Методическое пособие 457
.pdfПусть z 0 , тогда поделим оба уравнения на z и перепишем в следующем виде
|
а11 |
х |
|
|
а12 |
|
y |
|
|
а13 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
z |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
а21 |
х |
|
|
а22 |
y |
|
а23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
z |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Обозначим |
|
D |
|
a11 |
|
a12 |
|
0 D3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
a21 |
|
a22 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
|
|
1 |
|
a13 |
|
|
a12 |
|
|
1 |
|
|
a12 |
a13 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
z |
D |
|
a23 |
|
|
a22 |
|
|
D |
|
a22 |
a23 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
a13 |
|
|
|
|
|
a11 |
a13 |
|
||||||||||||
|
y |
|
1 |
|
a11 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||
|
z |
D |
a21 |
|
|
|
a23 |
|
|
D |
a21 |
a23 |
|
Обозначим
a12 a13 =D1 a22 a23
a11 a13 =D2 a21 a23
(2)
(3)
(4)
Воспользовавшись формулами (3) и (4) и введя обозначения, получим
|
x |
|
D1 |
; |
|
|
y |
|
|
D2 |
|
(5) |
||
|
z |
D3 |
|
|
z |
|
|
D3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Из соотношения (5) получим |
|
|||||||||||||
|
x |
|
|
y |
|
z |
|
|
|
|
(6) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D1 |
|
|
D2 |
|
D3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
То есть переменные x, y, z пропорциональны минорам D1, D2, D3 соответственно. Обозначим через t - коэффициент пропорциональности, тогда получим следующее соотношение:
x D1t , y D2t , z D3t |
t |
(7) |
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Суть метода заключается в следующем. Посредством последовательного исключения неизвестных система превращается в эквивалентную ей систему специального вида, из которой легко получаются значения неизвестных при этом осуществляются следующие элементарные преобразования уравнений системы:
Умножение обеих частей уравнений системы на число, отличное от нуля;
Прибавление к обеим частям одного уравнения системы соответственно частей другого уравнения, умноженных на одно и тоже число;
Удаление из системы уравнений вида 0=0.
Метод Гаусса используется и для решения систем
линейных уравнений, у которых число уравнений не
совпадает с числом неизвестных.
Матрицы и действия над ними
Матрицей размера m n называется прямоугольная
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
таблица, |
которая обозначается |
A |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
||||||
.... ... ... .... |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
an 2 |
... |
ann |
|
|
или A |
aij |
m n |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Если m = n , то матрица называется квадратной. |
|||||||||||
Числа aij |
называются элементами матрицы. Определитель, |
|||||||||||
составленный |
|
из |
элементов |
матрицы называется |
||||||||
определителем |
|
матрицы |
или |
|
детерминантом |
|||||||
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
|
|
|||
det A |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
|
|
|
|
|
|||
.... ... ... .... |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
an1 an2 ... ann
Матрица Ат называется транспонированной к матрице А, если выполняется условие aijT a ji
1.Умножение матрицы на число. Произведением
матрицы А и числа называется матрица А, полученная из матрицы А умножением всех ее элементов на это число
.
2. Сложение матриц. Матрицы одного и того же размера, то есть составленные из одного числа строк и столбцов можно складывать, тогда суммой двух матриц
A |
aij |
m n |
и B |
bij |
m n |
называется |
матрица C cij |
m n |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где некоторый элемент cij |
aij |
bij |
|
|
|
|||||
3. |
Умножение |
матриц друг |
на |
друга. Перемножать |
матрицы можно лишь в том случае, тогда когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго.
Произведением матриц |
A aij |
m n |
и B bij |
m n |
называется |
|
|
|
|
матрица C cij |
m n |
, где некоторый элемент cij |
aij bij |
|
|
|
умножение матриц не коммутативно.
4. Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы равны
|
|
|
|
|
1 |
0 ... |
0 |
нулю, |
|
|
называется |
единичной. Е |
0 |
1 ... ... |
|
|
|
... ... ... ... |
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
0 ... |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
Е3 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
Квадратная матрица называется вырожденной
(особенной), если ее определитель равен 0 и
невырожденной в противном случае.
|
Если А – невырожденная матрица, то существует и |
||||
притом |
единственная матрица А-1, такая, что |
||||
А 1 |
А |
А А 1 |
|
Е . |
|
|
А11 |
А12 |
... |
А1n |
|
~ |
А21 |
А22 |
... |
А2n |
, где Аij – алгебраические |
А |
... ... ... ... |
||||
|
|
||||
|
Аn1 |
Аn2 |
... |
Аnn |
|
дополнения для элементов aij
~ Т
Обозначим через А матрицу следующего вида
|
А11 |
А21 |
... |
Аn1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ Т |
А12 |
А22 |
... |
Аn2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
... ... ... ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
А1n |
А2n |
... |
Аnn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A11 |
|
0 ... |
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
~ Т |
|
~ Т |
|
|
|
0 |
|
|
A22 |
|
... |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
А |
А А |
А |
|
det A E |
... ... ... ... |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 ... |
|
Ann |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Если |
А невырожденная, |
|
то A 1 |
1 ~ |
Т |
. Если |
|||||||||||
|
|
|
|
|
А |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det A |
|
|
определитель А равен нулю, то обратной матрицы не существует.
Матричная запись и матричный метод решения систем линейных уравнений.
Пусть дана система уравнений с n неизвестными вида
а11 х1 |
а12 х2 |
а13 х3 |
b1 |
|
а21 |
х1 |
а22 х2 |
а23 х3 |
b2 |
....... |
|
|
|
|
аn1 |
х1 |
аn 2 х2 |
аnn хn |
bn |
Или в матричном виде
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
х1 |
|
b1 |
|
х2 |
|
b2 |
||||
A a21 |
a22 |
... |
a2n |
Х |
B |
||
.... ... ... .... |
|
... |
|
... |
|||
an1 |
an2 |
... |
ann |
|
хn |
|
bn |
|
|
|
|
|
|
||
В матричном виде исходная система перепишется в |
виде АХ = В. Если определитель матрицы А не равен нулю, то А имеет обратную матрицу, а система – единственное
решение Х |
А 1 В . Умножим обе части матричного |
|
уравнения АХ = В на А-1. |
||
А 1 |
А Х |
А 1 В |
ЕХ |
А 1 В |
|
ХА 1 В.
Векторы и действия над ними.
Определение. Величина, которая характеризуется
числом, называется скаляром. Например, длина отрезка,
работа, масса.
Величина, которая характеризуется числом и направлением, называется вектором. Длина вектора
называется его модулем и обозначается а или АВ . Будем
рассматривать только свободные векторы. Если векторы параллельны одной прямой или лежат на этой прямой, то они называются коллинеарными.
Вектор, модуль которого равен единице, а направление совпадает с направлением ненулевого вектора
а, называется ортом вектора и обозначается а 0 . Суммой двух векторов называется диагональ
параллелограмма, построенного на этих векторах,
идущая из их общего начала.
Определение. Суммой двух векторов называется
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
третий вектор а |
|
b , |
идущий из начала вектора а в конец |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вектора |
|
|
|
при условии, |
что вектор |
|
|
|
направлен к концу |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вектора а . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Законы сложения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1. |
коммутативности: |
а + b = b + а |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а + b + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2. |
ассоциативности: |
с |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+( а + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
+ а + |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
( |
b |
с |
= |
b |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3. |
дистрибутивности: |
|
(а |
b ) |
|
|
|
|
a |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
( |
|
|
|
|
|
)a |
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Для того, чтобы найти расстояние между двумя |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точками |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
необходимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
рассчитать |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
d |
|
|
(x |
B |
|
|
x |
A |
)2 |
|
( y |
B |
y |
A |
)2 |
|
(z |
B |
z |
A |
)2 . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
a b a b cos
Отметим следующие свойства, которым подчиняется
скалярное произведение:
1. |
коммутативность |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
b |
a |
|
|
|
|
|
||||||||||
2. |
ассоциативность |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( |
a ) |
|
b |
(a |
b ) |
|
|
||||||||||
3. |
дистрибутивность |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a |
(b |
|
c ) |
a b |
|
a c |
|
|
|||||||||
|
|
Определение: |
|
|
Три |
вектора |
называются |
упорядоченной тройкой векторов, если указано, какой из этих векторов является 1-м, какой – 2-ым, какой 3-им. При записи тройки векторов, векторы располагают в порядке их следования.
Определение: Тройка некомпланарных векторов a , b , c называется правой (левой), если после приведения их к общему началу вектор c располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами a и b , откуда
кратчайший поворот от a и b кажется совершаемым против часовой стрелки (по часовой стрелке), т.е. если
векторы a , b , c располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой (левой) руки.
Еще можно сказать, что вектор c направлен по
правилу буравчика к векторам a и b .
Определение: Векторным произведением двух
векторов a и b называется третий вектор c , удовлетворяющий следующим условиям:
1) вектор c ортогонален векторам a и b .
2)вектор c направлен так, что тройка векторов a , b , c является правой
3)длина вектора c численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. |
c |
|
|
a |
|
b |
sin(a b ) |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
Векторное произведение векторов a и b обозначается |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
так: c a |
b . |
В физике понятию векторного произведения соответствует момент пары сил, напряженность электрического поля.
|
|
Отметим |
|
следующие |
|
|
свойства |
векторного |
|||||||||||||
произведения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1. |
антикоммутативность |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
b |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. |
ассоциативность |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(a |
b ) |
|
a |
b |
a |
b |
|
||||||||||||
3. |
дистрибутивность |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a |
(b |
|
|
c ) |
a |
b |
|
|
a |
c |
|
|
|
|
Из определения векторного произведения следуют такие полезные предложения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
если a и b - параллельны, то a |
b 0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
|
|
||
2) |
sin(a |
b ) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
|
|
|
|
3) |
пусть |
дан треугольник ABC, |
|
тогда его площадь |
|
1 |
|
|
|
|
|
S ABC |
|
AB AC |
||||
2 |
||||||
|
|
|
|
|
Следствие 1: Для того, чтобы два вектора были коллинеарными необходимо и достаточно, чтобы их соответственные координаты были пропорциональны.
Следствие 2: Рассмотрим ABC , координаты вершин которого A(x1 , y1 , z1 ) , B(x2 , y2 , z2 ) , C(x3 , y3 , z3 ) .
|
|
|
1 |
|
|
|
i |
|
|
j |
|
|
k |
|
Его площадь |
S |
|
|
x |
|
x |
y |
|
y |
z |
|
z |
. |
|
ABC |
|
2 |
2 |
2 |
||||||||||
|
|
2 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
x |
3 |
x |
y |
3 |
y |
z |
3 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|||
Определение: |
|
|
|
|
три |
|
|
вектора |
|
называются |
упорядоченной тройкой векторов, если указано, какой из этих векторов является 1-м, какой – 2-ым, какой 3-им. При записи тройки векторов, векторы располагают в порядке их следования.
Определение: Тройка некомпланарных векторов a , b , c называется правой (левой), если после приведения их к общему началу вектор c располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами a и b , откуда
кратчайший поворот от a и b кажется совершаемым против часовой стрелки (по часовой стрелке), т.е. если
векторы a , b , c располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой (левой) руки.
Определение: Векторным произведением двух
векторов a и b называется третий вектор c , удовлетворяющий следующим условиям:
1)вектор c ортогонален векторам a и b .
2)вектор c направлен так, что тройка векторов a , b , c является правой
3)длина вектора c численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b ,
т.е. c a b sin(a b )
Векторное произведение векторов a и b обозначается
так: c a b .
Отметим следующие свойства векторного произведения: 1) антикоммутативность
a b b a