. 2.4, примыкающих к границе Г1, где задано условие= const, а также интегральное условие (2.17). Функционал для этих элементов представляется в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F = F(1) + F(2) + F(3) +Q |
|
1 |
|
, |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
где F(e) – функционал е-го элемента: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(e) |
1 |
|
i jSij(e) , |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Sij(e) |
Ni(e) N(je)d – элементы матрицы жесткости e-го |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
элемента, |
Ni(e) |
– базисная функция (функция формы) элемента |
|||||||||||||||||||||||||
e, соответствующая узлу i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
Условие |Г1= const приводит к тому, что |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = 3 = 5 *. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Теперь функционал запишется в виде |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
F |
1 |
|
S(1) *2 |
1 |
S(1) 2 |
|
1 |
S(1) *2 S(1) * S(1) *2 |
S(1) * |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
11 |
|
2 |
22 |
2 |
2 |
|
33 |
|
|
12 |
2 |
13 |
|
|
23 |
2 |
||||||||||
|
1 |
S(2) 2 |
|
1 |
S(2) *2 |
|
1 |
S(2) 2 |
S(2) * S(2) |
S(2) * |
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|
22 |
2 |
2 |
33 |
|
2 |
44 |
4 |
23 |
2 |
24 |
|
|
2 |
4 |
34 |
4 |
1S33(3) *2 1S44(3) 24 1S55(3) *2 S34(3) * 4 S35(3) *2 S45(3) * 4 Q *.
2 2 2
51
Имеем теперь три узловые переменные ( 2, 4, *) вместо первоначальных пяти ( 1, … , 5). Применяя условие минимума функции F( *, 2, 4), получим
F |
S11(1) |
S33(1) |
S33(2) S33(3) S55(3) 2S13(1) 2S35(3) |
* |
||||
* |
||||||||
S12(1) |
|
S23(2) 2 S34(2) S34(3) S45(3) 4 |
|
|
||||
|
|
S23(1) |
Q 0, |
|||||
F |
|
S12(1) |
S23(1) S23(2) * S22(1) S22(2) 2 |
S24(2) 4 |
|
(2.21) |
||
0, |
||||||||
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
F |
|
S34(2) |
S34(3) |
S45(3) * S24(2) 2 S44(2) |
S44(3) 4 |
0. |
||
4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Матрица этой системы является симметричной и положительно определенной.
Если бы не было условия (2.17) (при этом в функционале (2.18) отсутствует второе слагаемое), а также условия1 const, глобальная система совокупности этих элементов
имела бы вид
S11(1) 1 S12(1) 2 S13(1) 3 0,
S12(1) 1 S22(1) S22(2) 2 S23(1) S23(2) 3 S24(2) 4 0,
S13(1) 1 S23(1) S23(2) 2 |
S33(1) S33(2) S33(3) 3 |
|
|
|
(2.22) |
|
S34(2) S34(3) 4 S35(3) 5 0, |
S24(2) 2 S34(2) S34(3) 3 S44(2) S44(3) 4 S45(3) 5 0,
S35(3) 3 S45(3) 4 S55(3) 5 0.
Таким образом, новую систему (2.21), учитывающую данные дополнительные условия, можно получить простой модификацией системы (2.22), где этого учета нет. Для этого нужно выполнить следующие действия:
а) все узловые переменные { i}, соответствующие узлам на 1, заменить одной переменной *,
б) вместо уравнений, номера которых совпадают с номерами указанных узлов, записать одно новое уравнение, полу-
52
ченное сложением левых частей этих уравнений и последующим приравниванием результата числу (–Q).
С точки зрения программной реализации МКЭ важно иметь правило ансамблирования элементов, т.е. формирования глобальной СЛАУ из локальных систем, относящихся к отдельным конечным элементам. Чтобы сформулировать это правило, приведем локальные системы для всех трех элементов, учитывающие дополнительные условия (кстати, их легко получить из стандартных конечно-элементных уравнений, пользуясь приведенным выше алгоритмом).
Локальная система 1-го элемента:
S11(1) |
S33(1) |
2S13(1) * S12(1) S23(1) 2 0, |
||||
S12(1) |
S23(1) |
* S22(1) S22(2) 2 |
0. |
(2.23) |
||
|
||||||
Локальная система 2-го элемента: |
|
|
||||
|
|
S33(2) * S23(2) 2 |
S34(2) 4 |
0, |
|
|
|
|
S23(2) * S22(2) 2 |
S24(2) 4 |
0, |
(2.24) |
|
|
|
S34(2) * S24(2) 2 |
S44(2) 4 |
0. |
|
|
Локальная система 3-го элемента: |
|
|
||||
S33(3) |
S55(3) 2S35(3) * S34(3) S45(3) 4 |
0, |
||||
S34(3) |
S45(3) * S44(3) 4 0. |
|
(2.25) |
|||
|
|
Прежде чем осуществить ансамблирование, необходимо каждому уравнению локальной системы поставить в соответствие определенный узел, точнее, степень свободы. Это соответствие определяется по неизвестной переменной, которая умножается на диагональный в данной строке элемент матрицы системы. Например, в первом уравнении первой системы такой неизвестной является ассоциированная узловая переменная *, значит, этому уравнению следует поставить в соответствие именно эту степень свободы. Во втором уравнении диагональный элемент умножается на 2, следовательно, этому уравнению соответствует второй узел и т. д.
53
После проведенной указанной нумерации уравнений построение глобальной системы сводится к стандартной процедуре: уравнение, которое соответствует i-му узлу, добавляется в i-е уравнение глобальной системы. Что касается ассоциированной переменной *, связанной с дополнительными условиями на 1, то ей целесообразно дать какой-нибудь уникальный номер (например, номер одного из узлов, лежащих на 1) и пользоваться им при формировании глобальной системы. Возьмем за такой номер 1. Складывая указанным способом уравнения и приравнивая (–Q) соответствующее ассоциированной переменной 1 первое уравнение, получим глобальную систему для трех конечных элементов:
S11(1) |
S33(1) |
S33(2) |
S33(3) |
S55(3) 2S13(1) |
2S35(3) 1 |
|
||
|
S12(1) |
S23(1) |
S23(2) |
2 |
S34(2) S34(3) S45(3) |
4 |
Q, |
|
S12(1) |
S23(1) |
S23(2) |
1 S22(1) |
S22(2) 2 |
S24(2) 4 |
0, |
(2.26) |
|
|
S34(2) S34(3) S45(3) 1 S24(2) 2 S44(2) S44(3) 4 0.
Поскольку дискретные уравнения (2.26) получены из соотношений, накладывающие ограничения только на разность потенциалов, а не на сам потенциал, то возникает неоднозначность в определении МКЭ-решения, для исключения которой необходимо зафиксировать одну из узловых величин (например, принять 2 = 0). Заметим, что надобность в такой фиксации отпадает, если в задаче есть краевые условия Дирихле.
2.4. Особенности решения задач для открытых многосвязных систем
Строго говоря, интегрирование в уравнениях, определяющих конечно-элементную формулировку, должно производиться по ограниченному объему. Поэтому для систем, находящихся полностью, либо частично в открытом пространстве, приходится искусственно замыкать объем некоторой границей, достаточно удаленной, чтобы не оказывать существенного влияния на решение вблизи сверхпроводников. Ошибку, обусловленную сведением поставленной задачи к задаче с ко-
54
нечным пространством, можно оценить путем повторного решения задачи для случая удаления открытых участков границы на большее расстояние.
Однако возможен подход, основанный на вариационном представлении задачи, в котором влияние области за границей замыкания учитывается с помощью дополнительного граничного интеграла, а детали распределения поля в этой области игнорируются.
Функционал данной задачи
F( ) |
1 |
2d |
(2.27) |
|
|||
2 |
|
|
представляет собой энергию, запасенную во всей области определения задачи . Пусть занимает все пространство, а граница Г разделяет внутреннюю область и внешнюю область E. Тогда функционал представится в виде
F( ) |
1 |
|
2d |
1 |
2 d . |
(2.28) |
|
|
|||||
2 |
|
|
2 E |
|
Преобразуя второй интеграл по формуле Грина и учитывая, что на бесконечности ( , n) 0 и внутри E 2 = 0, получим
F( ) |
1 |
|
2d |
1 |
,n d . |
(2.29) |
|
|
|||||
2 |
|
2 |
|
|
Знак “–” здесь объясняется тем, что нормаль n является внешней по отношению к области . Таким образом, для открытой многосвязной системы функционал (2.27) принимает минимальное значение при функции , являющейся решением уравнения Лапласа (2.1) на множестве допустимых функций, удовлетворяющих условию (2.2). В такой формулировке ко- нечно-элементное решение относится только к области , однако оно сходится к точному решению с ростом числа степеней свободы. В этом отличие от формулировки, игнорирующей интеграл по E в (2.28).
55
Для частично открытых областей может быть применен аналогичный подход. Здесь, однако, при преобразовании второго слагаемого в (2.28) возникает дополнительный интеграл вдоль части границы Г1 области E (рис. 2.5), которую нельзя принять как бесконечно удаленную. Но если на Г1 потребовать выполнение однородного условия Неймана ( ,n)=0, этот интеграл равен нулю и функционалом (2.29) можно пользоваться без ограничений.
|
Г |
|
|
Е |
|
|
Г |
|
|
|
|
Г1 |
|
Г1 |
|
( , n) = 0 |
|
Рис. 2.5. Сведение полубесконечной области E к конечной области
Для аппроксимации вида (2.6) условие стационарности функционала (2.29) приводит к системе уравнений относительно параметров дискретизации i
Sij i |
Gj , |
|
|
|
|
|||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
матрица которой есть |
1 |
|
|
Nj |
|
N |
|
|
Sij Ni Njd |
(Ni |
Nj |
i |
)d , |
||||
2 |
n |
|
|
|||||
|
|
|
|
n |
а вектор правых частей {Gi} формируется путем учета условия скачка. Таким образом, здесь в выражении для матричных элементов появляется дополнительное слагаемое – интеграл по границе Г. Это слагаемое отлично от нуля только в случае, когда соседние узлы i и j лежат на данной границе. Матрица Sij остается симметричной.
56
Упражнения
1.Получить выражение для матричных элементов с учетом интеграла по границе для симплексных конечных элементов – треугольника и тетраэдра.
2.Провести дискретизацию задач для векторного потен-
циала A и функции потока = rA. Для вариационной формулировки использовать выражения функционалов
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
1 |
|
|
||||||
F(A) |
|
A |
A |
dxdy |
, |
F( ) |
|
|
|
drdz |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
r |
|
||||||||
|
2 |
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Получить систему линейных уравнений с учетом условий для разности вида i – j = C. Данные условия отличаются от условия скачка тем, что они относятся значениям потенциала в разных точках. В теории метода конечных элементов такие условия носят названия сдвига (периодичности) и симметричности (при C = 0) и имеют важное практическое применение, например, если заранее известно что потенциалы в двух точках отличаются на С:
r r R C .
4. Провести дискретизацию осесимметричной и трехмерной задачи для скалярного потенциала с учетом условия скачка. Использовать функционалы
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||
F( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rdrdz, |
||||||||
2 |
|
|
z |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
F( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdydz . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
x |
|
|
y |
|
z |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Дать формулировку двумерной задачи для векторного потенциала для токонесущей сверхпроводниковой системы, помещенной в постоянное внешнее магнитное поле He .
57
3.СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ
3.1.Универсальные системы компьютерной математики
Maple – система компьютерной математики, выпускаю-
щаяся канадской компанией Waterloo Maple Inc., позволяющая производить сложные математические операции [19]. Содержит более 5000 функций, что позволяет решить практически любую математическую задачу (символьные и числовые математические операции, решение уравнений, в том числе и дифференциальных, дифференциальное исчисление, линейная алгебра, теория групп и т.д.), а также визуализировать полученные результаты путём построения 2D и 3D графиков и создания анимаций. Кроме того, Maple обладает инструментами для решения таких прикладных задач, как финансовое моделирование, статистика и управление процессами, физика, разработка систем управления и обработка сигналов. Подробнее основные возможности рассмотрим на примере версии Maple 14, выпущенной в 2010 году:
Усовершенствованные алгоритмы для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, дифференциальных алгебраических уравнений;
Усовершенствованные алгоритмы для решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 1 и 2 порядка и линейных дифференциальных уравнений 3-го порядка;
Возможность генерирования сигналов различных форм;
Многомерная интерполяция данных;
Анализ и решение систем полиномиальных уравнений
инеравенств с параметрами;
Интеграция с различными базами данных, возможность делать запросы и создавать базы данных;
Имитация дискретных и непрерывных систем;
Построение схем частотных характеристик, графическая визуализация нулей и полюсов линейных систем;
Возможность преобразования кода MATLAB в Maple.
58
Каждая версия Maple содержит в себе несколько версий, ориентированных на различных пользователей. Так, в Maple
14содержатся следующие версии:
Maple 14 Professional – предназначена для лабораторий, бизнеса и исследовательских объединений;
Maple 14 Academic Engineering – предназначена для академических объединений, таких, как кафедры инженерной направленности;
Maple 14 Academic Math – предназначена для академических объединений, таких, как кафедры математической направленности;
Maple 14 Personal Edition – предназначена для личного пользования.
Среди новых особенностей, появившихся в Maple 14 по сравнению с предыдущими версиями, выделяются следующие:
Для версии Maple 14 Professional это встроенные инструменты для линеаризации нелинейных дифференциальных алгебраических уравнений, решатели для алгебраических уравнений Риккатти, набор инструментов для расчётов управляющих воздействий, совместимость с MATLAB (преобразование кода, генерирование кода, импорт и экспорт данных и вызов MATLAB из Maple), улучшенные возможности поиска, расширенный набор встроенных математических инструментов для решения прикладных инженерных задач, улучшенная производительность, новые инструменты для рабочей среды для интерактивных исследований, создания документов и составления программных решений.
Для версии Maple 14 Academic Engineering это MapleCloud – интегрированная среда для создания, распространения и получения технической документации, расширенные математические возможности для инженерных приложений, совместимость с MATLAB, улучшенные возможности поиска, новые шаблоны заданий, расширенный набор встроенных математических инструментов для решения прикладных инженерных задач, улучшенная производительность, новые инструменты
59
для рабочей среды для интерактивных исследований, создания документов и составления программных решений.
Для версии Maple 14 Academic Math это MapleCloud,
улучшенная производительность, улучшенные возможности поиска, усовершенствованные возможности для создания и исследования 2D-графиков, новые шаблоны заданий, более мощное ядро инструментов для математических вычислений, новые инструменты для рабочей среды для интерактивных исследований, создания документов и составления программных решений.
В каждой новой версии Maple появляется большое количество обновлений, так что функционал от версии к версии значительно расширяется. Так, в последней на сегодняшний день (июль 2017 г.) версии (Maple 2017, выпущена 25 мая 2017 года) представлены следующие обновления: продукт MapleCloudManager, позволяющий получить доступ через MapleCloud к большому числу пользовательских пакетов, расширяющих функционал Maple, интерактивный постройщик графиков, , расширенные возможности блока визуализаций данных, система защиты рабочих файлов Maple при помощи пароля, различные карты мира и географическая база данных, позволяющие проводить исследования в области географии, усовершенствование операций, отвечающих за интегрирование, расширенные возможности при математических исследованиях (теория групп, теория графов, новые алгоритмы для дифференциальных уравнений в частных производных и т.д.), новые возможности для статистического анализа и анализа данных.
Mathematica – система компьютерной математики, которая была создана Питером Вольфрамом, а ныне распространяется компанией Wolfram Research [20]. Вместе с Maple является ведущей системой в своём роде. В качестве языка программирования используется высокоуровневый язык Wolfram Language, имеющий ряд преимуществ по сравнению с аналогичными языками других систем. Также важной особенностью является наличие продукта Mathematica Online, который позво-
60