Учебное пособие 190
.pdfДля постоянной нагрузки (q const ): |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Amn |
|
|
16 q a4 |
|
|
16 q a4 |
Cmn , |
|
(26) |
|||||
D 6 m2 2 |
n2 2 |
m n |
D 6 |
|
||||||||||
|
|
16 q a |
4 |
|
|
|
sin m x |
sin n y |
|
|
||||
w(x, y) |
|
|
Cmn |
, |
(27) |
|||||||||
6 |
|
|||||||||||||
|
|
D |
|
|
m 1 n 1 |
|
a |
|
b |
|
|
|||
где m 1,3,5 ; n 1,3,5 , |
так как чётные члены ряда (24) |
обращаются в |
||||||||||||
нуль. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Коэффициенты Cmn находятся по формуле |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Cmn |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(28) |
|||
|
|
m n m2 |
2 n2 2 |
|
|
|
|
|||||||
с параметром , равным |
|
|
a b. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(29) |
Тогда, подставляя функцию (27) в (11), получим следующие выраже-
ния для изгибающих моментов:
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mxy |
16 q4 a |
|
Fmn sin m x |
sin n y |
, |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
m 1 n 1 |
|
|
|
a |
|
|
b |
|
|
|
||
|
16 q a2 |
|
|
|
|
|
m x |
|
n y |
|
|
|||||
Myx |
|
|
|
sin |
|
|
||||||||||
|
4 |
|
Hmn sin |
|
a |
|
b |
|
, |
|||||||
|
|
|
m 1 n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
Cmn |
|
|
|
|
|
|
|
Fmn |
2 |
|
2 |
n |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H m2 2 n2 C .
mn mn
Требуется:
(30)
(31)
найти прогиб в точке плиты A с координатами xA , yA ;
определить наибольшие нормальные напряжения x и y в сечении, проходящем через точку A;
в вычислительной лаборатории кафедры произвести поверочный расчёт на ПЭВМ и представить протокол расчёта (студенты заочной формы обучения выполняют этот пункт по желанию);
по полученным на ПЭВМ результатам найти наибольшие касательные напряжения в заданном сечении.
При вычислениях вручную следует удерживать только те члены ряда, величина которых равна или превышает 5 % от первого члена ряда.
11
4.Рекомендации к выполнению работы
4.1.Исходные данные
Выписать заданные размеры плиты a, b, h ; интенсивность равномерно
распределённой нагрузки q; модуль упругости E и коэффициент Пуассона ν материала; координаты xA , yA расчётного сечения.
Вычертить геометрическую схему плиты с указанием масштаба, линейных размеров и действующей на плиту нагрузки.
4.2. Определение прогиба точки A
Найти:
цилиндрическую жёсткость плиты D (14); общий множитель ряда (27) по формуле:
Ow 16 q 6a4 ;
D
постоянныеCmn (28) , члены ряда
mn Cmn sin m a xA sin n b yA
и их оценки
mn mn 100%,
11
вертикальное перемещение w(xA , ya ) точки A из выражения (27) при
mn 5%, m 1 и n 1,3,5 (или m 1,3,5 и n 1).
(32)
(33)
(34)
mn с
4.3.Нахождение наибольших нормальных напряжений
x (xA , yA ) и y (xA , yA )
Вычислить:
- общий множитель:
O |
|
|
16 q a2 |
; |
(35) |
|
M |
4 |
|||||
|
|
|
|
-коэффициенты Fmn , Hmn по формулам (31);
-члены ряда
12
|
|
F |
sin m xA |
sin n yA |
, |
|
|
|||||||||||||
|
mn |
mn |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
(36) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
m xA |
|
n yA |
|
|
|
||||||||||
mn |
Hmn sin |
sin |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и их оценки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
mn |
) |
|
|
|
mn |
|
11 |
|
|
100%, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(37) |
|||
|
|
( mn ) |
|
|
mn |
11 |
|
|
100%; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- изгибающие моменты Mxy (xA , yA ) и Myx (xA , yA ) по формулам (30) для mn
и mn при условии ( mn ) 5% и ( mn ) 5%; |
y (xA , yA ) в сечении, |
- наибольшие нормальные напряжения x (xA , yA ) и |
проходящем через точку A, из соотношений (16) для точек с координатами z h2.
4.4. Поверочный расчёт плиты на ПЭВМ
Произвести расчёт на ПЭВМ в вычислительном классе кафедры по программе ПЛИТА и представить протокол расчёта. Инструкция по работе с программой приводится в разделе 5.
4.5. Нахождение наибольших касательных напряжений
Используя полученные на ПЭВМ данные о крутящих моментах Mxx , Myy и поперечных силах Qxz , Qyz , в точке A определить наибольшие
касательные напряжения: max xy , max yz по формулам (17) при z h2 и max xz , max yz по формулам (18) при z 0 .
5. ИНСТРУКЦИЯ ПО РАБОТЕ С ПРОГРАММОЙ ПЛИТА
Программа ПЛИТА написана с использованием вычислительной среды системы MATHCAD, которая позволяет студентам выполнять расчеты с помощью так называемых «живых» формул (формул, в которые можно подставить свои данные и немедленно получить результат).
Для выполнения расчётов по программе ПЛИТА студенту необходимо задать исходные данные, перечисленные в разделе 4.1. Результат будет получен автоматически. Изменяя значение величины N, которая в качестве параметра входит в выражения для всех искомых величин, можно менять число учитываемых в расчётах членов рядов и оценить скорость их сходимости. Одновременно задать число членов для всех рядов можно с помощью параметра NN, которому по умолчанию присвоено значение 5.
13
Ниже приведён листинг программы ПЛИТА.
6.ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЁТА
6.1.Исходные данные
Выполнить расчёт плиты, геометрическая схема которой с нагрузкой представлена на рис. 6, если:
линейные размеры a=2,8 м, b=3,5 м, h=0,08 м;
интенсивность равномерно распределённой нагрузки q=4,0 кН/м2;
материал плиты имеет модуль упругости E 36 106 КПа и коэффициент Пуассона 0,13;
расчётное |
сечение |
A |
в |
точке |
с |
координатами |
xA 1,75м, |
yA 1,05м. |
|
|
|
|
|
6.2. Вычисление прогиба w(xA , yA )
Определяем цилиндрическую жёсткость плиты (14):
D 36 106 0,083 1562,4кНм,
12 1 0,132
множитель (32):
Ow 16 4,0 2,846 2,627 10 3 м 1562,4 3,14
и параметр (29): 2,83,5 0,8.
Находим постоянные Cmn , члены ряда mn и их оценки ( mn ) по формулам (28), (33) и (34):
m 1, |
n 1 |
C |
|
|
1 |
|
|
3,7180 10 1 |
, |
|
||
|
1 1 12 0,82 12 2 |
|||||||||||
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3,7180 10 1 |
sin |
1 3,14 1,75 |
sin |
1 3,14 1,05 |
2,7790 10 1 ; |
||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
11 |
|
|
|
|
|
2,8 |
|
|
3,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14
m 1, |
n 3 |
C |
|
|
1 |
|
|
|
|
7,2943 |
10 3 , |
|
||||||||||||||||
|
1 3 12 0,82 32 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
7,2943 10 3 |
sin |
1 3,14 1,75 |
|
sin |
3 3,14 1,05 |
2,0825 10 3 ; |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2,0825 10 3 |
2,7790 10 1 |
|
100% 0,75% 5%; |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 3, |
n 1 |
C31 |
1 |
|
|
|
|
3,5869 |
10 |
3 |
, |
|
|
|
||||||||||||||
3 1 32 0,82 12 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
31 |
3,5869 10 3 |
sin |
3 3,14 1,75 |
sin |
1 3,14 1,05 |
1,1105 10 3 |
; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,1105 10 3 2,7790 10 1 |
|
100% 0,40% 5%. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дальнейшее вычисление членов ряда mn прекращаем, так как оценки |
||||||||||||||||||||||||||||
13 , 31 , а, следовательно, последующие 33 , 15 |
, 51 |
и т.д. меньше 5 %. |
|
|||||||||||||||||||||||||
Учитывая только 11 , из (27) определяем прогиб |
|
w(xA ,yA ) 2,627 10 3 2,7790 10 1 7,30 10 4 м 0,73 мм.
6.3. Нахождение наибольших нормальных напряжений в точке А
Вычисляем общий множитель (35): |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
O |
|
|
16 4,0 2,82 |
5,1615 |
кН м |
. |
|
||||
|
|
|
M |
|
3,144 |
м |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
По формулам (31), (36) и (37) будем иметь: |
|
|
|
|||||||||||
m 1, |
n 1 |
F11 |
12 0,13 0,82 12 3,7180 10 1 4,0274 10 1 , |
|||||||||||
|
|
H11 0,13 12 0,82 |
12 3,7180 10 1 2,8629 10 1, |
|||||||||||
|
|
|
4,0274 10 1 |
sin |
1 3,14 1,75 |
sin |
1 3,14 1,05 |
3,0102 10 1 , |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
11 |
|
|
|
|
2,8 |
|
|
|
3,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
11 |
2,8629 10 1 |
0,9239 0,8090 2,1398 10 1 ; |
||||||||||
m 1, |
n 3 |
F13 |
12 0,13 0,82 32 7,2943 10 3 1,2756 10 2 , |
|||||||||||
|
|
H13 0,13 12 0,82 |
32 7,2943 10 3 |
4,2964 10 2 , |
15
m 3, n 1
m 3, n 3
m 1, n 5
|
1,2756 10 2 |
sin |
1 3,14 1,75 |
|
sin |
3 3,14 1,05 |
3,6418 10 3 , |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
13 |
|
|
|
|
|
|
2,8 |
|
|
|
|
|
|
3,5 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
13 |
|
4,2964 10 2 |
0,9239 0,3090 1,2265 10 2 , |
|
|
||||||||||||||
( |
) |
|
|
3,6418 10 3 |
|
3,0102 10 1 |
|
|
|
100% = 1,21%, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 13 ) |
|
1,2265 10 2 |
2,1398 10 1 |
|
|
100% = 5,73%; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
F31 32 |
|
|
0,13 0,82 12 3,5869 |
10 3 3,5281 10 2 , |
|
||||||||||||||
H31 0,13 32 0,82 |
12 3,5869 10 3 |
6,4923 10 3 , |
|
||||||||||||||||
31 |
3,5281 10 2 |
sin |
3 3,14 1,75 |
sin |
1 3,14 1,05 |
1,0087 10 2 |
, |
||||||||||||
|
3,5 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 6,4923 10 3 ( 0,3827) 0,8090 2,0100 10 3 ,( 31 ) 1,0087 10 2 3,0102 10 1 100% = 3,35%,( 31) 2,0100 10 3 2,1398 10 1 100% = 0,94%;
F33 32 0,13 0,82 32 |
|
|
|
1 |
|
|
|
4,9721 |
10 3 |
, |
|
|||
|
3 3 |
32 0,82 |
32 |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
H33 0,13 32 0,82 32 |
|
|
1 |
|
|
|
|
3,5344 |
10 3 |
, |
||||
3 3 32 0,82 |
32 |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 4,9721 10 3 0,3827 0,3090 5,8797 10 4 ,33 3,5344 10 3 ( 0,3827) 0,3090 4,1796 10 4 ,( 33 ) 5,8797 10 4 3,0102 10 1 100% = 0,20%,( 33 ) 4,1796 10 4 2,1398 10 1 100% = 0,20%;
F15 |
12 0,13 0,82 52 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2,1315 |
10 3 |
, |
||||
1 5 12 0,82 |
52 |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
H15 |
0,13 12 0,82 52 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1,1163 10 2 , |
|||||
|
|
|
|
|
52 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
1 5 12 0,82 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2,1315 10 3 sin |
1 3,14 1,75 |
sin |
5 3,14 1,05 |
1,9692 10 3 , |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
15 |
|
|
|
2,8 |
|
|
|
|
3,5 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 4,2964 10 2 0,9239 ( 1) 1,0313 10 2 ,
( 15 ) 1,9692 10 3 3,0102 10 1 100% = 0,65%,( 15 ) 1,0313 10 2 2,1398 10 1 100% = 4,82%;
16
m 5, n 1 |
F51 |
52 |
|
0,13 0,82 12 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
7,6309 10 3 , |
|
|||||||||||
5 1 52 0,82 |
12 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
H51 0,13 52 0,82 12 3,0422 10 4 |
1,1834 10 3 , |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
51 |
7,6309 10 3 sin |
5 3,14 1,75 |
sin |
1 3,14 1,05 |
2,3625 |
10 3 , |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.8 |
|
|
|
|
|
3.5 |
|
|
|
|
|
|
||
|
51 |
1,1834 10 3 ( 0,3827) 0,8090 3,6639 10 4 , |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
( 51 ) |
|
2,3625 10 3 |
|
|
3,0102 10 1 |
|
100% = 0,78%, |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
( 51 ) |
|
|
3,6639 10 4 |
|
|
2,1398 10 1 |
|
|
100% = 0,17%. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Последующие оценки 53 , 35 , 55 , |
53 , |
35 , |
55 |
и |
|||||||||||||||||||||
т.д. будут меньше 5 %. Поэтому вычисление членов ряда mn , mn |
прекра- |
||||||||||||||||||||||||
щаем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,0102 10 1 |
и |
|
|
|
|
2,1398 10 1 , |
||||||||
Учитывая |
только |
|
слагаемые |
|
|
|
|
|
|
11 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
13 1,2265 10 2 , определяем изгибающие моменты из выражений (30): |
|
||||||||||||||||||||||||
Mxy xA ,yA OM 11 5,1615 3,0102 10 1 |
1,5537кН м/м, |
|
|
||||||||||||||||||||||
Myx xA ,yA OM 11 13 5,1615 2,1398 10 1 1,2265 10 2 1,1678кН м/м. |
|||||||||||||||||||||||||
По формулам (16) при z h 2 находим наибольшие нормальные на- |
|||||||||||||||||||||||||
пряжения в заданной точке A плиты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x xA ,yA |
12 1,5537 0,04 |
1457КПа, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
0,08 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y xA ,yA |
12 1,1678 0,04 |
1095КПа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
0,08 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эпюры x , y изображены на рис. 4, а.
6.4. Расчёт плиты на ПЭВМ
Пример расчёта плиты с исходными данными приведен в разделе 6.1. Результаты расчётов для точки A с координатами
xA 1,75м, yA 1,05м. |
|
Прогиб: |
W 7,286 10 4 м. |
Изгибающие моменты: |
Mxy 1,502кНм/м, |
|
Myx 1,112кНм/м. |
Крутящие моменты: |
Mxx Myy 0,2646кНм/м. |
|
17 |
Поперечные силы: |
Qxz 0,7963кН/м, |
|
Qyz 0,9741кН/м. |
Расчет прямоугольной плиты, шарнирно опертой по контуру (решение Навье)
Ввод размерностей:
м m ; мм 10 3 m ; кПа 103Pa ; кН 1000 N.
Дано: a :=3,5 M; |
|
|
b :=3,5 M; |
h :=0,08 M; ν :=0,13; |
|
E := 3,6 107 M ; |
q := 4 kH2 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xa :=1,75 M; |
|
ya :=1,05 M. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Найти |
|
в точке |
|
|
А: |
W, x max, |
y max , |
xy max, |
yx max, |
xz max , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
yz max. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
E h3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
D := |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
D =1,562 103 |
kH M ; |
|
a |
|
; |
|
|
8 10 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
12 |
1 |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Прогиб плиты определяется выражением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 s |
1) x |
|
|
(2 t 1) y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
16 q a4 |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
W(x y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
D |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
(2 |
t |
1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 t 0 (2 s 1) (2 t |
1) (2 s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
Ограничиваясь суммированием от 0 до N, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 s 1) x |
|
(2 t |
1) y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 q a4 |
N |
N |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
W(x y N) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||
|
|
D |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
(2 |
t 1) |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s 0 t 0 |
(2 s 1) (2 t 1) (2 s |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
NN : 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
W xa ,ya ,N = 7,278 10-1 MM ; |
|
W xa ,ya ,NN = 7,286 10-1 MM . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18
|
|
Изгибающие моменты найдем по формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
M |
|
(x, y, N) = |
16 q a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
xy |
|
|
|
π4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 s +1 |
2 |
+ ν 2 2 |
t +1 |
2 |
|
|
|
2 |
s +1 |
|
π x |
|
|
|
|
2 t +1 |
π x |
|
; |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
N |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 s +1 2 t +1 2 |
s +1 2 |
+ 2 |
2 t +1 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
s=0 |
t=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
(x, y, N) = |
16 q a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
yx |
|
|
|
π4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ν 2 |
s +1 |
2 |
+ |
|
2 2 |
t +1 |
2 |
|
|
|
2 |
s +1 |
|
π x |
|
|
|
|
2 t +1 |
π x |
|
; |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
N |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 s +1 2 t +1 2 |
s +1 2 |
+ 2 |
2 t +1 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
s=0 |
t=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mxy xa ,ya ,0 =1,551 кН M ; |
|
|
Mxy xa ,ya ,NN =1,502 кН M . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Myx xa ,ya ,0 =1,102 кН M ; |
|
|
Myx xa ,ya ,NN =1,112 кН M . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Крутящие моменты задаются выражениями: |
|
(2 s 1) x |
|
|
|
(2 t |
1) y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
16 q a2 1 |
|
N |
N |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||
M (x y N) |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 s 1) |
|
(2 t |
|
1) |
|
|
|
|||||||||||||||||||
Myy(x y N) Mxx(x y N) ; |
|
|
s 0 t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
MXX xa ,ya ,0 = 2,998 10-1 кН M ; |
|
|
MXX xa ,ya ,0 |
= 2,646 10-1 |
кН M . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
Соотношения для поперечных сил имеют следующий вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 s |
1) x |
|
|
(2 t 1) y |
|
|
|||||||||||||||
|
16 q a |
|
N |
N |
cos |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|||||||||||||||||
Qxz(x y N) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
(2 s 1) |
2 |
|
2 |
(2 t 1) |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
s 0 t 0 |
(2 t 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 s |
1) x |
|
|
|
(2 t 1) y |
|
||||||||||||||
|
16 q a |
|
N |
N |
|
sin |
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Qyz(x y N) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
s |
1) |
2 |
|
2 |
(2 t |
1) |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
s 0 t 0 (2 s 1) (2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
QXZ xa , ya ,0 = -1,091 кН ; |
|
|
|
QXZ xa , ya , NN = -7,963 10-1 кН . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|||
QyZ xa , ya ,0 =1,531 кН ; |
|
|
|
QyZ xa , ya , NN = 9,741 10-1 кН. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
19
Напряжения в поперечных сечениях плиты будут равны:
x(x y z N) |
12 Mxy(x y N) z |
|
|
y(x y z N) |
12 Myx(x y N) z |
; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
h3 |
|
|
|
|
|
|
h3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
12 Mxx(x y N) z |
|
|
12 |
Myy(x y N) z |
|
|||||||||||
xy(x y z N) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
yx(x y z N) |
|
|
|
|
; |
|||||
|
|
h3 |
|
|
|
|
|
h3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6 |
Q |
(x y N) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
xz(x y z N) |
|
|
xz |
|
h |
|
z2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
h |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6 |
Q |
(x y N) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
yz(x y z N) |
|
|
yz |
|
h |
|
z2 |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наибольшие напряжения x y xy yx в сечениях, проходящих через точку A, достигаются при z h2 и z h2.
x xa , ya , h |
,NN |
=1,408 103 кПа; |
y xa , ya , h |
,NN |
=1,042 103 кПа. |
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
xy xa ,ya , h |
, NN |
= 2,481 102 |
кПа; |
yx xa ,ya , h |
, NN |
= 2,481 102 кПа. |
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Наибольшие напряжения xz yz достигаются при z 0:
xz xa , ya ,0M,NN = 1,493 101 кПа; |
xy xa ,ya ,0M, NN =1,826 101 кПа. |
Расхождения с полученными вручную результатами составляют:
W w xA ,yA |
|
|
|
|
|
7,286 10 4 7,30 10 4 |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
100% |
|
|
|
|
7,30 10 4 |
|
100% 0,19%, |
|||||
w xA ,yA |
|
|
|
|
||||||||||||
Mxy Mxy xA ,yA |
|
100% |
|
|
1,502 1,554 |
|
100% 3,35%, |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
Mxy xA ,yA |
|
|
|
1,554 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Myx Myx xA ,yA |
|
100% |
|
|
1,112 1,168 |
|
|
|
100% 4,80%. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
Myx xA ,yA |
|
|
|
|
1,168 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20